1、第十一节 导数在研究函数中的应用,1.函数的单调性与导数正负的关系,2.函数的极值与导数 (1)极值的概念,(2)判别f(x0)是极大(小)值的方法若x0满足f(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数_，则x0是f(x)的极值点.如果在x0附近的左侧_，右侧_，即“_”，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，即“_”，那么f(x0)是极小值.,异号,f(x)0,f(x)0,左正右负,f(x)0,f(x)0,左负右正,3求函数在a,b上最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_.(2)将函数y=f(x)的各_与_，_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，
2、得出函数f(x)在a,b上的最值.,极值,极值,端点处的函数值f(a),f(b),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1) f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.( )(2)函数在某区间上或定义域内极值是唯一的.( )(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )(4)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ),【解析】(1)错误.f(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增，但f(x)0所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件
3、(2)错误一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小.,(4)错误.对可导函数f(x)，f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件，如y=x3在x=0时f(0)=0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值.答案：(1)(2)(3)(4)(5),1函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为( )(A)(0 ) (B)( +)(C)(- ) (D)(-,a)【解析】选A.由f(x) 0，得0x1，则f(x)x的解集是( )(A
4、)(0,1) (B)(1,0)(0,1)(C)(1，) (D)(，1)(1，)【解析】选C.令F(x)f(x)x，则F(x)f(x)10，所以F(x)是增函数，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，),考向 1 利用导数研究函数的单调性【典例1】(1)(2012辽宁高考)函数 的单调递减区间为( )(A)(-1,1 (B)(0,1(C)1,+) (D)(0,+),(2)(2012北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)
5、的单调区间.,【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下，利用y0解得单调递减区间.(2)利用交点既在f(x)上,也在g(x)上，在公切点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求单调区间.,【规范解答】(1)选B.由y=( x2-ln x)=x 0-1x1，且x0，又函数的定义域为(0,+),故单调递减区间为(0,1.(2)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，由已知可得 解得a=b=3.令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2,F(x)=3x2+2ax 令F(x)=0，得x1x2a0,x10得，x 由F(x)0得， x 单调递增区间是(-, ),(
6、+)；单调递减区间为,【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x)+g(x)当a0时，在区间(-，-1)上的单调性.【解析】由本例解析知，当a0时，函数的单调递增区间是(-, ),( +)；单调递减区间为( ).当 -1，即0a2时，f(x)+g(x)在(-，-1)上为增函数；当 -1 即2a6时，f(x)+g(x)在(-, )上单调递增，在( -1)上单调递减；,当 6时，f(x)+g(x)在(- )上单调递增，在( )上单调递减，在( -1)上单调递增.综上，当00时,f(x)的单调递减区间0， 与区间1,2可以存在交集，此时应满足 1，即a 故所求a的取值范围是( +).,
7、方法二：由f(x)在1,2上存在单调递减区间，知f(x)0即3x2-2ax0在1,2内有解即a 在1,2上有解故只需a( )min，又 在1,2上最小值为 故a 综上可知，a的取值范围是( +),【拓展提升】已知函数y=f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增, 则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解.【提醒】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b) 都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意
8、此时公式中的等号不能省略,否则漏解.,【变式备选】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex，xR，e为自然对数的底数(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间.(2)函数f(x)是否为R上的减函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由,【解析】(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得函数f(x)的单调递增区间是,(2)f(x)不是R上的减函数.若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2
9、)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减,考向3 利用导数研究函数的极值(最值)【典例3】(1)(2013韶关模拟)函数y=xex的最小值是( )(A)-1 (B)-e (C) (D)不存在(2)若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围是_.(3)(2012江苏高考改编)已知a，b是实数，1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点求a和b的值;设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2，求g(x)的极值点,【思路点拨】(1)先判断函数的单调性，再求最值.(2)函数无极值，等价于f(x)=0无实根，或存在不变号实根.(3)
10、求出f(x)的导数，根据1和-1是函数f(x)的两个极值点，代入列方程组求解即可；由得，f(x)=x3-3x，求出g(x)，令g(x)=0，求解讨论即可.,【规范解答】(1)选C.因为y=ex+xex=ex(x+1),所以当x-1时y0，故当x=-1时函数有极小值，也是最小值为-e-1=(2)f(x)=3x2+6ax+3(a+2)，由f(x)没有极值点得=36a2-36(a+2)0，即-1a2.答案：-1,2,(3)由f(x)=x3+ax2+bx得f(x)=3x2+2ax+b,又因1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点所以3x2+2ax+b=0的两个根分别为1和-1.由根与系数
11、的关系得1+(-1)= a=0,1(-1)= b=-3,所以a=0,b=-3，此时f(x)=x3-3x.由得，f(x)=x3-3x,g(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=-2.当x-2时，g(x)0;当-2x1时，g(x)0，x=-2是g(x)的极值点.当-2x1或x1时，g(x)0,x=1不是g(x)的极值点.g(x)的极值点是-2.,【拓展提升】“最值”与“极值”的区别和联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性(2)从个数上看，一个函数
12、在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一.,(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有.(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.,【变式训练】设 函数f(x)=x3- ax2+b在区间-1,1上的最大值为1，最小值为 求函数的解析式.【解析】f(x)=3x2-3ax,令f(x)=0，得x=0或x=a.又f(-1)=-1 +b,f(0)=b,f(a)=f(1)=显然f(-1)f(1),f(a)f(0),因为f(0)-f(1)=,所以f(
13、x)在-1,1上的最大值为f(0)=b,所以b=1.又f(-1)-f(a)= (a+1)2(a-2)0，所以f(x)的最小值为f(-1)=所以故所求函数的解析式是f(x)=,【满分指导】 导数在函数中的应用题的规范解答【典例】(12分)(2012江西高考)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.(1)求a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)- f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值.,【思路点拨】,【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex，f(x)=ax2+(
14、a-1)x-aex, 2分依题意对于任意x0,1,有f(x)0.当a0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.6分()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2.在x=1取得最小值g(1)=0.7分,()当0a1时,由g(x)=0得 若 1,即0a 时,g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.9分若 1,即 a
15、0，所以x=2为f(x)的极小值点.,2.(2012福建高考)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论：f(0)f(1)0; f(0)f(1)0;f(0)f(3)0; f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是( )(A) (B) (C) (D),【解析】选C.f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 函数f(x)在(-,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+)上单调递增，又因为f(a)=f(b)=f(c)=0，所以f(x)=0有三个实数根，故f(x)极大值=f(1)0,f(x)极小值=f(3)0,又f(0)=
16、-abc=f(3)，故f(0)0,故正确.,3.(2013珠海模拟)已知函数f(x)=x2+3x-2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为( )(A)(-2, ) (B)( +)(C)(-,-2) (D)(0, )【解析】选D.函数f(x)=x2+3x-2ln x的定义域为(0,+).因为f(x)= 令即2x2+3x-20，解得又x0，所以 故函数f(x)的单调递减区间为(0, ).,4.(2013佛山模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )(A)1，+) (B) 2)(C)1，2) (D)1， ),【解析】选
17、D.因为f(x)= 所以由f(x)=0得 当 时，f(x) 时，f(x)0，因此 是函数的极小值点.又函数在(k-1,k+1)内不是单调函数，故 (k-1,k+1)，即,5.(2013汕尾模拟)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是_.【解析】f(x)3x26b.当b0时，f(x)0恒成立，函数f(x)无极值当b0时，令3x26b0得x由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0 1，答案：(0， ),1.已知函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，那么函数f(x)的单调递减区间是( )(A)1，)
18、 (B)(，2(C)(，1)，(1,2) (D)2，),【解析】选C.根据函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，可知其导数f(x)(x2)(x21)(x1)(x1)(x2)，令f(x)0得x1或1x2.因此f(x)的单调递减区间是(，1)，(1,2),2函数f(x) 的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )【解析】选D.f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即( 1)( 1)0，解得,3.已知y x3bx2(b2)x3在R上不是增函数，则b的取值范围是_【解析】假设y x3bx2(b2)x3在R上是增函数，则y0恒成立即x22bxb20恒成立，所以4b24(b2)0成立，解得1b2，故所求为b2. 答案：b2,
