1、第五节 对 数 函 数,1.对数的定义（1）对数的定义：请根据下图的提示填写与对数有关的概念：其中a的取值范围是：_.,真数,指数,对数,幂,底数,a0,且a1,(2)两种常见对数：,10,lg N,e,ln N,2.对数的性质、换底公式与运算性质（1）性质：其中a0,且a1.loga1=_;logaa=_;,0,1,N,(2)换底公式.基本公式：logab= (a,c均大于0且不等于1，b0).推广公式：logablogbclogcd=logad.（a,b,c均大于0且不等于1，d0）,_,（3）运算性质.如果a0,且a1,M0,N0，那么：loga(MN)=_.loga =_.logaMn
2、=nlogaM（nR）.,logaM+logaN,logaM-logaN,3.对数函数的定义、图象与性质,y=logax,（0，+）,R,（1，0）,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数指数函数y=ax（a0，且a1）与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）函数y=lg（x+3）（x-3）与y=lg（x+3）+lg（x-3）的定义域相同.( )（2）log2（-3）2=2log2(-3).( )（3）当x1时，logax0.( )（4）当x1时，若logaxlogbx，则ab.( ),【
3、解析】（1）错误.函数y=lg（x+3）（x-3）的定义域为（-，-3）（3，+），而函数y=lg（x+3）+lg（x-3）的定义域为（3，+）.(2)错误.log2(-3)2=log232=2log23,且log2（-3）无意义.(3)错误.当a1时，logax0，当0a1时，logax0.(4)错误.当a1，0b1时，logaxlogbx,但ab.答案：（1） （2） （3） （4）,1.计算：2log510+log50.25=( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析】选C.2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.,2.若函数y=f（
4、x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）等于( )【解析】选D.由题意知f（x）=logax,又f（2）=1，loga2=1,a=2,f(x)=log2x.,3.如果 那么( )(A)yx1 (B)xy1(C)1xy (D)1yx【解析】选D. 是（0，+）上的减函数，xy1.,4.计算：【解析】原式=答案：4,考向 1 对数的运算 【典例1】（1）计算：(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n.【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数的运算性质进行计算.(2)将对数式化为指数式或直接代入求解.,【规范解答】（1）原式,(2)方法一：loga2=m,lo
5、ga3=n,am=2,an=3,a2m+n=(am)2an=223=12.方法二：loga2=m,loga3=n,a2m+n=(am)2an=,【拓展提升】对数运算的一般思路（1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.（2）将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.,【变式训练】（1）计算:【解析】原式答案：-20,（2）（2013大连模拟）设2a=5b=m，且 则m=_.【解析】2a=5b=m,a=log2m,b
6、=log5m,答案：,考向 2 对数函数的图象及其应用 【典例2】（1）（2013长沙模拟）函数y=ax2+bx与 (ab0,|a|b)在同一直角坐标系中的图象可能是( ),（2）已知函数 若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是( )（A）(1,10) （B）(5,6) （C）(10,12) （D）(20,24),【思路点拨】（1）根据函数y=ax2+bx与x轴的交点确定的范围.(2)画出f（x）的图象,确定abc的范围.【规范解答】（1）选D.令ax2+bx=0得x=0或 对于A,B项，由抛物线知 此时对数函数的图象不符合要求，故A，B项不正确；对于C项，
7、由抛物线知 此时对数函数的图象不符合要求，故C不正确；对于D项，由抛物线知 此时对数函数的图象符合要求，故选D.,（2）选C.作出f(x)的大致图象.不妨设abc，因为a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图象可知10c12，且|lg a|=|lg b|，因为ab，所以lg a=-lg b，可得ab=1，所以abc=c(10,12)，故选C.,【拓展提升】应用对数型函数的图象可求解的问题（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想.（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利
8、用数形结合法求解.,【变式训练】（1）已知函数f（x）=ln x，g（x）=lg x，h（x）=log5x,直线y=a（a0）与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )(A)x2x3x1 (B)x1x3x2(C)x1x2x3 (D)x2x1x3,【解析】选A.在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y=a（a0），易知x1x3x2,故选A.,（2）函数y=log2|x+1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_.【解析】作出函数y=log2x的图象，再将其关于y轴对称，两支共同组成函数y=log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就能得到函数
9、y=log2|x+1|的图象（如图所示）.由图知，函数y=log2|x+1|的单调递减区间为（-,-1）,单调递增区间为（-1，+）.答案：(-,-1) (-1,+),考向 3 对数函数的性质及应用 【典例3】（1）（2013茂名模拟）0xy1，则( )（A）3y3x （B）logx3logy3（C）log4xlog4y （D）,（2）已知函数求函数f(x)的定义域；若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性.【思路点拨】(1)根据指数函数与对数函数的单调性作出判断.（2）利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论；先由条件求出a的值，再讨论函数的奇偶性和单调性.,【规范
10、解答】(1)选C.对于A，因为y=3x在(-,+)上递增，又xy,故3x3y，因此A错误；对于D,由 在(-,+)上递减，又xy，故 因此D错误；对于B，因为log3xlog3y0，所以 即logx3logy3，故B错误；对于C，因为y=log4x在(0,+)上递增，又0xy，故log4xlog4y,因此C正确.,(2) 所以，当3a-1-2a-1,即a0时，定义域为(-,-2a-1)(3a-1,+)；当3a-1-2a-1,即a0时，定义域为(-,3a-1)(-2a-1,+).,函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当-2a-1=-(3a-1)a=2,此时，对于定义域D=(-,-5)(5
11、,+)内任意x,-xD,所以f(x)为奇函数；当x(5,+)时,对任意5x1x2,有,而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5)=10(x2-x1)0,所以f(x1)-f(x2)0,f(x)在(5,+)内单调递减；由于f(x)为奇函数，所以f(x)在（-,-5）内单调递减.,【互动探究】将本例题（2）中函数改为求f（x）的定义域和值域.【解析】 (x+1)(x-1)0,x1或x-1，f（x）的定义域为（-,-1）(1，+).函数f（x）是奇函数.,当x1时，又y=log2x在（0，+）上为增函数，即当x1时，f（x）0，由函数f（x）是奇函数知，当x-1时，f（x）0，因此函数f（x
12、）的值域是（-，0）（0，+）.,【拓展提升】1.利用对数函数的性质比较对数值的大小（1）同底数对数值的大小比较可直接利用其单调性进行判断.（2）既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量（如-1，0，1等），再利用对数函数的性质进行比较.（3）底数不同，真数相同的对数值的比较大小，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.,2.利用对数函数的性质研究对数型函数的性质求解方法与一般函数性质的求解方法一致，但要注意三方面的问题，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.,【变式备选】已知f（x）=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)求
13、f（x）的定义域.(2)求函数f（x）的单调性.【解析】(1)由ax-10,得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x0.所以当a1时，f（x）的定义域为（0，+）；当0a1时，f（x）的定义域为（-，0）.,(2)当a1时，设0x1x2,则 故故当a1时，f（x）在（0，+）上是增函数，同理，当0a1时，f（x）在（-，0）上也是增函数.,【创新体验】数形结合解决恒成立问题 【典例】（2012新课标全国卷）当 时，4xlogax，则a的取值范围是( ),【思路点拨】,【规范解答】选B.由 且logax4x0知0a1.在同一坐标系中画出函数和y=logax(0a1,0x )的图象,如图所示.由图
14、象知，要使当0x 时，4xlogax,只需即a2 ，又0a1，,【思考点评】1.方法感悟:本题充分体现了数形结合思想和函数思想在解题中的应用，即通过函数图象的关系得到两函数值之间的关系.2.技巧提升:此类不等式恒成立问题无法分离参数，此时常用数形结合的方法求解.解题的关键是正确画出函数在给定区间上的图象，使之符合要求，然后根据图象找出不等关系.,1.（2012安徽高考）log29log34=( )【解析】选D.,2.(2012天津高考)已知则a，b，c的大小关系为( )(A)cba (B)cab(C)bac (D)bca【解析】选A.1b2,0c1,abc,所以选A.,3.（2013阳江模拟）
15、已知函数若f(2-x2)f(x)，则实数x的取值范围是( )（A）(-,-1)(2,+)（B）(-,-2)(1,+)（C）(-1,2)（D）(-2,1),【解析】选D.画出函数f(x)的图象如图，由图象可知y=f(x)在(-,+)上是增函数，又f(2-x2)f(x),故2-x2x,解得-2x1.,4.(2012北京高考)已知函数f（x）=lg x，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=_.【解析】f(ab)=lg（ab）=1,ab=10,f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg（a2b2）=lg 100=2.答案：2,5.（2012江苏高考）函数 的定义域为_.【解析】因为1-2log6x0,故定义域为答案：,1.为了得到函数 的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的( )(A)纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度(B)纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度,(C)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度【解析】选A. 故选A.,2.若函数f（x）=loga(x+b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g（x）=ax+b的大致图象是( )【解析】选D.由函数f（x）=loga(x+b)的图象知0a1，0b1，故选D.,
