1、第七节 空间直角坐标系,1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系:,Oxyz,x轴,y轴,z轴,(2)右手直角坐标系的含义:当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向_的正方向.,z轴,(3)空间中点M的坐标:空间中点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_.建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.,横坐标,纵坐标,竖坐标,2.空间两点间的距离(1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =_. 特别地，点P(x,y,z)与坐标原点O
2、的距离为| |=_.(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为_.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成8部分.( )(2)在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球.( )(3)在空间直角坐标系中，点M(x,y,z)，其中xyz0关于x轴的对称点坐标为(-x,y,z).( )(4)在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)关于xOz平面的对称点P的坐标为(-x,y,-z).( ),【解析】(1)正确.空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分.(2)错误.在空间中，到一个定点的距离等
3、于定长的点的轨迹是球面而不是球.(3)错误.在空间直角坐标系中，关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标互为相反数，即M(x,y,z)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y,-z).,(4)错误.点P(x,y,z)关于xOz平面的对称点P的坐标应为P(x,-y,z).答案：(1) (2) (3) (4),1.点(2，0，5)在空间直角坐标系中的位置是在( )(A)y轴上 (B)xOy平面内(C)xOz平面内 (D)yOz平面内【解析】选C.由点在坐标系内的特征，可得该点在xOz平面内.,2.在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )(A)(-3，4，5) (B)(
4、-3，-4，5)(C)(3，-4，-5) (D)(-3，4，-5)【解析】选A.点P(3，4，5)关于yOz平面对称，则纵坐标与竖坐标不变，横坐标互为相反数，故其对称点的坐标为(-3，4，5).,3.在空间直角坐标系中，点A(1，0，1)与点B(2，1，-1)之间的距离为( )(A) (B)6 (C) (D)2【解析】选A,4.点P(1，4，-3)与点Q(3，-2，5)的中点坐标是( )(A)(4，2，2) (B)(2，-1，2)(C)(2，1，1) (D)(4，-1，2)【解析】选C.设P与Q的中点坐标为(x,y,z),则 即中点坐标为(2，1，1).,5.点P(1,2,3)关于y轴的对称点
5、为P1,P关于坐标平面xOz的对称点为P2,则【解析】P1(-1,2,-3),P2(1,-2,3).| |= 答案：,考向 1 求空间点的坐标【典例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为_.(2)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a,棱PD底面ABCD，PD=2b,E，F，G，H分别为棱PA，PB，PC，PD的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标.,【思路点拨】(1)空间直角坐标系中，点在x轴上的射影的坐标满足横坐标不变，纵、竖坐标均为零.(2)由于棱PD底面ABCD，故可考虑以PD所在直线为z轴建立空间直角坐标系.【
6、规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0),(2)由题意知，DADC，DCDP，DPDA，故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与底面ABCD平行，,从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b，由H为DP中点，得H(0，0，b).E在底面上的投影为AD的中点，所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0，所以E(a,0,b),同理G(0，a,b);F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E横坐标相同都是a,
7、与G的纵坐标也同为a,又F竖坐标为b,故F(a,a,b).,【互动探究】若将本例(2)中的条件“棱PD底面ABCD，PD=2b”改为“各侧棱长均为2b”，如何求解？【解析】设正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则PO底面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，,P点坐标为(0，0， ),且A( a,0,0),B(0, a,0),C(- a,0,0),D(0,- a,0).E( a,0, ),F(0, a, ),G(- a,0, ),H(0,- a, ).,【拓展提升】空间点P的坐标的表示方法(1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.(
8、2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点P的坐标.,【变式备选】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.【解析】以A点为坐标原点，AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AC的中点是D，连接BD，则BDy轴，且A(0,0,0),B( ,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1( ,1,2),C1(0,2,2).,考向 2 空间两点间的距离【典例2】(1)点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是( )(A) (
9、B)c(C)|c| (D)a+b,(2)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在棱CD上当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究| |的最小值.,【思路点拨】(1)可先求出P在坐标平面xOy上的射影，然后利用空间两点间的距离公式求解.(2)关键引入变量表示Q点坐标，进而表示| |，然后利用函数知识解决.【规范解答】(1)选C.P(a,b,c)在平面xOy上的射影为(a,b,0).点P(a,b，c)到平面xOy的距离为|c|.,(2)因为B(0,0,a),A(a,a,0)，P为AB的中点,所以P( ).又点Q在棱C
10、D上运动，所以可设Q(0,a,z0)，其中z00,a，故 因此当 时，| |的最小值为,【互动探究】本例(2)中,若将“当点P为对角线AB的中点”改为“当点P在对角线AB上运动时”,其余条件不变,则结果如何?,【解析】显然，当点P在AB上运动时，点P到坐标平面xOz，yOz的距离相等，所以可设P(t,t,a-t),t0,a，又Q在CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，z00,a.所以故当z0=t= 时， 有最小值为,【拓展提升】1.求空间两点间距离的步骤(1)建立坐标系，写出相关点的坐标.(2)利用公式求出两点间的距离.2.两点间距离公式的应用(1)求空间两点间的距离或线段的长度.(2)已知
11、两点间距离，确定坐标中参数的值.(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.,【变式备选】已知点A的坐标是(1-t,1-t,t)，点B的坐标是(2，t,t),则A与B两点间距离的最小值为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选C.,空间点的对称问题【典例】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,-1)，求其他七个顶点的坐标.,【思路点拨】由题意知，长方体的各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标.,【规范解答】由题意得，点B与点A关于xOz面对称，故点B的坐标
12、为(-2,3,-1)；点D与点A关于yOz面对称，故点D的坐标为(2,-3,-1);点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3,-1)；由于点A1,B1,C1,D1分别与点A,B,C,D关于xOy面对称，故点A1,B1,C1,D1的坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).,【拓展提升】解决空间点的对称应注意的问题(1)要看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称，明确哪些量发生了变化，哪些量没发生变化.(2)要记清各类对称点坐标间的对称关系，是解决此类问题的关键.【提醒】点P关于原点，坐标轴，坐标平面的对称的特点，可借助于坐标系中
13、的长方体模型帮助记忆.,【变式训练】已知点P(-2，3， )，(1)求P关于y轴上的点(0，1，0)的对称点的坐标.(2)求P关于y轴对称的点的坐标.【解析】(1)设P1(x,y,z)与点P关于点(0，1，0)对称，即点(0，1，0)是P1与P的中点，则x=2,y=-1,z=- ,即点(2，-1，- )为所求.,(2)过P(-2，3， )作y轴的垂线，交y轴于(0，3，0)，问题就变为求P(-2，3， )关于点(0，3，0)的对称点的坐标，同(1)易得(2，3，- )为所求.,【满分指导】利用空间直角坐标系解答含参数的立体几何问题【典例】(12分)(2013东营模拟)如图，设动点P在棱长为1的
14、正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记 当APC为钝角时，求的取值范围.,【思路点拨】,【规范解答】建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，C(0，1，0)，1分xP=yP=,zP=1-.P(,1-), 3分| |=| |=| |= 5分,APC为钝角， 7分即4(-1)2+22-20, 8分62-8+4-20,即32-4+10,(-1)(3-1)0. 1.12分,【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2013江门模拟)在空间直角坐标系中，点P(2，3，4)与点Q(2，3，-4)两点的位置关系是( )(A)关于x轴对称 (B)关于xOy平面对称(C)关于坐标原
15、点对称 (D)以上都不对【解析】选B.P(2,3,4)与Q(2，3，-4)的横坐标与纵坐标相同，且竖坐标互为相反数.P与Q关于xOy平面对称.,2.(2013东莞模拟)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有( )(A)1个 (B)2个 (C)不存在 (D)无数个【解析】选D.在坐标平面xOy内，可设点P(x,y,0)为满足条件的点，由题意得 解得y=- ,xR.所以符合条件的点有无数个.,3.(2013肇庆模拟)如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=3,M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为_.【解析】由题意得M为AC1的中
16、点.又A(0,0,0)，C1(2,3,2),故M(1, ,1).答案：(1, ,1),4.(2013惠州模拟)已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，求证：ABC是直角三角形.【解析】ABC为直角三角形.,1.若向量a在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a平行的坐标平面是( )(A)xOy平面 (B)xOz平面(C)yOz平面 (D)以上都有可能【解析】选B.a在y轴上的坐标为0，其他坐标不为0，与a平行的坐标平面为xOz平面.,2.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A.该点到三个坐标轴的距离都是1，可知该点坐标为( ),该点到原点的距离为,3.已知点P在z轴上，且满足| |=1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为_.【解析】设点P的坐标为(0,0,z)，由| |=1得 =|z|=1，故z=1.当z=1时，点P的坐标为(0,0,1),当z=-1时，点P的坐标为(0,0,-1),答案：,
