1、第十节 变化率与导数、导数的计算,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为_，若x=x2-x1，y=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表示为_.,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率_= 为y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或即f(x0)= =_.,(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0，f(x0)处的_.相应地，切线方程为_.3.函数y=f(x)的导函数称函数f(x)=_为函数y=f(x)的导函数，导函数有时也记作y.,
2、切线的斜率,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),4.基本初等函数的导数公式,0,x-1,cos x,-sin x,axln a,ex,5.导数四则运算法则(1)f(x)g(x)_.(2)f(x)g(x)_.(3) _(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.( )(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(5)若f(x)=a3+2ax-x2，则f(
3、x)=3a2+2x.( ),【解析】(1)错误.f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)=0.(2)错误.应先求f(x)，再求f(x0).(3)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线，但其交点个数有无数个.,(4)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点，但是y=0不是抛物线y2=x的切线.(5)错误.求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.在这里自变量是x而不是a，故f(x)=-2x+2a.答案：(1) (2) (3) (4)
4、(5),1下列函数求导运算正确的个数为( )(3x)3xlog3e；(log2x) ( )x.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选A.由求导公式可判断; 为一常数，所以( )=0; 求导运算正确的只有.故选A.,2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为( )(A)2(x2a2) (B)2(x2a2)(C)3(x2a2) (D)3(x2a2)【解析】选C.f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2),3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为 那么速率为零的时刻是( )(A)0秒 (B)1秒末(C)2秒末 (D)1秒末和2秒末【解析】选D.st23t2，令s0，
5、则t1或t2.,4曲线f(x)xln x在点x1处的切线方程为( )(A)y2x2 (B)y2x2(C)yx1 (D)yx1【解析】选C.f(x)ln x1，f(1)1，f(1)0.切线方程为y1(x1)，即yx1，故选C.,5若f(x)xcos xsin x，则f( )_.【解析】f(x)xcos xsin x，f(x)cos xxsin xcos xxsin x，答案：,6若函数ytan x，则函数在点(0,0)处的切线的斜率是_.【解析】y 故y|x=0=1.即所求切线的斜率是1.答案：1,考向 1 导数的运算【典例1】求下列函数的导数:(1)y=(2x2-1)(3x+1).(2)y=(
6、3)y,【思路点拨】(1)可以先展开解析式，然后再求导或利用乘积的求导法则进行求导，也可以直接利用乘积的求导法则进行求导.(2)将 利用三角公式化简后，再求导.(3)将根式化成幂的形式，再求导.,【规范解答】(1)方法一：可以先展开解析式，然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)-(1)=18x2+4x-3.方法二：可以利用乘积的求导法则进行求导：y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.,(2)先
7、使用三角公式进行化简得,【拓展提升】导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，再求导.(2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；,对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.,【提醒】(1)f(x)g(x)f(x)g(x)，避免与f(x)g(x)f(x)g(x)混淆.,【变式训练】求下列函数的导数：(1)y=3xex-2x+e.(2)y (3)y=,【解析】(1)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+
8、3x(ex)-(2x)=3xln 3ex+3xex-2xln 2=(3e)xln 3e-2xln 2.,考向 2 导数几何意义的应用【典例2】(1)若曲线yx2axb在点P(0，b)处的切线方程是xy10，则( )(A)a1，b1 (B)a1，b1(C)a1，b1 (D)a1，b1(2)(2012广东高考)曲线y=x3-x+3在点(1，3)处的切线方程为_(3)已知曲线C：yx33x22x，直线l：ykx，且l与C切于点P(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标.,【思路点拨】(1)先由切线斜率求出a，再由点(0，b)在切线上求出b.(2)因为点(1，3)为切点，故可由导数的几何意义
9、求出斜率后，再用点斜式写出切线方程.(3)因为直线l过原点，故可根据导数的几何意义及斜率公式以及点P既在曲线上又在切线上，构造一个关于x0，y0的方程组求解.,【规范解答】(1)选A.y2xa，因为切线xy10的斜率为1，所以20a1，即a1.又(0，b)在直线xy10上，因此0b10，即b1.(2)y=3x2-1，当x=1时，y=2，此时斜率k=2，故所求切线方程为y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.答案：2x-y+1=0,(3)由直线l过原点，知k (x00).又点P(x0，y0)在曲线C上，y0x033x022x0 因为y3x26x2，故k3x026x02.,所以3x026x02x
10、023x02，其中x00， 解得x0所以y0 所以所以直线l的方程为切点坐标为( ).,【互动探究】在本例(2)中若曲线y=x3-x+3在“点(1，3)处”改为“过点(1，3)”,其他条件不变，求此时的切线方程,【解析】当点(1，3)是切点时，由本例(2)知，切线方程为2x-y+1=0.当点(1，3)不是切点时，设切点为(x0，x03-x0+3).又y=3x2-1，故斜率k=3x02-1，所求切线方程为y(x03-x0+3)(3x02-1)(x-x0)，将点(1，3)代入解得x0= 或x0=1(舍)，故切点为( )，此时切线方程为 即x+4y-13=0.综上所述，切线方程为2x-y+1=0或x
11、+4y-13=0.,【拓展提升】1.求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0f(x0)(xx0)如果曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程为xx0.,2.求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点A(xA，f(xA)，求切线的斜率kf(xA)，写出切线方程(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程.解得xA的值，进而写出切线方程,【变式备选】
12、(1)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则切线l的方程为( )(A)4x-y-3=0 (B)x+4y-5=0(C)4x-y+3=0 (D)x+4y+3=0,【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0，即y=x4在某一点的导数为4，而y=4x3，即4x3=4,解得x=1,所以y=x4在点(1，1)处导数为4，此点的切线方程为4x-y-3=0，故选A.,(2)已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是2x-3y10，则f(1)f(1)_.【解析】依题意得213f(1)10，即f(1)1，由切线的斜率 则f(1) 则f(1)f(1)答案：,【
13、思路点拨】(1)根据导数的定义，将极限符号内的表达式表示成平均变化率的形式再求解.(2)先求y, 再求出当x0时的极限值.,【规范解答】(1)选B.x=(x0+h)-(x0-h)=2h,y=f(x0+h)-f(x0-h)，所以,【互动探究】在本例(1)中，若f(x)= x3+2x+2 012，且x0=e，其他条件不变，求 的值.【解析】f(x)= x3+2x+2 012,f(x)=x2+2，,【拓展提升】定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量y=f(x+x)-f(x).二比：求平均变化率三极限：取极限，得导数,【变式备选】(1)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的
14、坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_； _(用数字作答).,【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2.由导数定义当0x2时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2.答案：2 2,(2)求函数 在x=1处的导数.【解析】,【创新体验】 导数中的新定义问题【典例】(2012浙江高考)定义曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_.,【思路点拨】,【规范解答】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为设曲线C1：y=x2+
15、a上的点(x0,y0)到直线l:y=x的距离最短，则过点(x0,y0)的切线平行于直线y=x.对应函数的导数为,y=2x，由2x0=1得x0= 所以C1：y=x2+a上的点(x0,y0)为( )，由题意知 解得 或当 时，直线l与曲线C1相交，不合题意，故舍去.答案：,【思考点评】1.方法感悟本题充分体现了等价转化的思想在解题中的应用，即利用定义将曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离转化为圆心到直线的距离减去半径，曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离转化为曲线C1上与l平行的切线与l的距离，再利用导数研究曲线C1的切线问题，最终根据两距离相等构造方程求出a的值，这种“
16、等价转化”的思想是解决数学问题的重要思想.,2.技巧提升对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规定理解透彻，提取定义中等量关系和数量关系或定义中的关键词语，如本题定义中的关键词为“最小值”，然后结合所学知识进行分析求解.,1.(2013梅州联考)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)x2，则f(1)( )(A)1 (B)2 (C)1 (D)2【解析】选B.f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2f(1)2，f(1)2.,2.(2012辽宁高考)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的
17、纵坐标为( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)8,【解析】选C.因为点P，Q的横坐标分别为4，-2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x2=2y,则y= x2,所以y=x,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程组解得x=1,y=-4,故点A的纵坐标为-4.,3.(2013深圳模拟)已知f(x)=ln x(x0),f(x)的导数是f(x),若a=f(7),b=f( ),c=f( ),则a,b,c的大小关系是( )(A)cba (B)abc(C)bca (D)bac【解析】选B.因为f(x)=(
18、ln x)= 所以b=f( )=2,c=f( )=3,a=f(7)=ln 7,因为7e2,所以ln 72，故abc.,4.(2013揭阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_.【解析】y=3x2-10=2x=2.又点P在第二象限内，x=-2,点P的坐标为(-2，15).答案：(-2，15),5.(2012新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为_.【解析】函数的导数为y=3ln x+1+x =3ln x+4，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k=4，所以切线方程为y
19、-1=4(x-1)，即y=4x-3.答案：y=4x-3,1.已知直线m:x+2y-3=0，函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于P点，若lm，则P点的坐标可能是( )【解析】选C.设点P(x0,y0)，因为lm，所以kl=2.又y=3-sin x，故3-sin x0=2，即sin x0=1，验证选项知C成立.,2.若方程kx-ln x=0有两个不等实数根，则k的取值范围是_.【解析】令y=kx，y=ln x.若方程kx-ln x=0有两个不等实数根，则直线y=kx与曲线y=ln x有两个不同的交点.故直线y=kx应介于x轴和曲线y=ln x过原点的切线之间.设曲线y=ln x过原点的切线的切点为(x0,ln x0).,又 故切线方程为y-lnx0= (x-x0)，将原点代入得，x0=e，此时 故所求k的取值范围是(0, ).答案：(0, ),
