1、3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离,问题：在铁路MN附近P地要修建一条公路使之与铁路MN连接起来,如何设计才能使公路最短?,M地,N地,P地,过P点作MN的垂线,设垂足为Q,则垂线段PQ的长度就是点P到直线MN的最短距离.,Q,即求P到MN上的最短距离,1.了解点到直线距离公式的推导.（难点）2.点到直线的距离公式及其应用.（重点）3.会求两条平行线之间的距离.,x,y,P0 (x0,y0),O,|y0|,|x0|,x0,y0,1.点到直线的距离公式,x,y,P0 (x0,y0),O,|x1-x0|,|y1-y0|,x0,y0,y1,x1,点到直线的距离公式,已知点 ,
2、直线 ，如何求点 到直线 的距离？,x,y,O,探究1：直接法,点P0，Q之间的距离|P0Q |（ P0到l的距离）,x,y,O,思路简单运算繁琐,P0（x0，y0），,l:Ax+By+C=0，,Q(x,y)满足:,提示： 点P0(x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为:,探究2：间接法,x,y,O,面积法求出|P0Q|,求出|P0R|,求出|P0S|,利用勾股定理求出|RS|,S,R,求出点R的坐标,求出点S的坐标,x,O,y,如图，设,则直线l与x轴和y轴都相交，过点P0分别作x轴与y轴的平行线，交直线l于R和S.,的坐标为,的坐标为,则直线 的方程为,P0（x0，y0）
3、，,l:Ax+By+C=0，,直线P0S的方程为x=x0，,于是有,设,由三角形的面积公式得,于是得,的距离为,到直线,由此我们得到点,当A=0或B=0时，此公式也成立.,提示：,1.此公式的作用是求点到直线的距离.,2.此公式是在A，B0的前提下推导的.,3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立.,4.如果A=0或B=0，一般不用此公式.,5.用此公式时直线要先化成一般式.,【提升总结】,点(0，5)到直线y=2x的距离是（ ） A. B. C. D.,B,【即时训练】,解:（1）根据点到直线的距离公式，得,（2）根据点到直线的距离公式，得,1.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是_.2.
4、点P(-1,2)到直线3y=2的距离是_.,【变式练习】,例2 已知点 ，求 的面积,解：如图，设 边上的高为 ，则,x,O,-1,1,2,3,AB边上的高h就是点C到AB的距离,边所在直线的方程为：,即：,点C（-1,0）到直线 的距离,因此，,P（2，3）到直线x+2y+4= 0的距离是_.,0,【变式练习】,2.两条平行直线间的距离,（1）两条平行直线间的距离,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.,（2）探究：,能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？,已知两条平行直线,设 是直线 上的任意一点，则,就是直线,和,间的距离,提示：两条平行直线的方程必须化为一般
5、式，即为,l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.,例3 已知直线,解：因为l1，l2的斜率分别为,所以l1，l2平行.,先求l1与x轴的交点A的坐标，易得A（4,0），,点A到直线l2的距离为,所以l1，l2间的距离为,求下列两条平行线的距离：,l1:2x+3y-8=0 ，l2:2x+3y+18=0.,【变式练习】,1.点（1，-5）到直线2x-y-2=0的距离d=（ ）,2.若点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为 ，则点P的坐标为( )A.(1,2) B.(2,1)C.(1,2)或(2，-1) D.(2，1)或(-1，2),C,3.点P(2，3)到直线
6、ax+(a1)y+3=0的距离等于3，则a的值等于 .,4.P（1，1）到直线3x=2的距离是_.,5.求下列两条平行线的距离：,l1: 3x+4y=10 ，l2: 3x+4y-5=0.,6.直线 过点A(0,1), 过点B(5,0),如果 ,且 与 的距离为5,求 , 的方程.,解：(1)若直线 , 的斜率存在,设直线的斜率为k,由斜截式得 的方程为y=kx+1,即kx - y+1=0,由点斜式可得 的方程为y = k( x -5),即 kx y -5k =0, 因为直线 过点A(0,1),则点A 到直线 的距离,所以 的方程为12x -5y +5=0， 的方程为12x -5y -60=0.(2)若 ， 的斜率不存在,则 的方程为 x=0, 的方程为 x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.,综上所述,满足条件的直线方程有两组: :12x -5y +5=0, :12x -5y -60=0或 : x=0, : x=5.,平面内的几种距离公式小结,平面上的距离,两点间的距离,点到直线的距离,两条平行线间的距离,不相信自己的意志，永远干不成大事。,
