1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面,1.平面的概念(1)几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.(2)几何里的平面是_的.,无限延展,2.平面的画法及表示方法,平面,AC,平面BD,虚线,3.点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念如果直线l上的_都在平面内,就说直线l在平面内,或者说平面经过直线l.,所有点,(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系,Al,点A在直线l上,Al,点A在直线l外,A,点A在平面内,A,l,l,lm=A,=l,4.平面的基本性质,两点,此,平面内,l,不在一条直线上,有且只有,公共,直线,=l,
2、且Pl,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)平行四边形是一个平面.()(2)若Aa,a,则A.()(3)两个平面的交线可能是一条线段.()(4)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线.(),【解析】(1)错误.平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不能无限延展的.(2)正确.根据直线在平面内的定义可知,若Aa,a,则A.(3)错误.由公理3知,两个平面的交线是一条直线.(4)错误.在空间图形中,我们一般是把能够看得见的线画成实线,把被平面遮住看不见的线画成虚线(无论是题中原有的,还是后引的辅助线).答案:(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在
3、横线上)(1)如图所示,用符号语言表示以下各概念:点A,B在直线a上;直线a在平面内;点D在直线b上,点C在平面内.,(2)若平面与平面相交于直线l,点A,A,则点Al;其理由是.,【解析】(1)点与直线、点与平面是元素与集合之间的关系,故中应填Aa,Ba,中应填Db,C;直线与平面是集合与集合之间的关系,故中应填a.答案:Aa,BaaDb,C(2)由题知点A在平面和平面的交线上,所以Al.理由是“同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上”.答案:同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上,【要点探究】知识点1 点、线、面及其之间的关系对点、直线、平面之间关系表示的三点说明(1)
4、基本原则通常借助集合中的符号语言来表示.点为元素,直线与平面都是点构成的集合,几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集.,(2)表示方法点与直线之间的关系、点与平面之间的关系用符号和表示,直线与平面之间的关系用符号和表示.(3)注意事项为方便起见,个别地方的用法与集合符号略有不同.例如,直线a与平面相交于点A,记作a=A,而不记作a=A.这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合.,【知识拓展】平面几何和立体几何中辅助线画法的区别(1)在平面几何中,凡是后引的辅助线我们都画成虚线.(2)在立体几何中,凡是被平面遮挡的线都画成虚线,凡是不被遮挡的线都画成实线(无论是题中原有的,还
5、是后引的辅助线).,【微思考】立体几何的三种语言各有什么优缺点?提示:(1)文字语言表达严谨清楚,便于揭示所述问题的本质,缺点是繁杂冗长.(2)图形语言一目了然,清晰直观,缺点是需要较强的空间想象能力.(3)符号语言,便于书面表示,缺点是直观性差.,【即时练】1.如图所示,下列符号表示错误的是()A.lB.PlC.lD.P,2.(2014青海师大附中高二检测)“直线a经过平面外一点P”用符号表示为()A.Pa,aB.a=PC.Pa,PD.Pa,a,【解析】1.选A.观察图知:Pl,P,l,则l是错误的.2.选C.由于点P在平面外,所以有P,又直线a经过点P,所以Pa.,知识点2 平面的基本性质
6、1.公理1,2,3的意义和作用(1)公理1意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”.作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.,(2)公理2意义:是空间里确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决,是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.作用:确定平面;证明点、线共面.,(3)公理3意义:揭示了两个平面相交的主要特征,提供了确定两个平面交线的方法.作用:判断两个平面是否相交;确定两个平面的交线;证
7、明若干点共线问题.,2.公理2的深入探究(1)“不在一条直线上的三点”的含义经过一点,两点和在一条直线上的三点可能有无数个平面;任意给不在一条直线上的四个点,不一定有一个平面同时过这四个点.(2)“有且只有一个”的含义这里“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.公理2强调的是存在和唯一两个方面.,【知识拓展】公理2的三个推论(1)一条直线和此直线外的一点可以确定一个平面.(2)两条相交直线可以确定一个平面.(3)两条平行直线可以确定一个平面.以上三个推论在解题时可直接使用.,【微思考】(1)任何一个平面都可以将空间分为几部分?提示:任何一个平面都可以将空间分为两部分.(2)照相机需用三条
8、腿的架子才能支撑在地面上,四根腿的桌子常常不如三根腿的桌子在地面上稳固,它们的理论依据是什么?提示:根据公理2,即不共线的三点确定一个平面.,【即时练】若平面与平面相交,点A,B既在平面内又在平面内,则点A,B必在.【解析】设=l,因为A,B且A,B,所以A,Bl.答案:与的交线上,【题型示范】类型一 三种语言的相互转化【典例1】(1)若点Q在直线b上,b在平面内,则Q,b,之间的关系可记作 ()A.Qb,bB.Qb,bC.Qb,bD.Qb,b,(2)用符号语言表示下列语句,并画出图形.三个平面,相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平面交于PB,平面与平面交于PC;平面ABD与平面BDC
9、相交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.,【解题探究】1.题(1)中点与线、面之间及直线与平面之间的关系可用什么符号表示?2.题(2)中怎样画出相关的图形?画两个相交平面时应注意什么?,【探究提示】1.点与线、面之间的关系可用“”或“”表示,直线与平面之间的关系用“”或“”表示.2.根据条件,适当确定其中的某一个平面,然后根据点、线、面的位置关系画图.另外注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚线表示.画两个相交平面时,要注意被遮挡的部分用虚线画出.,【自主解答】(1)选B.方法一(直接法):因为点Q在直线b上,所以Qb.因为直线b在平面内,所以b.所以应选B.方法二(排除法):因为点Q与直线
10、b之间的关系是元素与集合之间的关系,所以只能用符号“”或“”表示,所以C,D应予排除.因为直线b与平面之间是集合与集合之间的关系,所以只能用符号“”或“”表示,所以A应予以排除.所以应选B.,(2)符号语言表示:=P,=PA,=PB, =PC.用图形表示:(如图1所示).符号语言表示:平面ABD平面BDC=BD,平面ABC平面ADC=AC.图形表示:(如图2所示).,【方法技巧】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“”
11、或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.,【变式训练】试用集合符号表示下列各语句,并画出图形:(1)点A在平面内,但不在平面内.(2)直线l经过平面外一点P,且与平面相交于点M.(3)平面与平面相交于直线l,且l经过点P.,【解析】(1)A,A,此处图形不唯一,符合要求即可,如图(1)所示.(2)Pl,P,l=M,如图(2)所示.(3)=l,Pl,如图(3)所示.,【补偿训练】已知直线m平面,Pm,Qm,则()A.P,QB.P,QC.P,QD.Q【解析】选D.因为Qm,m,所以Q.因为Pm,所以可能有P,也可能有P.,类型
12、二 点、线共面问题【典例2】(1)空间中四点可确定的平面有()A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个(2)过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.,【解题探究】1.题(1)中空间这四点有什么样的位置的关系?2.题(2)中直线PA,PB能否确定一个平面?【探究提示】1.空间这四个点可以在一条线上,可以共面,也可以不在一个平面内.2.根据公理2可知,直线PA,PB可确定一个平面.,【自主解答】(1)选D.当这四点共线时,可确定无数个平面;当这四点不共线且共面时,可确定一个平面;当这四点不共面时,其中任三点可确定一个平面,此时可确定
13、4个平面.,(2)如图,因为点P,A,B不共线,所以点P,A,B确定一个平面,所以P,A,B.所以PA,PB.又Al,Bl,所以l,所以PA,PB,l共面.,【方法技巧】解决点线共面问题的基本方法,【变式训练】求证:如果一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面.已知:ab,al=A,bl=B.求证:直线a,b,l共面.【解题指南】先由直线a,b确定一平面,再证明直线l在此平面内.,【证明】如图所示.因为ab,所以直线a,b确定一个平面.因为al=A,所以Aa,A.又bl=B,所以Bb,B.又因为Al,Bl,所以l.所以直线a,b,l共面.,【补偿训练】求证:两两相交且不共点的四条直线,
14、必在同一平面内.【证明】记此四条直线为a,b,c,d.(1)存在三线共点,不妨设a,b,c共点P,则Pd,故P,d确定一个平面,又a,d相交,设交点为Q,则QP且P,Qa,又P,Q,故a.同理b,c,即a,b,c,d共面.,(2)任意三线不共点,则a,b,c两两相交且不共点,由(1)的证明,得a,b,c共面,设ad=P,bd=Q,则PQ,由P,Qd且P,Q,得d,故a,b,c,d共面.总之,两两相交且不共点的四线共面.,类型三 点共线、线共点问题【典例3】(1)若直线l与平面相交于点O,A,Bl,C,D,且ACBD,则O,C,D三点的位置关系是.(2)如图,已知平面,且=l.设梯形ABCD中,
15、ADBC,且AB,CD.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).,【解题探究】1.题中由ACBD可得到什么结论?2.题(2)中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位于什么地方?【探究提示】1.由ACBD可知A,C,B,D四点共面.2.结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点既在平面内又在平面内.,【自主解答】(1)因为ACBD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面,则=CD.因为l=O,所以O,又因为OAB,所以根据公理3可知OCD.所以O,C,D三点共线.答案:共线,(2)因为梯形ABCD中,ADBC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.所以AB,CD必定相交
16、于一点.设ABCD=M.又因为AB,CD,所以M,M.所以M.又因为=l,所以Ml.即AB,CD,l共点(相交于一点).,【方法技巧】1.证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知,这些点都在两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.,2.证明三线共点的步骤(1)说明两条直线共面且交于一点.(2)说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交.(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.,【变式训练】如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P
17、在直线BD上.,【解题指南】由已知中我们易得到EF在平面ABD内,GH在平面CBD内,平面ABD与平面CBD的交线为BD,若EF,GH交于一点P,则P点即在平面ABD内,又在平面CBD内,由公理3可得,P点一定在平面ABD和平面BCD的交线BD上.,【证明】EF,GH交于一点P,则E,F,G,H四点共面又因为EF平面ABD,GH平面CBD,平面ABD平面CBD=BD,所以P平面ABD,且P平面CBD,由公理3可得PBD,【补偿训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是A1C1与B1D1的交点,长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证:O1,P,A三点在同一条直线上.,【证明】因
18、为O1平面AB1D1,O1平面AA1C1C,A平面AB1D1,A平面AA1C1C,所以平面AB1D1平面AA1C1C=AO1,又因为A1C平面AB1D1=P,所以P直线A1C,P平面AB1D1,所以P平面AA1C1C,所以P直线AO1,即O1,P,A三点在同一条直线上.,【易错误区】共面问题判断中的解题误区 【典例】(2013太原高一检测)下列说法中正确的是()A.空间不同的三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内,【解析】选D.A错误.空间中共线的三点不能确定一个平面.B错误.空间两两
19、相交的三条直线交于同一点时，无法确定一个平面.C错误.空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形.如图，空间四边形ABCD1. D正确.,如图，因为ab，所以直线a，b确定一个平面，因为bc，所以直线b，c确定一个平面，再说明l，l，由“过两条相交直线有且只有一个平面”推出与重合，推出a，b，c，l共面.,【常见误区】,【防范措施】1.分析点线面之间的位置关系要全面对题目条件叙述的点线面之间的位置关系要全面考虑,如本题B选项中,三条直线两两相交有两种情况.2.利用常见几何模型举反例借助正方体、三棱锥、三棱柱等几何体举反例,可以很容易判断一些说法是否正确,如本题C选项中可借助正方体举空间四边形的例子.,【类题试解】下列判断中:一条直线和一点确定一个平面;两条直线确定一个平面;三角形和梯形一定是平面图形;三条互相平行的直线一定共面.其中正确的是.,【解析】错误.当点在直线上时,无法确定一个平面;错误.两条相交直线或平行直线可以确定一个平面;正确.三角形和梯形一定是平面图形;错误.三条互相平行的直线不一定共面,例如三棱柱的三个侧棱.答案:,
