1、3.2.2直线的两点式方程,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,并识记直线的两点式与截距式方程特点,初步认识它们的简单应用.,【知识链接】1.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式: (x1x2).2.直线的点斜式方程与斜截式方程(1)y-y0=k(x-x0).(2)y=kx+b.,主题一:直线的两点式方程【自主认知】观察如图所示的直线l,思考下列问题:,(1)直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2)两点,那么直线l的点斜式方程是什么?提示:由x1x2,所求直线的斜率为k= ,则直线的点斜式方程为y-y1= (x-x1).,(2)能否将(1)中
2、所求直线l的方程写成 ?它们是否等价?提示:当y1y2时,方程的两边同除以y2-y1,得 .在方程y-y1= (x-x1)中,y1与y2可以相等,在方程 中,y1y2,故两个方程 不等价.其中方程=称为直线的两点式方程.,根据以上探究过程,试着完成下列直线的两点式方程的相关内容,不为0,【合作探究】1.直线l过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),方程 的解是否都在直线l上?直线l上的点是否都满足方程 ?提示:由直线的两点式方程的推导过程可知,以方程 的解为坐标的点都在直线上;反之直线l上点的坐标都满足方程 .,2.直线的两点式方程能否写成 ?坐标平面内的直线都能用直线方程的两点式表示吗?
3、提示:不能,因为此时直线不能通过点P(x1,y1).直线的两点式方程必须注意坐标的对应关系.直线方程的两点式成立的前提条件是x1x2,y1y2,所以直线的两点式方程不能表示与坐标轴平行的直线,即它只能表示斜率存在且不为0的直线.,3.若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直线l的方程是什么?提示:当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为y-y1=0或y=y1.,【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方程的关系(1)两点式方程
4、只能表示x1x2且y1y2的直线,它不能表示倾斜角为0或90的直线的方程,但方程形式相对于变化后的方程式更对称,形式更美观、更整齐,便于记忆.(2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程.,【过关小练】1.经过点(-1,2)与点(2,5)的直线方程为_.【解析】由直线的两点式方程可知,过点(-1,2)与点(2,5)的直线方程为 化简得y=x+3.答案:y=x+3,2.经过点A(-1,3)与点B(2,3)的直线方程为_.【解析】因为A、B两点的纵坐标相等,无法用两点式方程来表
5、示,但是直线AB平行x轴,故直线AB的方程为y=3.答案:y=3,主题二:直线的截距式方程【自主认知】1.根据直线的两点式方程,试写出过点(2,0),(0,3)的直线l的方程_.提示:由直线的两点式方程 ,得直线l的方程为 化简得 答案:,2.若把问题1中直线l上的点“(2,0),(0,3)”改为“(a,0),(0,b)(a0,b0)”,则直线l的方程又是什么呢?提示:当a0且b0时,直线l的两点式方程为 ,化简得 称为直线的截距式方程.,根据以上探究过程,若直线l在x,y轴上的截距分别为a,b且ab0,试着写出直线l的截距式方程及使用范围,并试着填写与线段的中点坐标公式有关的内容.,1.直线
6、的截距式方程:,截距存在且,不等于0,2.线段的中点坐标公式(1)条件:点P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),P2(x2,y2).(2)结论:x=_,y=_.,【合作探究】1.直线的截距式方程中a,b的几何意义是什么?提示:a与b的几何意义分别是直线在x轴,y轴上的截距,a是直线与x轴交点的横坐标,b是直线与y轴交点的纵坐标.,2.过点(a,0),(0,-b)的直线的截距式方程能写成 形式吗?提示:不能,直线截距式方程的特征是:x,y项的分母对应的是直线的横、纵截距,中间以“+”号连接,等号右边为1,所以过点(a,0),(0,-b)的直线的截距式方程是,3.直线方程的截距式与
7、两点式的关系是什么?提示:直线方程的截距式源于两点式,是两点式的特殊情况,当直线l经过点(a,0)与(0,b)两点时,将这两点的坐标代入两点式,得化简得,【过关小练】1.若直线l的方程为 则直线l在x轴与y轴的截距分别是()【解析】选B.直线的截距式方程中x的分母为直线在x轴的截距,y的分母为直线在y轴上的截距,故选B.,2.若已知A(1,2)及A,B中点坐标为(2,3),则B点的坐标是_.【解析】设B(x,y),则 ,解得x=3,y=4.故B点的坐标为(3,4).答案:(3,4),3.过点P(0,1)且倾斜角为45的直线截距式方程为_.【解析】由题意知直线的斜截式方程为y=x+1.令y=0得
8、x=-1,即直线在x轴上截距为-1,故直线的截距式方程为 答案:,【归纳总结】1.对直线的两点式方程的三点说明(1)方程 也可写成 ,两者形式有异但实质相同.(2)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能用两点式表示.(3)直线的两点式方程与两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的选取及这两点的顺序无关.,2.直线截距式方程的三个关注点(1)前提:截距式方程 应用的前提是a0且b0.(2)特征:直线的截距式方程 ,x,y项的分母对应的是直线的横、纵截距,中间以“+”号连接,等号右边为1.(3)适用范围:不能表示与坐标轴平行的直线,也不能表示过原点的直线.,类型一:直线
9、的两点式方程【典例1】已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1)BC边所在的直线的两点式方程,并化成斜截式.(2)BC边上中线AD所在的直线的两点式方程并化成斜截式.【解题指南】(1)利用直线方程的两点式,直接写出直线的两点式方程并化为斜截式即可.(2)先求BC的中点D的坐标,再用两点式求AD的方程.,【解析】(1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得化简得y=-2x-3.(2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为 即D(-1,-1).又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得 化简得,【规律总结】由两点式求直线方程的步骤(1)根据
10、题中的条件,找出直线经过的两个定点.(2)由直线的两点式方程写出直线的方程.,【巩固训练】(2015兰州高一检测)已知 点N是A(1,2)与B(3,1)的中点,写出过点M,N的两点式方程,并化成斜截式.【解析】因为点N是AB的中点,所以 过点M,N的两点式方程为 化简得y=2x-,【补偿训练】已知ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC边上的中点.(1)求AB边所在的直线方程.(2)求中线AM的直线方程.【解题指南】根据要求直线的特征,(1)用两点式.(2)先求中点坐标,再用两点式.,【解析】(1)由两点式写方程,得 即6x-y+11=0.(2)设M的坐标为(
11、x0,y0),则由中点坐标公式,得 故M(1,1),所以AM的方程为 即2x+y-3=0.,类型二:直线的截距式方程及应用【典例2】直线l过点(-3,3),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.【解题指南】由题意可知,直线l在坐标轴上的截距都不为0,可设直线方程为 根据题中的条件得出关于a,b的方程组,从而得出直线方程.,【解析】由题意设直线l的方程为 则a+b=12,又直线l过点(-3,3),所以 联立解得 故所求的直线方程为,【延伸探究】1.(变换条件)若将本例中的“截距之和”改为“截距之积”,求直线l的方程.【解析】由题意设直线l的方程为 可知解得 故所求的直线方程为,2.(改
12、变问法)本例条件不变试求直线l与两坐标轴围成的三角形面积.【解析】由本例可知直线l在两坐标轴上的截距分别为直线l与两坐标轴围成的三角形面积为,【规律总结】求直线方程的方法和注意事项(1)方法:已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率;已知直线的斜率,一般选取直线的斜截式方程,再由其他条件确定直线的截距;已知两点坐标,一般选取直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程.,(2)注意事项:在选用每一种直线方程时,需要注意各自的适用范围,同时对特殊情况下的直线要单独讨论解决.,【补偿训练】一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形
13、的面积为1,求此直线方程.【解析】设所求直线方程为 因为点A(-2,2)在直线上,所以 又因为直线与坐标轴围成的三角形的面积为1,所以 |a|b|=1.,由可得解得 第二个方程组无解.故所求直线方程为即x+2y-2=0或2x+y+2=0.,类型三:直线方程的综合应用【典例3】(2015柳州高一检测)一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在直线的方程.【解题指南】点A关于x轴的对称点A1在反射光线的延长线上;点B关于x轴的对称点B1在入射光线的延长线上,然后由两点式求出入射光线和反射光线所在直线的方程.,【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3,-2
14、),点B关于x轴的对称点为B1(-1,-6).,因为A1在反射光线的延长线上,B1在入射光线的延长线上,由两点式可得直线A1B的方程为 化简得2x+y-4=0;直线AB1的方程为 化简得2x-y-4=0.所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.,【延伸探究】若将本例中的点B(-1,6)改为“(1,6)”,其他条件不变,又如何求入射光线和反射光线所在直线的方程?【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3,-2),点B关于x轴的对称点为B1(1,-6).因为A1在反射光线的延长线上,B1在入射光线的延长线上,由两点式可得直线A1B的方程为 化简得4x+y-1
15、0=0;直线AB1的方程为 化简得4x-y-10=0.所以入射光线所在直线方程为4x-y-10=0,反射光线所在直线方程为4x+y-10=0.,【规律总结】1.直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率;(2)若已知直线的斜率,一般选用直线的斜截式,再由其他条件确定直线的一个点或者截距;,(3)若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程;(4)不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决.2.妙解光线的反射问题光线的反射问题是直线部分常考的题型之一,此类
16、问题可借助于光学性质:入射角等于反射角,或使用对称思想(一般找对称点)解决.,【巩固训练】(2015菏泽高一检测)如图,已知光线从A(2,1)出发,先后经过x轴和y轴反射后到达B(1,2),求光线从x轴到达y轴时所在直线的方程.,【解题指南】找到A关于x轴的对称点A1以及B关于y轴的对称点B1,由光线的性质可得,直线A1B1就是所求的直线.【解析】由题意,点A关于x轴的对称点A1的坐标为(2,-1),点B关于y轴的对称点B1的坐标为(-1,2),如图,由光线的对称性可知直线A1B1就是所求的直线.由直线方程的两点式可得,所求直线的方程为: 整理得,y=-x+1即为所求直线的方程.,【补偿训练】已知光线通过点A(1,2),经过y轴反射,其反射光线通过点B(2,-1).(1)求入射光线所在的直线方程.(2)求反射光线所在的直线方程.,【解析】点A关于y轴的对称点为A1(-1,2),点B关于y轴的对称点为B1(-2,-1),因为A1在反射光线的延长线上,B1在入射光线的延长线上.,(1)由两点式可得直线AB1的方程为 化简得x-y+1=0,这就是入射光线所在直线方程.(2)由两点式可得直线A1B的方程为 化简得x+y-1=0,这就是反射光线所在直线的方程.,
