1、第三节 三角函数的图象与性质,1.周期函数和最小正周期(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域中的每一个值x，都存在一个_T，使得_,则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期.(2)最小正周期：周期函数f(x)的所有周期中，最小的一个_.,非零常数,f(x+T)=f(x),正数,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,R,R,x|xR且,x +k,kZ,-1,1,-1,1,R,2k- ,2k+ ,2k+ ,2k+ ,2k-,2k,2k,2k+,(k- ,k+ ),+2k,(kZ),- +2k,(kZ),2k(kZ),+2k,(kZ),-1,(k,0),kZ,(k+ ,0),kZ,(
2、 ,0),kZ,x=k+ ,kZ,x=k,kZ,判断下面的结论是否正确(请在括号中打“ ”或“”).(1)常数函数f(x)=a是周期函数，它没有最小正周期.( )(2)y=sin x在x0, 上是增函数.( )(3)y=cos x在第一、二象限上是减函数.( )(4)y=tan x在整个定义域上是增函数.( )(5)函数y=sin xcos x是R上的奇函数.( )(6)y=tan 2x的最小正周期为.( ),【解析】(1)正确.由周期函数的定义，对任意非零实数b,都有f(x+b)=a,故任意非零实数都是f(x)的周期，故没有最小正周期.(2)正确.由y=sin x在x 上递增，知f(x)=s
3、in x在 上是增函数.(3)错误.y=cos x在(2k,2k+)(kZ)上递减，但不能说在第一、二象限内递减.,(4)错误.y=tan x在 (kZ)上递增，但在整个定义域上并不单调.(5)正确.f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x).由奇函数定义可知f(x)=sin xcos x是R上的奇函数.(6)错误.由 知y=tan 2x的最小正周期为答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.下列函数中，在 上是增函数的是( )(A)y=sin x (B)y=cos x(C)y=sin 2x (D)y=cos 2x【解析】选D.由x ，得2x,
4、2,又由y=cos x在2k-,2k(kZ)上是增函数，故y=cos 2x在 上是增函数.,2.函数 的图象的一条对称轴方程是( )(A) (B) (C) (D)x=【解析】选B.方法一：由 得, kZ.k=0时， 故选B.方法二：排除法.在函数的对称轴上，函数取最大或最小值.而当 时， 此时函数取得最大值，故 是函数的一条对称轴.,3.函数f(x)=tan x(0)的图象与直线y=a相交的相邻两交点间距离是 则f( )的值是( )(A) (B) (C)1 (D)-【解析】选B.由相邻两交点间距离是 知f(x)的周期是由 得=2.f(x)=tan 2x，,4.函数 的递减区间是_.【解析】由得
5、故函数的单调递减区间是答案：,5.函数 的定义域是_.【解析】由题意知 即即答案：,6.若直线y=a与函数y=sin x, x-2,2)的图象有4个交点,则a的取值范围是_.【解析】如图所示:若y=sin x与y=a有4个交点,则-1a1.答案：-1a1,考向 1 三角函数的定义域和值域 【典例1】(1)函数 的定义域为( )(A)(B) (C) (D)R,(2)已知函数y=sin x的定义域为a,b,值域为则b-a的值不可能是( )(A) (B) (C) (D)(3)当 时，函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是_，最大值是_.,【思路点拨】(1)结合单位圆或余弦函数的图象求解.(2
6、)作出函数图象数形结合求解.(3)利用同角三角函数关系式转化为关于sin x的二次函数求解.【规范解答】(1)选C.由题意可得 即 如图可知.角的终边落在 与 之间的阴影部分(包括边界).故2k- x2k+ ,kZ,故选C.,(2)选A.画出函数ysin x的草图分析，当定义域为 时， 当定义域为 或 时， 所以ba的取值范围为,(3)因为 所以y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1=所以当 时，当sin x=1或 时，ymax=2.答案： 2,【互动探究】本例题(3)中若将cos x用sin x代替，sin x用cos x代替，又将如何求解？【解析】由 所以y=3-c
7、os x-2sin2x=2cos2x-cos x+1=当 时，当cos x=-1时，ymax=4.,【拓展提升】1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求.(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域.(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.,【变式备选】(1)函数 的定义域为_.【解析】由2sin x-10得 又sin x1，
8、答案：,(2)求函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x0,的最大值和最小值.【解析】设sin x-cos x=t, 得= 当t=1时，ymax=1；当t=-1时，ymin=-1.,考向 2 三角函数的单调性 【典例2】求下列函数的单调区间.(1) (2)y=|tan x|.【思路点拨】(1)利用诱导公式将x的系数化成正值，再利用正弦函数的单调区间求解.(2)利用数形结合法求解.,【规范解答】(1)原函数 可化为故所求函数的增区间是 的减区间.由得所求函数的减区间是 的增区间.由 得故所求函数的增区间为减区间为,(2)作出函数y=|tan x|的图象如图.可知所求函数的增区间是
9、k,k+ )(kZ),减区间是(k- ,k(kZ).,【拓展提升】三角函数的单调区间的求法(1)代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.,(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.【提醒】求解函数的单调区间时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.,【变式训练】已知函数y=sin x在区间 上是减函数，则的取值范围是( )(A)- ，0) (B)-3，0(C)(0， (D)(0，3【解
10、析】选A.方法一：由题意可知0，0，直线 和 是函数f(x)=sin(x+)图象的两条相邻的对称轴，则=( )(A) (B)(C) (D)【解析】选A.由题意可知函数f(x)的周期 故=1，f(x)=sin(x+)，令 kZ,将 代入可得 kZ,0,4.(2013梅州模拟)函数 的最大值及最小正周期分别为_.【解析】故故故最大值为1，最小正周期为.答案：1,5.(2013揭阳模拟)对于函数给出下列四个命题：该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当x=+k(kZ)时，该函数取得最小值-1；该函数的图象关于 对称；当且仅当 时，其中正确命题的序号是_.(请将所有正确命题的序号都填上),【解析】画
11、出函数f(x)的图象.由图象可得函数的最小正周期为2，故错误；当x=+2k(kZ)或 时，函数取得最小值-1，故不正确;结合图象可得正确.答案：,1.如果函数f(x)=sin 2x+acos 2x的图象关于直线 对称，则实数a的值为( )(A) (B) (C)1 (D)-1【解析】选D.由题意可知, 对任意x恒成立，故当 时有即a=-1.,2.设函数 若对任意xR,存在x1,x2，使f(x1)f(x)f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选B.由f(x1)f(x)f(x2)恒成立，故f(x1)为最小值，f(x2)为最大值，|x1-x2|的最小值为半个周期，由 得,3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为,且当 时，f(x)=sin x，则 的值为_.【解析】答案：,
