1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质,2.3.1直线与平面垂直的判定,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,目标导航,预习导引,1,2,3,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流：判一判.(正确的打“”,错误的打“”)(1)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直. ()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直. ()(3)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面. ()(4)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. ()提示:(1)(2)(3)(4),目标导航,预习导引,1,2,3,目
2、标导航,预习导引,1,2,3,(2)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.(3)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0的角.所以直线与平面所成角的范围是090.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一、直线与平面垂直的证明对直线与平面垂直的判定定理的理解(1)“两条相交直线”是不可忽视的条件.(2)要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.(3)定理体现了转化的数学思想,即由线线垂直转
3、化为线面垂直.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例1】 如图所示,RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.思路分析:(1)由于D是AC的中点,SA=SC,则SD是SAC的高,可证SDBSDA.(2)由AB=BC,则RtABC是等腰直角三角形,则BDAC,利用线面垂直的判定定理即可得证.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,证明:(1)SA=SC,D为AC的中点,SDAC.在RtABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,ADSBDS.SDBD.又ACBD=D,SD平面ABC.(2
4、)BA=BC,D为AC的中点,BDAC.又由(1)知SDBD,于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.BD平面SAC.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,BA=BC,O是AC的中点,则AC与平面VOB的关系是.答案:AC平面VOB解析:VA=VC,且AO=OC,VOAC.BA=BC,且AO=OC,BOAC.BOVO=O,AC平面VOB.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二、直线与平面垂直的应用1.一条直线垂直于一个平面,是指这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线,因此,我们经常使用下面的命题: 这是
5、我们判定两条直线垂直时,经常使用的一种重要方法.2.直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊情况.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例2】 如图,已知APO所在平面,AB为O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,过点A作AEPC于点E,求证:AE平面PBC.思路分析:要证AE平面PBC,AEPC,只需证AEBC;要证AEBC,只需证BC平面PAC.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,证明:PAO所在平面,而BC在O所在平面内,PABC.又AB为O直径,ACBC.又PAAC=A,BC平面PAC.AE平面PAC,BCAE.又AEPC,BCPC=C,AE平面PBC.,一,二,
6、三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,如下图,平面=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B,求证:CDAB.证明:EA,CD,根据直线和平面垂直的定义,则有CDEA.同样,EB,CD,则有EBCD.又EAEB=E,CD平面AEB.又AB平面AEB,CDAB.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、直线与平面所成的角寻找斜线在平面内的射影,是解决斜线和平面所成角的关键.要找射影,就要寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线,没有垂线的,还要在斜线上取一点作平面的垂线,垂足和斜足的连线就是斜线在平面内的射影,但要注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与已知量有关,才
7、能便于计算.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例3】 如图所示,在RtBMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影线段AB长为4,MBC=60,求MC与平面CAB所成角的正弦值.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.解:如图,取AA1的中点M,连接EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EMAD.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD平面ABB1
8、A1,所以EM平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2,案例探究,误区警示,如图,已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.审题:抓信息,找思路.,案例探究,误区警示,解题:取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于点O,连接AO,AD1,B1C.由已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,又B1CBC1,B1CD1C1,BC1D1C1=C1,BC1平面AC1,D1C1平面AC1,B1C平面AC1.E,F分别为A1B1,CD的中点,EFB1C.EF平面AC1,即EAO为所求线面角.,案例探究,误区警示,找斜线在平面内的射影时,不能只说斜线在平面内的射影是哪条线,还要进行证明其正确性,才能说明某个角就是斜线与平面所成的角.,
