1、三 角 函 数,1.4三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象,1理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法2能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题,基础梳理,一、 正切函数的性质 (1)正切函数的定义域和值域：定义域为_，值域为_；(2)正切函数的周期性：ytan x的周期是_ (kZ，k0)，最小正周期是_；(3)正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是_函数，其图象关于原点_(4)正切函数的单调性：正切函数在开区间_(kZ)内都是增函数,一、(1) R(2)k(3)奇中心对称(4),练习1：正切函数ytan x在区间 上的值域为_,1,1,思考应用,1能否说正切
2、函数在整个定义域上是增函数？,解析：不能正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数举反例：x1 ，x2 ，x1x2.tan x1tan x2这与单调性的定义矛盾对每一个kZ，在开区间 内，函数单调递增,二、正切函数的图象 (1)根据正切函数ytan x的定义和周期，通过_单位圆中的_来作出它在区间 上的图象；,平移,正切线,(2)将正切函数ytan x在区间 上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数ytan x 的图象我们把它叫做_正切曲线是被互相平行的直线x_(kZ)所隔开的无数多支曲线组成的这
3、些平行直线x_(kZ)叫做正切曲线各支的_,(2)正切曲线k k 渐近线,(3)结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用_作图法作出正切函数y tan x在一个单调区间 上的简图其中，三点为： ，(0,0)， .二线为：x ，x .画图时，注意图象不能与直线xk ，(kZ)相交,三点两线,思考应用,2你能求不等式tan x 的解集吗？,分析：本题可利用图象直观解决解析：作正切函数ytan x在区间 上的简图，观察图象，且由正切函数ytan x在区间上 单调递增，tan ，tan x ，即tan xtan ，在区间 内，不等式tan x 的解集 ，故由正切函数的周期性可知原
4、不等式的解集为 ，(kZ),自测自评,解析： 因为3，所以最小正周期T ，故选B.答案：B,2下列命题正确的是()A正切函数在定义域内是增函数B正弦函数在定义域内是增函数C函数y3tan 的图象关于y轴对称D若x是第一象限角，则ytan x是增函数，ycos x是减函数,解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A、B、D，选C.答案：C,4函数y 的值域是()A1,1 B(，1)(1，)C(，1 D1，),正切函数的图象,函数ytan 在一个周期内的图象是(),分析：本题主要考查函数yAtan(x )的图象,点评：三点两线法是作正切函数图象的常用方法,跟踪训练,正切函数
5、的周期性,求下列函数的最小正周期：(1)ytan ；(2)y|tan x|.分析：本题主要考查正切函数的周期，(1)式利用T 求解；(2)式应画出函数y|tan x|的图象，利用图象法求解,解析：(1) ，最小正周期T 3；(2)函数y|tan x|的图象是将函数ytan x的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折上去，其余不变，因此函数y|tan x|的最小正周期为.点评：函数y|tan(x )|的最小正周期为T .,跟踪训练,分析：本题主要考查正切函数的周期，利用T 求解即可,正切函数的单调性,求函数ytan 的单调减区间分析：求yAtan(x )的单调区间，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换
6、，将x 代入相应不等式中，求解相应变量x的取值范围,跟踪训练,3比较tan 1，tan 2，tan 3的大小,分析：比较正切函数值的大小，应首先把相关角化为同一单调区间的角，再利用单调性比较大小如不是一个单调区间的角，则可用介值法进行比较解析： tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，032 ， 2301 ，而函数ytan x在区间 上单调递增，则tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.,正切函数的综合问题,画出函数y|tan x|tan x的图象，并指出其定义域、值域、最小正周期和单调增区间分析：本题主要考查正切函数的图象和性质，应先对tan x值的符号
7、分类讨论，作出函数y|tan x|tan x的图象后，再进行研究,跟踪训练,4设函数y10tan ，kN*当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值,一级训练1函数ytan 的周期为()A. BC2D4,解析：tan 600tan(360240)tan 240tan(18060)tan 60 .答案：D,1正切函数单调区间的求法：求yAtan(x )的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，再由不等式kx k ，(kZ)求得x的范围即可2比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小3解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集,祝,您,学业有成,
