1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,并识记两条直线交点坐标求法及两点间的距离公式,初步掌握它们的应用.,【知识链接】1.直线方程的一般式Ax+By+C=0(A2+B20)2.解二元一次方程组的两种方法(1)代入消元法(2)加减消元法,主题一:两条直线的交点坐标【自主认知】已知二元一次方程组 思考下列问题(1)二元一次方程组的解法有哪些?提示:代入消元法,加减消元法.,(2)如何解这个方程组?请写出解的过程.提示:采用消元的方法来解方程组B2-B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1,当A1B2-A
2、2B10时,方程组有惟一解当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10时,方程组无解;当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0时,方程组有无数多解.,(3)在方程组中,每一个方程都可表示为一直线,那么方程组的解说明什么?提示:方程组的解对应的点即为两直线的交点.,根据以上探究过程,试着完成下面表格:1.几何元素及代数表示,Ax0+By0+C=0,2.两条直线的交点问题,无解,相交,重合,平行,【合作探究】1.若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点?提示:不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多组解,则两直线重
3、合.2.设l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2相交的条件是什么?提示:l1与l2相交的条件是A1B2A2B1或 (A2,B20),【过关小练】1.直线x=1和y=2的交点坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,1)D.(2,2)【解析】选A.由题意知 故两直线交点坐标为(1,2).,2.直线l1:x+y+2=0与l2:2x+2y+3=0的位置关系是_.【解析】由-2得-1=0矛盾,故方程组无解,即l1l2.答案:l1l2,主题二:两点间的距离公式【自主认知】1.在直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)过P1,P2分别向x轴和
4、y轴作垂线,垂足分别为M1(x1,0),M2(x2,0),N1(0,y1),N2(0,y2),直线P1N1与P2M2相交于点Q,|P1Q|,|QP2|分别是多少?提示:因为|P1Q|=|M1M2|,|QP2|=|N1N2|,所以|P1Q|=|x2-x1|,|QP2|=|y2-y1|.,2.结合问题1,如何推导出公式|P1P2|= ?提示:在构造的直角P1QP2中,利用勾股定理,得到|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,由此得到两点间的距离公式|P1P2|= .,根据以上探究过程,试着写出平面内两点间的距离公式:两点间的距离公式(1)条件:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).(
5、2)结论:|P1P2|=_.(3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=_.,【合作探究】1.公式中x1与x2,y1与y2的顺序是否可以互换?提示:因为公式中含有的是(x2-x1)2与(y2-y1)2的和,故可以交换顺序.2.当P1P2垂直于坐标轴时,公式的形式是怎样的?提示:当P1P2垂直于y轴时,|P1P2|=|x1-x2|;当P1P2垂直于x轴时,|P1P2|=|y1-y2|.3.式子 的几何意义是什么?提示:式子 表示平面上的点(x,y)到原点的距离.,【拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值域对平面上两点间距离公式的直接运用,要注意公式的形式,关于两
6、条线段的和最小或差的绝对值最大问题,如果直接代入两点间距离公式,由于有两个根式,所以求解非常烦琐,故经常采用对称方法转化后,再由两点间距离求解.例如:求函数 的值域.,解:原式可变形为,它表示动点P(x,0)到 的距离之差,如图所示:即y=PA-PB,由于|PA-PB|AB=1,所以|y|1,即-1y1,所以函数的值域为(-1,1).,【过关小练】1.已知A(2,-1),B(3,-1),则|AB|=()A.1B.2C.3D.【解析】选A.|AB|=|3-2|=1.,2.A(a,2a),B(1,2)两点的距离为 ,则a=_.【解析】由 得a=0或a=2.答案:0或2,【归纳总结】1.对求两条直线
7、交点坐标的两点说明(1)求解直线的交点坐标时,要注意无解和有无数多解的特殊情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系.(2)若探讨直线的位置关系,最后要把解的情况还原为几何问题,即直线的位置关系.,2.方程组的解与两条直线的位置关系的联系(1)方程组有惟一解,两直线相交.(2)方程组有无穷多解,两直线重合.(3)方程组无解,两直线平行.,3.对两点间距离公式的两点说明(1)求两点间的距离时,可直接把坐标代入相应公式,需注意公式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和,切不可把横、纵坐标混用.(2)两点间的距离公式除求距离外,还可以求参数的值,求解时直接利用题设建立参数的方程,然后求解得参数值
8、便可.,类型一:求两条直线的交点坐标【典例1】判断下列各组直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y= (3)l1:2x-6y=0,l2:y= 【解题指南】解两直线方程组成的方程组,根据解的情况判断.,【解析】(1)解方程组所以l1与l2相交，且交点坐标为(2)解方程组6整理得2x-6y+3=0.因此，和可以化成同一个方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合.,(3)解方程组6-得3=0,矛盾.方程组无解,所以两直线无公共点,l1l2.,【规律总结】求两直线的交点坐标的方法及注意事项(1)方法:联立
9、这两条直线的方程组成方程组,这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标.(2)注意事项:解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.,【巩固训练】已知直线l1:Ax+3y+C=0,l2:2x-3y+4=0,若l1,l2的交点在y轴上,求C的值.【解析】由因为直线l1,l2的交点在y轴上,所以x= =0,即C=-4.,【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,若三条直线2x+y-5=0,x-y-1=0和ax+y-3=0相交于一点,则实数a的值为_.【解析】解方程组将x=2,y=1代入ax+y-3=0,得2a+1-3=0,解得a=1.答案:1,类型二:过两直线交点的直线系方程【典例2】(1)经过点P(
10、1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程为_.(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.,【解题指南】(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出,即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.解方程组 得直线所过定点.,【解析】(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0.因为点P(1,0)在直线上,所以1-2+(3+2)=0,所以= .所以所求方程为x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,即x+y-1=0,答案:x+y-1=
11、0,(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.解方程组 所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).,【延伸探究】1.(变换条件)若把本例(1)中条件“经过点P(1,0)”换为“经过点P(1,1)”其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,因为点P(1,1)在直线上,所以1+21-2+(31-21+2)=0,所以=- .所以所求直线方程为x+2y-2- (3x-2y+2)=0,即y=1.,2.(变换条件)若一条直线经过本例(1
12、)中两直线的交点,且与直线3x+y+1=0平行,则此直线的方程是什么?提示:由两直线联立方程组得 解得x=0,y=1,所以交点为(0,1),又直线3x+y+1=0平行于所求直线,故可设直线方程为3x+y+m=0,把(0,1)代入得m=-1.故所求直线方程为3x+y-1=0.,【规律总结】1.解含有参数的直线恒过定点的问题的两种方法:(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.,(2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0,其中是参数,这就说明了它表
13、示的直线必过定点,其定点可由方程组 解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0).,2.过两直线交点的直线系方程若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交于M(x0,y0),则方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R)表示过l1与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2),其中为待定系数.,【拓展延伸】常见的直线系(1)与直线L:Ax+By+C=0平行的直线系方程为:Ax+By+m=0(其中mC,m为待定系数).(2)与直线L:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=0(m为待定系数).(3
14、)过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0.,【补偿训练】1.对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0必经过的定点是()A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,-3)D.2.设直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点为P,求过点P和原点的直线方程.【解题指南】1.整理为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0的形式,解方程组得定点坐标.2.利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可.,【解析】1.选C.直线方程(m-1)x+2my+6=0可化为:-x+6+m(2y+x)=0.因此,该直线恒过直线-x+6=0与x+2y=0的交点.
15、由2.方法一:求得交点 又O(0,0),写出方程为3x+19y=0.方法二:过两直线l1:x-3y+4=0及l2:2x+y+5=0的交点的直线系方程可以写为x-3y+4+(2x+y+5)=0(不包括直线l2),把O(0,0)代入过P点的直线系方程x-3y+4+(2x+y+5)=0,得=- ,故所求直线方程为:x-3y+4- (2x+y+5)=0,即3x+19y=0.,类型三:两点间距离公式的应用【典例3】(1)(2015牡丹江高一检测)设A(1,2)在x轴上求一点B,使得|AB|=5,则B点的坐标是()A.(2,0)或(0,0)B.(1- ,0)C.(1+ ,0)D.(1+ ,0)或(1- ,
16、0)(2)(2015兰州高一检测)ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-4),B(2,2),C(4,-2),求三角形AB边上中线的长度.,【解题指南】(1)设出点B的坐标,利用两点间距离公式求出点B的坐标;(2)先利用中点坐标公式求AB的中点坐标,再利用两点间距离公式即可求出.【解析】(1)选D.设B(x,0),则 =5,解得x= +1,故B点的坐标是(1+ ,0)或(1- ,0).(2)AB的中点D的坐标为D(-1,-1),所以|CD|= 故AB边上中线长为 .,【规律总结】1.两点间距离的求法(1)当直线和坐标轴垂直时,可以用两点间距离公式的特殊形式,如A(x,y1),B(x,y2),则|
17、AB|=|y1-y2|.(2)两点间距离公式对任意两点都成立,解题过程中注意恰当设点,确定两点坐标即可代入公式求距离.2.利用两点间距离求参数的方法已知距离求参数是最常见的距离公式的应用,一般是通过距离公式列出方程,解方程求参数.,【巩固训练】已知ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断ABC的形状.【解析】方法一:因为|AB|= 所以|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.所以ABC是等腰直角三角形.,方法二：因为 所以kACkAB=-1.所以ACAB.所以|AC|=|AB|.所以ABC是等腰直角三角形.,【补偿训练】已知点A(-1,2
18、),B(2, )在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.【解析】设P(x,0),因为|PA|=|PB|,所以 所以x=1,故P(1,0),此时|PA|=,拓展类型:两点间距离公式在几何证明中的应用【典例】(1)ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用解析法证明:|AE|=|CD|.(2)已知AD是ABC边BC的中线,用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|CD|2).,【解题指南】建立适当的平面直角坐标系,写出各个点的坐标,再利用两点间的距离公式求解即可.【解析】(1)如图所示,以B为坐标原点,取AC所在的直线为x轴,以垂直于AC且经过B点的直线为y轴,建立平面直角坐标系.,设ABD和BCE的边长分别为a和c,(2)以D为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图坐标系.设C(c,0),B(-c,0),A(a,b),所以|AB|2=(a+c)2+b2,|AC|2=(a-c)2+b2,可得:|AB|2+|AC|2=(a+c)2+b2+(a-c)2+b2=2(a2+b2+c2),因为|AD|2=a2+b2,|DC|2=c2.所以2(|AD|2+|DC|2)=2(a2+b2+c2),因此,|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2),原命题得证.,【规律总结】用解析法解决几何问题的三个步骤,
