1、算法初步,13算法案例1.3.1辗转相除法与更相减损术,理解辗转相除法与更相减损术的含义和运算,基础梳理,1我们求最大公约数的方法就是辗转相除法也叫欧几里得算法，它是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r00，则n为m，n的最大公约数；若r00，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；,第三步：若r10，则r0为m，n的最大公约数；若r10，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；依次计算直至rn0，此时所得到的rn1即为所求的最大公约数例如：12与18
2、的最大公约数为多少？,解析：181216；1262；所以12与18的最大公约数6.,2更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之翻译成现代语言为：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数若是，用2约简；若不是，执行第二步第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数,例如：用更相减损术求两个正数12与18的最大公约数351与72的最大公约数为_4语句rm MOD n表示m除以n余数为r，问：
3、14 MOD 3等于_？,解析：12为偶数，减半为6,18为偶数，减半为9,963；633；所以12与18的最大公约数为326.,3,2,思考应用,1如何求两个数的最大公约数？,解析：先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来如下图所示：25和35的最大公约数为5.,2辗转相除法与更相减损术有何区别？,解析： 辗转相除法与更相减损术都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，
4、而更相减损术则以减数与差相等而得到,自测自评,1下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是()A16和12的最大公约数是4B78和36的最大公约数是6C85和340的最大公约数是17D105和315的最大公约数是105,C,2在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)(4,12)(4,8)(4,4)，由此可以看出12和16的最大公约数是( )A4 B12C16 D8,A,3“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”( )A.2333 B.23 C.46 D.694284和1024的最小公倍数是( )A1024 B142 C72704 D568,B,解析
5、：可以求得284和1024的最大公约数为4，所以最小公倍数为2841024/472704.答案：C,辗转相除法求最大公约数,用辗转相除法求820与500的最大公约数,解析：8205001320；5003201180；3201801140；180140140；14040320；40202；所以820与500的最大公约数为20.,跟踪训练,1用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是()A3 B9 C17 D51,解析：4593571102,357102351，102512，所以51是102和51的最大公约数，也就是459和357的最大公约数答案：D,更相减损术求最大公约数,用更相减损术求9
6、8与63的最大公约数,解析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：9863356335283528728721217141477所以，98与63的最大公约数是7.,跟踪训练,2用“更相减损术”求225与135的最大公约数为()A45 B5 C9 D15,解析：22513590,1359045,904545，所以选A.答案：A,比较辗转相除法与更相减损术,用辗转相除法求下面两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：(1)80,36； (2)294,84.,分析：使用辗转相除法，我们可依据anbr这个式子，反复执行，直到r0为止用更相减损术就是根据rab这个式子，反复执行
7、解析：(1)803628368448420即80与36的最大公约数是4.,验证：803644，44368,36828,28820 ， 20812,1284,844.80与36的最大公约数为4.(2)2948434284422即294与84的最大公约数是42.验证：294与84都是偶数可同时除以2，即取147与42的最大公约数后再乘2.,14742105，1054263，634221，422121，294与84的最大公约数为21242.点评：由该题可以看出，辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减损术运算简易，解题时要灵活运用,跟踪训练,3用更相减损术求98与64的最大公约数,解析：由于64是偶
8、数，减半为32，把98和32以大数减小数，并辗转相减，即：983266；663234；34322；32230；30228； ；422；所以，98与64的最大公约数是2.,辗转相除法的程序框图与程序,写出辗转相除法的程序框图及程序,解析：rmMODn表示m除以n的余数为r，例如：315MOD6程序框图：,程序：,INPUT“m”；mINPUT“n”；nIFmn THENxmmnnxENDIF,rmMODnWHILEr0 rmMODnmnnrWENDPRINTmEND,跟踪训练,4下边程序运行后输出的结果为( ),A50B. 5C. 25D. 0,a0j1WHILEj5a(aj)MOD 5jj1WENDPRINTaEND,D,1求最大公约数的方法要熟练使用但一般不要求会编写相应的程序2三个数的最大公约数求法一般是第一与第二个数的最大公约数，然后求这个最大公约数与第三个数的最大公约数,祝,您,学业有成,
