1、24平面向量的数量积,24.1平面向量数量积的物理背景及含义,学习导航预习目标重点难点重点：平面向量数量积概念、运算律及其相关性质和运用难点：数量积的几何意义,1.平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b，它们的夹角为，则把数量_叫做a与b的_ (或_)，记作_，即_规定零向量与任一向量的数量积均为_,|a|b|cos,数量积,内积,ab,ab|a|b|cos,0,做一做1.若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn_,想一想1.向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：向量的数量积ab是一个实数；数乘向量a是一个向量，这是二者的主要区别,2.向量的数量积的几何意义(1)投影：|a|c
2、os(|b|cos)叫做向量_在_方向上(b在a方向上)的_(2)几何意义：数量积ab等于a的长度_与b在a的方向上的投影_的乘积,a,b,投影,|a|,|b|cos,想一想2.投影是向量吗？提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它的符号由的取值决定,3.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)ab_(2)当a与b同向时，ab_，当a与b反向时，ab_,ab0,|a|b|,|a|b|,|a|2,4.向量数量积的运算律(1)ab_ (交换律)(2)(a)b_ (结合律)(3)(ab)c_ (分配律),ba,(ab)a(b),acbc,想一想3.对于向量abc，等式(a
3、b)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立，若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立,【名师点评】求两向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角；(2)分别求|a|，|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos.应注意书写时a与b之间用“”连接，而不能用“”连接，也不能省去,互动探究,已知向量a、b满足|a|b|5，且a与b的夹角为60，求|ab|，|ab|，|2ab|.,【名师点评】求解模问题一般转化求模的平方，与向量的数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方,(本题满分12分)已知abc0，|a|3，|b
4、|5，|c|7.(1)求a与b的夹角；(2)是否存在实数,使ab与a2b共线？(3)是否存在实数,使 ab与a2b垂直？,名师微博 利用mnmn0,变式训练2.已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角,2.已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_答案：73.已知ab，且|a|2，|b|1，若对于两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值,方法技巧1.两向量的数量积的结果是数量而非向量，它可正可负还可能为0，这由两向量夹角的余弦值来决定2.非零向量ab0ab是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直的问题十分有效，应熟练掌握,失误防范1.两个向量a，b的数量积为ab，与代数中两个数a，b的乘积ab(或ab)不同，但又类似，书写时一定要严格区分2.非零向量b在a方向上的投影|b|cos是一个实数，可正、可负，也可为0，与线段区分开,
