1、1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性,【知识提炼】1.增函数与减函数的相关概念,f(x1)f(x2),2.函数的单调性及单调区间,增函数或减函数,单调性,区间D,【即时小测】1.思考下列问题:(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗?提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数f(x)=1,xR在定义域上就不是单调的.,(2)增、减函数定义中的“任意x1,x2D”可否改为“存在x1,x2D”?提示:不能改,如函数f(x)= x2中,虽然f(-1)f(2),但该函数在定义域上不是单调函数.(3)函数f(x)在实数集R上是增函数,则f(1)f(4)成立吗?提示
2、:成立.由于函数在R上是增函数,且14,故f(1)B.k-C.kD.k-【解析】选C.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则必有2k-10,所以kf(b),则a与b的大小关系是.【解析】因为f(x)在R上是增函数,所以当f(a)f(b)时,有ab.答案:ab,5.如图所示为函数y=f(x),x-4,7的图象,则函数f(x)的单调递增区间是.,【解析】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函数的单调递增区间是-4,-2,4,7.答案:-4,-2,4,7,【知识探究】知识点 函数的单调性与单调区间观察图形,回答下列问题:,问题1:上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它们的变化趋势
3、是否相同?问题2:能否说f(x)= 在定义域(-,0)(0,+)上是减函数?,【总结提升】1.对增函数、减函数概念的三点说明(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部”性质.,(2)定义中的x1和x2有如下三个特征:任意性:即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;有大小之分;属于同一个单调区间.(3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系:比如f(x)在定义域I上是减函数,若x1,x2I,则f(x1)f(x2)x10时,单调增区间为(-,+);a0时,单调减区间为(-,0)和(0,+);
4、a0时,单调减区间为(-,m,单调增区间为m,+);a4.,【解析】函数f(x)在(2,+)上是增函数,证明如下:任取x1,x2(2,+),且x14,x1x2-40,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)=x+ 在(0,2)上是减函数.,2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数“f(x)=x+ ”变为“f(x)= ”,求证函数f(x)在(-1,+)上为减函数.,【证明】任取x1,x2(-1,+),且x1x1-1,所以x2-x10,(x1+1)(x2+1)0,因此f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-1,+)上为减函数.,【方法技巧】
5、利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x10,则必有()A.函数f(x)先增后减B.函数f(x)先减后增C.函数f(x)是R上的增函数D.函数f(x)是R上的减函数,【解析】选C.由 0知,当ab时,f(a)f(b);当ab时,f(a)0”变为“(a-b)f(a)-f(b)b时,f(a)f(b),所以函数f(x)是R上的减函数.,类型三函数单调性的应用【典例】1.(2015张家界高一检测)已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是.2.(2015广州高一检测)已知函数y=f(x)是定义在(0,+)上的增函数,对于任意的x0,y0,都有f(xy)=
6、f(x)+f(y),且满足f(2)=1.(1)求f(1),f(4)的值.(2)求满足f(2)+f(x-3)2的x的取值范围.,【解题探究】1.典例1中x1时对应的函数值f(x)与f(1)的大小关系如何?提示:f(x)是R上的增函数,所以x1时f(x)f(1).2.典例2中f(2)=1,则2与f(2)什么关系?提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).,【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x)需满足在区间(-,1和(1,+)上都是单调递增的,并且端点处x=1的函数值-12-a-5 ,即a-3;f(x)=-x2-ax-5的对称轴为直线x=- ,且在(-,1上单调递增,所以
7、- 1,即a-2;f(x)= 在(1,+)上单调递增,所以a0.综上所述,a的取值范围是-3,-2.答案:-3,-2,2.(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以f(4)=2.(2)由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y)可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).因为f(2)+f(x-3)2,所以f(2(x-3)f(4).又函数f(x)在定义域（0,+）上是单调增函数,所以 解得3f(b)ab,单调减函数f(x)中f(a)f(b)af(3m-4),求m的取值范围.【解题指南】由y=f(x)在R
8、上是增函数可知f(2m+1)f(3m-4)2m+13m-4,解此不等式即可.【解析】由y=f(x)在R上是增函数且f(2m+1)f(3m-4)知,2m+13m-4,解得m5,所以m的取值范围是(-,5).,【补偿训练】(2015杭州高一检测)f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围是.【解题指南】一次函数在定义域上单调递减,则一次项系数要小于0.,【解析】因为f(x)= 是R上的减函数，答案：,规范解答 利用函数单调性求解参数取值范围【典例】(12分)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(2a-1),求a的取值范围.【审题指导】不等式f(1-a)f(2a-1)
9、为抽象不等式,不能直接解.考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解.,【规范解答】由题意可知3分解得0a1.5分,因为f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)2a-1, 8分即a . 9分由可知,0a , 11分即所求a的取值范围是 12分,【题后悟道】1.树立定义域优先的原则研究函数问题,特别是研究函数的单调性时,要先看函数定义域,树立定义域优先的原则,如本例,若忽视定义域则将所求参数范围扩大.,2.准确理解增、减函数的意义增函数、减函数的定义中蕴含了在定义区间内自变量的不等关系与相应函数值不等关系的相互转化,这一点要紧紧依赖函数的增减性,如本例若不注意函数是减函数则易将不等式转化错误.,
