1、第一章空间几何体1.1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征,1.空间几何体,平面多边形,顶点,棱,面,定直线,定直线,轴,2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱的结构特征,侧棱,侧面,底面,顶点,平行,平行,平行,公共边,公共顶点,(2)棱锥的结构特征,多边形,公共顶点,公共顶点,侧面,公共顶点,S-ABCD,(3)棱台的结构特征,截面,截面,公共边,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形.()(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥.()(3)棱台的上下底面互相平行,且各侧棱延长线相交于一点. (),【解析】(1)错误.根据棱柱的概念可知,棱柱
2、侧面一定是平行四边形.(2)错误.如正八面体各面也是三角形.(3)正确.根据棱台的定义可知正确.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)面数最少的多面体的面的个数是.(2)三棱锥的四个面中可以作为底面的有个.(3)四棱台有个顶点,个面,条边.,【解析】(1)三个面不能围成多面体,故面数最少的多面体的面的个数为4.答案:4(2)三棱锥的四个面都可以作为底面,故可以作为底面的有4个.答案:4(3)四棱台有八个顶点,六个面,十二条边.答案:八六十二,【要点探究】知识点 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.棱柱的三个结构特征(1)有两个平面(底面)互相平行.(2)其余各面都是平
3、行四边形.(3)每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.,2.棱锥的三个结构特征(1)有一个面(底面)是多边形.(2)其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.(3)棱锥仅有一个顶点,它是各侧面的公共顶点,与底面多边形的顶点不同.,3.棱台的两个结构特征(1)上下底面互相平行,且是相似图形.(2)各侧棱延长线相交于一点.4.棱柱、棱锥、棱台之间的关系在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台之间的关系可用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例),【知识拓展】几类常见的特殊棱柱(1)直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱.(2)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱.(3)直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体
4、.(4)长方体:底面是矩形的直平行六面体.(5)正方体:棱长都相等的长方体.,【微思考】(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?提示:不一定是棱柱.这是因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图:,(2)判断一个几何体是否为棱台的关键是什么?提示:判断一个几何体是否为棱台的关键是还原棱锥,即延长各侧棱看能否还原成棱锥.如图所示的两个几何体就不是棱台.,【即时练】1.棱锥至少由多少个面围成()A.3B.4C.5D.62.下列所给的几何体中,其中是棱柱的为,棱锥为,棱台为.(填序号),【解析】1.选B.三棱锥由四个面围成,通常称
5、为四面体,它是面数最少的棱锥.2.根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征知为棱柱,为棱锥,为棱台,不符合三者的特征.答案:,【题型示范】类型一 棱柱的结构特征【典例1】(1)下列说法中,正确的是()A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形,(2)如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?若是,请指出它们的底面.,【解题探究】1.棱柱定义中要求“相邻两
6、个四边形的公共边互相平行”说明侧面是什么图形?2.题(2)构成的棱柱ABMA1-DCND1中相互平行的面A1MND1和面ABCD能作为此棱柱的底面吗?,【探究提示】1.说明棱柱的侧面是平行四边形.2.不能,因为若作为底面,则其他各相邻的两个四边形的公共边必须平行.题(2)中显然平面A1MND1和平面ABCD不能作为棱柱的底面.,【自主解答】(1)选D.由棱柱的定义可知,只有D正确,分别构造图形如下:,A中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,但四边形ABCD与A1B1C1D1相似不全等;B中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是底面;C中直四棱柱底面ABCD是菱形.,(2)
7、长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义.用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分,有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N.同理,另一部分也是棱柱,可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.,【延伸探究】题(2)中若再过AD作一个平面交底面A1B1C1D1于EF(如图所示),则长方体被分成的三个几何体中,有几个棱柱?【解析】结合棱柱的概念可知,有三个棱
8、柱.,【方法技巧】有关棱柱结构特征问题的解题策略(1)紧扣棱柱定义:求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.,【变式训练】如图所示,已知ABC.(1)如果你认为ABC是竖直放置的三角形,试以它为底,画一个三棱柱.(2)如果你认为ABC是水平放置的三角形,试以它为底,画一个三棱柱.,【解析】(1)如图所示.(2)如图所示.,【补偿训练】已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱,四棱柱有6个面8个顶点12条棱,五棱柱有7个面10个顶点15条棱,由此可以推测n棱柱有个面,个顶点,条棱.,【解析】n棱柱的底面是n边形,所以有两个底面和n个侧面,共
9、n+2个面,2n个顶点,2n+n=3n条棱.答案:n+22n3n,类型二 棱锥、棱台的结构特征【典例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法:用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;棱台的侧面一定不会是平行四边形;棱锥的侧面只能是三角形;由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.其中正确说法的序号是.,(2)判断下列语句是否正确:一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.有两个面互相平行,其余各面都是梯形,则此几何体是棱台.【解题探究】1.题(1)中棱台有哪些结构特征?2.题(2)中判断说法是否正确的关键是什么?,【探究提示】1.棱台的结构特征是:上、下底面互相平行,且是相似图
10、形;各侧棱延长线相交于一点.2.关键是紧扣棱锥、棱台的结构特征.,【自主解答】(1)错误.若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;正确.棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;正确.由棱锥的定义知,棱锥的侧面只能是三角形;正确.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.答案:(2)错误.因为棱锥的各个侧面必须有一个公共的顶点;错误.棱台的各条侧棱延长后必须交于一点.,【方法技巧】1.认识棱锥、棱台的结构特征的切入点认识、判断棱锥、棱台的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清各几何体的属性.2.判断一个几
11、何体是否为棱台的基本方法(1)看上、下平面是否平行;(2)看侧棱延长后是否相交于一点.,【变式训练】判断下列语句是否正确.(1)由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥.(2)有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.,【解题指南】判断说法为假时,可以构造反例,或借助于周围的实物判断.【解析】(1)由六个面围成的封闭图形也可以是四棱柱,故说法不正确.(2)侧棱延长后不一定相交于一点,说法不正确.,【补偿训练】对有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体,以下说法正确的是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.一定不是棱柱、棱锥【解析】选D.有两个面互相平行,故此多面体一定不是棱锥,其余各面都是梯
12、形,所以也不是棱柱,棱柱的侧面都是平行四边形.,类型三 空间几何体的平面展开图【典例3】(1)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到平面图形(如图所示),则标“”的面的方位是.,(2)如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?,【解题探究】1.题(1)中应先将展开图如何处理?另外需满足“东”的方向在哪边?2.题(2)如何由展开图得到原几何体?【探究提示】1.可将展开图逆向还原为正方体,并将正方体按要求旋转,即“东”在右边.2.可将展开图沿虚线折起来,便得到原几何体,再结合结构特征判断为何种几何体.,【自主解
13、答】(1)将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为上,最右面为东,最里面为,将正方体旋转后让“东”面指向东,让“上”面向上可知“”为北.答案:北,(2)五棱柱;五棱锥;三棱台.如图所示.,【方法技巧】多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.,(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体
14、展开的,则可把上述过程逆推.,【变式训练】(2014成都高一检测)如图所示的平面图形沿虚线折叠能围成下面的哪个长方体(),【解析】选B.所给的平面图形两端的小矩形无色,故折起后,长方体的两头应无色,排除A,C;平面图形中有色的两个矩形不相邻,且折起后,应在相对面上,且仅有这两个面有色,故D不符,排除D,选B.,【补偿训练】一个几何体的表面展开图如图.(1)该几何体是哪种几何体?(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?,【解析】(1)该几何体是四棱台.(2)与“祝”相对的面是“前”,与“你”相对的面是“程”.,【易错误区】棱柱、棱锥、棱台结构特征判断中的误区【典例
15、】关于如图所示几何体的正确说法的序号为.(1)这是一个六面体.(2)这是一个四棱台.(3)这是一个四棱柱.(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到.(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.,【解析】(1)正确.因为有六个面，属于六面体的范围.(2)错误.因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确(3)正确.如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱.(4)(5)都正确.如图所示.答案：(1)(3)(4)(5),【常见误区】,【防范措施】紧扣概念解题在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定义判断,这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延,切忌只凭图形主观臆断,如本例若意识不到棱台各侧棱延长后交于一点则会致错.,【类题试解】下列说法:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;两个互相平行的面是平行四边形,其余各面是四边形的几何体不一定是棱台;两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台.其中正确的说法的序号是.,【解析】正确,因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;正确,如图所示;不正确,当两个平行的正方形完全相等时,一定不是棱台.答案:,
