1、3.3.3函数的最大(小)值与导数,第三章导数及其应用,学习目标重点难点重点：利用导数求函数的最值.难点：函数最值与导数的关系.,学习导航,函数f(x)在闭区间a,b上的最值如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在a,b上一定能够取得_和_,并且函数的最值必在_或_处取得.,最大值,最小值,极值点,端点,想一想如果函数在开区间内只有一个极大值,它一定是最大值吗?提示：是,在极值点左侧,函数单调递增,在极值点右侧,函数单调递减,所以该极值是最大值.,做一做函数yx33x2,x2,2的最大值为_,最小值为_.答案：020,题型一求已知函数的最值 求函数f(x)x42x
2、23在3,2上的最值.【解】法一：f(x)4x34x,令f(x)4x(x1)(x1)0,得x1,x0,x1.当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x3时,f(x)取最小值60;当x1或x1时,f(x)取最大值4.,法二：f(x)x42x23,f(x)4x34x,令f(x)0,即4x34x0.解得：x1或x0或x1.又f(3)60,f(1)4,f(0)3,f(1)4,f(2)5.所以当x3时,f(x)有最小值60.当x1时,f(x)有最大值4.,【名师点评】求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数yf(x)在各极
3、值点与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数f(x)在a,b上的最值.当然,也可以采用列表法,只需将区间的端点值放在求函数极值表格的两端即可.,变式训练1.已知f(x)x32x24x5,求函数在3,1上的最大值和最小值.,题型二已知函数的最值求参数的值 若f(x)ax36ax2b(a0),x1,2的最大值为3,最小值是29,求a、b的值.【解】f(x)3ax212ax3a(x24x).令f(x)0,得x0,x4,x1,2,x0.a0,f(x),f(x)随x变化情况如下表：,当x0时,f(x)取最大值,b3.又f(2)8a24a316a3,f(
4、1)7a3f(2),当x2时,f(x)取最小值,16a329,a2,a2,b3.,【名师点评】根据函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一,因为参数会对函数的最值有影响,所以解决此类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.,题型三与最值有关的恒成立问题 (本题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bxc(a,b,cR).(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x2,6时,f(x)f(x)恒成立,只要m大于f(x)的最大值即可;同理,要使mf(x)恒成立,只需m0)在x1处取得极值3c,其中a,b,c为常数.若对任意x0,不等式f(x)2c2恒成立,求c的取值范围.解：由题意知f(1)3c.因此bc3c,从而b3.对f(x)求导,得,方法技巧函数的极值与最值的区别和联系,失误防范(1)在开区间上连续的函数不一定有最值.例如ylog2x在(0,2)是连续的.但在该区间上,ylog2x既没有最大值,也没有最小值.(2)有极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取必定是极值.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
