1、第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义,【知识提炼】1.集合的相关概念(1)元素:定义:指的是_.表示:用小写的拉丁字母_表示.(2)集合:含义:指的是_组成的总体.表示:用大写的拉丁字母_表示.,研究对象,a,b,c,一些元素,A,B,C,(3)集合相等:指构成两个集合的_是一样的.(4)集合中元素的特性:_、_和无序性.2.元素与集合的关系(1)“属于”:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作_.(2)“不属于”:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作_.,元素,确定性,互异性,aA,aA,3.常见的数集及表示符号,整数集,实数集,N,N
2、*或N+,Q,【即时小测】1.思考下列问题(1)组成集合的元素一定是数吗?提示:不一定.组成集合的元素可以是物、数、图、点等.(2)高一四班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化?提示:没有,元素未发生变化.,(3)用A表示高一三班全体学生组成的集合.用a表示高一三班的一位同学,b表示高一四班的一位同学.那么a,b与集合A分别有什么关系?提示:a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.,2.下列各组对象中不能组成集合的是()A.北京大学2015年入学的全体学生B.参加国庆65周年招待会的全体成员C.清华大学建校以来毕业的所有学生D.中国的著名数学家【解析】选D.著名数学家没有明确
3、的标准,不确定.,3.下列元素与集合的关系判断正确的是()A.0NB.QC. QD.-1Z【解析】选A.0是自然数,A正确;是无理数; 是无理数;-1是整数,B,C,D均不正确.,4.方程x2-1=0的解与方程x+1=0的解组成的集合中共有个元素.【解析】方程x2-1=0的解是1,-1;x+1=0的解是-1.故这两个方程的解组成的集合中的元素是1,-1,共有2个元素.答案:2,【知识探究】知识点1集合的含义观察图形,回答下列问题:问题1:渔网中的鱼能否组成集合?问题2:集合的元素有哪些特性?其作用是什么?,【总结提升】1.对集合与元素含义的说明(1)集合:是数学中一个不加定义的原始概念,只对它
4、作描述性说明,其本质是某些确定元素组成的总体.(2)元素:集合中的“元素”所指的范围非常广泛,现实生活中看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等,都可以看作“对象”,即集合的元素.,2.集合中元素的三个特性及作用(1)确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象是或不是某个集合的元素,两者必居其一.它是判断涉及的总体是否组成集合的依据.(2)互异性:集合中的元素必须是不同的,即对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.利用它可以求集合元素中的参数或排除数值.(3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关.利用它可判断两个集合的关系.,知识点2元素与集合的关系及常用
5、数集观察图形,回答下列问题:问题1:元素a与集合A有什么关系?元素b呢?问题2:元素与集合之间是否只有属于和不属于两种关系?,【总结提升】1.对元素和集合之间关系的两点说明(1)根据集合中元素的确定性可知,对任何元素a和集合A,在aA和aA两种情况中有且只有一种成立.(2)符号“”和“”用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.,2.常用数集及其符号表示的两个关注点(1)准:对常用数集的符号要记忆准确,书写规范,并且要明确各数集所含的元素.(2)记:要记住0是最小的自然数.,【题型探究】类型一集合的判定问题【典例】1.下列每组对象的全体能组成一个
6、集合的序号是.接近于2015的数;大于2015的数;方程x2-2=0在实数范围内的解;函数y=x2图象上的点.,2.判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)1,0.5, , 组成的集合含有四个元素.(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素.(3)组成单词china的字母组成一个集合.,【解题探究】1.典例1中判断一组对象能否组成集合的关键是什么?提示:关键是判断集合中的元素是否是确定的.2.集合中的元素是否可以相同?提示:集合中的元素是不相同的.,【解析】1.由于标准不明确,故不能组成集合;标准明确,能组成集合.答案:2.(1)不正确.对一个集合,它的元素必须是互异的,由于0.5= ,在
7、这个集合中只能作为一个元素,故这个集合含有三个元素.(2)不正确.因为方程虽有两个相等的实根,但其解集中只有一个元素-1.(3)正确.因为组成单词china的字母是确定的.,【方法技巧】判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据:元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的,就能组成集合,否则不能组成集合.(2)切入点:解答此类问题的切入点是集合元素的特性,即确定性、互异性和无序性.,【变式训练】判断下列说法是否正确.(1)地球周围的行星能组成一个集合.(2)实数中不是有理数的所有数的全体能组成一个集合.【解析】(1)错误.因为“周围”是个模糊的概念,随便找一颗行星无法判断是否在地球的周
8、围,因此它不满足集合元素的确定性.(2)正确.虽然满足条件的数有无数多个,但任何一个元素都能判断出来是否属于这个集合.,类型二元素与集合的关系【典例】1.(2015泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是()R; Q;0N*;|-4|N*.A.1B.2C.3D.42.(2015连云港高一检测)集合A中的元素x满足 N,xN,则集合A中的元素为.,【解题探究】1.典例1中数集R,Q,N*的含义各是什么?提示:R表示实数集,Q表示有理数集,N*表示正整数集.2.典例2中对3-x有什么要求?提示:要求3-x为6的正因数.,【解析】1.选B.根据各数集的意义可知,正确,错误.2.由 N,xN知x0, 0
9、,且x3故0x3.又xN,故x=0,1,2.当x=0时, =2N,当x=1时, =3N,当x=2时, =6N.故集合A中的元素为0,1,2.答案:0,1,2,【方法技巧】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法:使用前提:集合中的元素是直接给出的.判断方法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成.,(2)推理法:使用前提:对于某些不便直接表示的集合.判断方法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.,【变式训练】设由直线y=2x+3上的点组成集合P,点(2,7)与点集P
10、的关系为(2,7)P,点(3,4)与点集P的关系为(3,4)P(填“”或“”).【解析】直线y=2x+3上的点的横坐标x和纵坐标y具有关系“y=2x+3”,即只要具备此关系的点就在直线上.由于当x=2时,y=22+3=7,所以(2,7)P.由于当x=3时,y=23+3=94,故(3,4)P.答案:,【补偿训练】集合A是由形如m+ n(mZ,nZ)的数组成的,试判断 是不是集合A中的元素.【解析】因为 =2+ =2+ 1,而2,1Z,所以2+ A,即 A.,类型三集合元素互异性的应用【典例】已知集合A由元素1和a2组成,求实数a的取值范围.【解题探究】本例集合A中的元素要满足什么条件?提示:据集
11、合中元素的互异性知1a2.【解析】由集合元素的互异性知a21,即a1,故实数a的取值范围是aR且a1.,【延伸探究】1.(变换条件)本例若将集合A中元素“1和a2”改为“a-3和2a-1”,则实数a的取值范围是什么?【解析】由集合元素的互异性知a-32a-1,解得a-2,故实数a的取值范围是a-2.,2.(变换条件)本例中增加条件“aA”,其他条件不变,则实数a的值是什么?【解析】由aA可知,当a=1时,此时a2=1,与集合元素的互异性矛盾,所以a1.当a=a2时,a=0或1(舍去).综上可知a=0.,【方法技巧】利用集合元素互异性求参数的策略及注意点(1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解
12、出字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对集合中元素进行检验.(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.,【补偿训练】已知集合A含有三个元素分别是:a+2,(a+1)2,a2+3a+3,若1A,求实数a的值.【解析】若a+2=1,则a=-1,所以A中元素是1,0,1,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;若(a+1)2=1,则a=0或a=-2,当a=0时,A中元素是2,1,3,满足题意.当a=-2时,A中元素是0,1,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2(均舍去).综上可知,a=0.,【延伸探究】本题中若将1A改为4A,则
13、结果如何?【解析】若a+2=4,则a=2.所以A中元素是4,9,13,满足题意.若(a+1)2=4,则a=1或a=-3.当a=1时,A中元素是3,4,7,满足题意.当a=-3时,A中元素是-1,4,3,满足题意.若a2+3a+3=4,则a= ,代入后都满足题意,故a的值为a=1,a=2,或a=-3或a= .,易错案例 利用集合元素的互异性求参数【典例】已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2A,则实数x的值为 .,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是忽略了集合中元素应满足互异性,没有对所求的值进行验证导致产生了多余的解.,【自我矫正】由x2A知,x2
14、=0或x2=1或x2=x.(1)若x2=0,则x=0,此时集合A中有两个相同元素0,不符合集合中元素具有互异性,舍去.(2)若x2=1,则x=1.当x=1时,此时集合A中有两个相同元素1,舍去.当x=-1时,集合A中含有三个元素1,0,-1,符合题意.(3)若x2=x,则x=0或x=1,由(1)(2)知,应舍去.综上可知:x=-1.答案:-1,【防范措施】1.分类讨论的意识解答含有字母的元素与集合关系的问题时,当对应关系不明确时,应注意分类讨论.如本题中x2与哪个元素相等不确定,因此应分三种情况求解.2.解后检验的意识根据条件求出有关参数的值后,要根据集合中元素的互异性进行验证,舍去不合题意的解.如本例中应对x=0,-1,1分别进行检验.,
