1、1.2任意角的三角函数,1.2.1任意角的三角函数,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,1.任意角的三角函数的定义,(1),目标导航,预习导引,1,2,3,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有关?提示:三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号你能总结出记忆的规律吗?提示:记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.其含义是:第一象限角的各三角函数值都为正;第二象限角的
2、正弦值为正,其余均为负;第三象限角的正切值为正,其余均为负;第四象限角的余弦值为正,其余均为负.,目标导航,预习导引,1,2,3,2.诱导公式一即:终边相同的角的同一三角函数的值相等.,预习交流同一三角函数值相等时,角是否一定相等?,目标导航,预习导引,1,2,3,提示:不一定.如sin 30=sin 150=,目标导航,预习导引,1,2,3,3.三角函数线图中有向线段 MP,OM,AT分别表示角的正弦线、余弦线和正切线.,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流当角的终边与x轴、y轴重合时,正弦线、余弦线、正切线如何?提示:当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,余弦线不变;当
3、角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,正弦线不变.,一,二,三,一、利用定义求三角函数值对任意角的三角函数定义的三点说明(1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确,是一个任意角.(2)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和P(x,y)在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定.(3)要明确sin 是一个整体,不是sin与的乘积,它是“正弦函数”的一个记号,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.,知识精要,典题例解,迁移应用,四,【例1】 已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角的正弦值为,求cos 和
4、tan 的值.思路分析:解答本题可先用正弦函数的定义,求出M点的纵坐标,再用点在圆上,求出点的横坐标,得cos 与tan 的值.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,(1)若=,则sin =,cos =,tan =.(2)已知角的终边过点P(-3a,4a)(a0),求2sin +cos 的值.,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,解析:,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,(2),一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二、三角函数值的符号问题对正弦、余弦、正切函数值在各
5、象限的符号的两点说明,(1)由三角函数的定义知,可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律,三角函数值在各象限的符号规律可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.,四,典题例解,迁移应用,知识精要,【例2】 判断下列各式的符号:(1)sin tan ,其中是第四象限角;,思路分析:先判断角所在的象限,再根据三角函数值的象限符号判断每个式子的符号.,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,
6、知识精要,若sin cos 0,则的终边在()A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限答案:D解析:sin cos 0,sin 与cos 异号.的终边在第二或第四象限.,一,二,三,四,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、诱导公式一的应用对诱导公式(一)的三点说明(1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等.(2)公式一的结构特征:左、右为同一三角函数.公式左边的角为+k2,右边的角为.注意公式一中的条件kZ不可遗漏.(3)公式一的作用:把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.,四,典题例解,迁移应用,知识精要,【例3】 求
7、下列各式的值:,思路分析:利用诱导公式一转化成02(或0360)内的特殊角求解.,一,二,三,四,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,典题例解,迁移应用,知识精要,求下列各式的值:,(2)原式=sin(90+2360)+tan(45+2360)+tan(45+3360)+cos(0+360)=sin 90+tan 45+tan 45+cos 0=4.,一,二,三,四,一,二,三,四,四、三角函数线的简单应用对三角函数线的四点说明(1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,这三种线段都是与单位圆有关的有向线段,这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值.(2)
8、三角函数线都是有向线段.因此在用字母表示这些线段时,也要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序也不能颠倒.为此,我们规定凡由原点出发的线段,以原点为起点;不从原点出发的线段,以三角函数线与坐标轴的交点为起点.,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,四,(3)三角函数线的画法:作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线AT.(4)三角函数线的主要作用:解三角不等式及比较同角异名三角函数值的
9、大小.是以后学习三角函数图象与性质的基础.,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,【例4】 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:,解:(1)作直线y= 交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图(1)阴影部分)即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为 .,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,(2)作直线x=- 交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图(2)阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 .,一,二,三,四,典题例解,迁移应用,知识精要,典题例解,迁移应
10、用,知识精要,一,二,三,四,(1)如果 ,那么下列不等式成立的是()A.cossin tan B.tansin cosC.sincostan D.costan sin (2)利用三角函数线比较下列各组数的大小:,(1)答案:A,典题例解,迁移应用,知识精要,解析:如图,在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,很容易地观察出OMMPAT,即cos sin MP0,ATATsin .tan tan .,一,二,三,四,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,对三角函数定义理解不准而致错已知角的终边过点P(-3m,m)(m0),则sin =.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,准确理解定义要从定义的内涵和外延准确把握定义,同时对三角函数的定义的形式要准确记忆.在化简过程中,对字母参数要注意分类讨论,做到不重不漏,如本例中要对字母参数m的取值范围进行讨论.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,已知角的终边经过点P(-8m,-6cos 60),且cos =- ,则m的值为.,解析:点P坐标为(-8m,-3),又cos 0.,
