1、3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,并识记点斜式与斜截式方程的特点,初步掌握它们的简单应用.,【知识链接】1.在平面直角坐标中确定一条直线的几何要素:定点P0(x0,y0),斜率k.2.直线的方程与方程的直线,如果直线l上任意一点的坐标(x,y),都是方程Ax+By+C=0的解,反之以方程Ax+By+C=0的解为坐标的点都在直线l上那么方程Ax+By+C=0叫做直线l的方程,直线l叫做方程Ax+By+C=0的直线.,主题一:直线方程的点斜式【自主认知】斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直
2、角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.据此考虑下列问题.,(1)已知某一斜拉索过桥塔上一点B,那么该斜拉索位置确定吗?提示:不确定,从一点可引出多条斜拉索.(2)若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件?提示:满足 (3)可以写出问题(2)中的直线方程吗?提示:可以,方程为y-b=k(x-0).,根据以上探究过程,试着写出直线的点斜式方程:1.已知直线过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线方程是_.2.过定点P(x0,y0),与x轴平行或重合的直线的方程为_;与y轴平行或重合的直线的方程为_.,y-y0=k(x-x0),y=y0,x
3、=x0,【合作探究】1.过点P(x0,y0)斜率为k的直线l的点斜式方程能否写成 =k的形式?提示:不能,直线l上的点都满足y-y0=k(x-x0),而 =k不包含点P0(x0,y0).2.直线的点斜式方程能否表示直角坐标平面内的所有直线?提示:不能.直线的点斜式方程的两要素为斜率k与点P0(x0,y0),故只有斜率存在的直线才能用点斜式表示.,【过关小练】1.过点P(2,-1),斜率为 的直线的点斜式方程是()A.y-1= (x-2)B.y-1= (x+2)C.y+1= (x-2)D.y+1= (x+2)【解析】选C.由点斜式方程的特点知此方程为y+1= (x-2).,2.直线l的点斜式方程
4、是y-2=3(x+1),则该直线的斜率为_.【解析】由直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)可知,直线l的斜率为k=3.答案:3,主题二:直线方程的斜截式【自主认知】1.斜率为k,与y轴的交点为(0,b)的直线的点斜式方程是什么?提示:由点斜式方程的特点知,斜率为k,过点(0,b)的直线点斜式方程为y-b=k(x-0).,2.若把直线l与y轴交点的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距,那么直线l的方程能否用该直线的斜率k与该直线在y轴上的截距b表示?提示:可以,因为直线l过点(0,b)且斜率为k,故直线l的方程为y-b=k(x-0),化简得y=kx+b,因此直线l的方程可以用k,b表示.,根据以
5、上探究过程,试着完成直线斜截式方程的有关定义及两直线平行与垂直的条件.1.直线的斜截式方程(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则该直线的斜截式方程为_.(2)直线l在y轴上的截距是_.,y=kx+b,b,2.两直线平行与垂直的条件对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,(1)l1l2k1=k2,且_.(2)l1l2_.,b1b2,k1k2=-1,【合作探究】1.是否平面直角坐标系中任意一条直线都能用斜截式方程来表示?提示:不一定,只有斜率存在的直线才能用斜截式方程来表示.2.直线的斜截式y=kx+b,k,b的几何意义是什么?提示:k是直线的斜率,b是直线在y
6、轴上的截距.,【拓展延伸】直线方程的斜截式与一次函数的解析式的区别与联系斜截式与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别,当k0时,y=kx+b即为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,一次函数y=kx+b(k0)必是一条直线的斜截式方程.,【过关小练】1.直线y=-2x+3的斜率和在y轴上的截距分别是()A.-2,3B.3,-2C.-2,-2D.3,3【解析】选A.由斜截式方程y=kx+b的特点知k是斜率,b是在y轴上的截距.,2.若直线l的倾斜角为45,且在y轴上的截距为1,则直线l的斜截式方程为_.【解析】因为k=tan45=1,直线l在y轴上截距为1,故直线l的方程
7、为y=x+1.答案:y=x+1,【归纳总结】直线的点斜式与斜截式方程的关系(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b),它们都不能表示斜率不存在的直线.(2)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟一,而斜截式的形式是惟一的.,类型一:直线的点斜式方程【典例1】求满足下列条件的直线方程:(1)经过点B(-1,4),倾斜角为135.(2)经过点(2,-3),倾斜角是直线y= x倾斜角的2倍.(3)经过点P(5,-2),且与y轴平行.(4)过P(-2,3)及(5,-4)两点.,【解题指南】求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直
8、线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.【解析】(1)直线的斜率为k=tan135=-1.由直线的点斜式方程得y-4=-(x+1).即x+y-3=0.,(2)因为直线y= x的斜率为 ,所以倾斜角为30,所以所求直线的倾斜角为60,其斜率为 .所以所求直线方程为y+3= (x-2),即 x-y-2 -3=0.,(3)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5,故直线方程可记为x=5.(4)过点P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率kPQ= 又因为直线过点P(-2,3),所以由
9、直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.,【规律总结】求直线点斜式方程的三个步骤(1)找定点:确定直线要经过的定点(x0,y0).(2)定斜率:求出直线的斜率k.(3)写方程:由点斜式写出直线的方程.,【巩固训练】已知直线l过点A(2,-3).(1)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l平行,求其点斜式方程.(2)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l垂直,求其点斜式方程.【解题指南】根据已知条件求出直线斜率,代入点斜式方程求解.,【解析】(1)由斜率公式得kl= 因为l与l平行,所以kl=-2.由直线的点斜式方程得y+3=-2(x-2).(2
10、)因为直线l的斜率为k=-2,l与l垂直,所以kl= ,由直线的点斜式方程得y+3= (x-2).,【补偿训练】1.(2015嘉峪关高一检测)已知直线l1的倾斜角为30,l1l2且l2过点P(-1,3),则直线l2的点斜式方程为_.2.直线l过点P(-2,3)且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的点斜式方程.,【解题指南】1.先利用l1l2求出l2的斜率k2,然后根据直线的点斜式写出直线的方程.2.先设出直线的斜率,再根据直线过定点写出直线的点斜式方程,根据中点坐标公式求出直线的斜率,从而得出直线的方程.,【解析】1.因为直线l1的斜率为k1=tan 30= ,又
11、因为l1l2,所以k1k2=-1.所以k2=- ,所以直线l2的点斜式方程为y-3=- (x+1).答案:y-3=- (x+1),2.设直线l的斜率为k,因为直线l过点(-2,3),所以直线l的方程为y-3=kx-(-2),令x=0,得y=2k+3;令y=0得x=- -2,所以A,B两点的坐标分别为 B(0,2k+3).因为AB的中点为(-2,3),所以解得k= ,所以直线l的方程为y-3= (x+2).,类型二:直线的斜截式方程【典例2】已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的斜截式方程.【解题指南】根据ll1确定l
12、的斜率k,再由l与l2在y轴的截距相同确定b,进而确定直线l的方程.【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为ll1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2.所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.,【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变,试写出直线l的点斜式方程.【解析】因为直线l1的斜率k1=-2且ll1,所以直线l的斜率为k=-2,由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,因此直线l过点(0,-2),故直线l的点斜式方程为y+2=-2(x-0).,2.(变换条件)若把本例中的条件换为“ll2,且l与
13、l1在y轴上的截距相同”则结果又如何呢?【解析】由斜截式方程知直线l2的斜率k2=4,又因为ll2,所以l的斜率k=k2=4,由题意知l1在y轴上的截距为3,所以l在y轴上的截距b=3,由斜截式可得直线l的方程为y=4x+3.,【规律总结】直线的斜截式方程的求解策略(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.提醒:在利用直线的点斜式或斜截式求解直线方程时,注意直线的斜率是否存在.,【补偿训练】直线l的方程是y= x+1,直线l的倾斜角比直线l的倾斜角小30,且直线l过点(3,4
14、),求直线l的斜截式方程.【解析】已知直线y= x+1的斜率为kl= ,所以直线l的倾斜角为60,所以直线l的倾斜角为30,设直线l的斜截式方程为y=kx+b,则k=tan30= ,又直线l过点(3,4),所以4= 3+b,所以b=4- ,所以直线l的方程为y= x- +4.,类型三:两条直线的平行与垂直的应用【典例3】当a为何值时,(1)两直线y=(a+1)x-2与y=(a-1)x+1互相垂直?(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?【解题指南】(1)根据k1k2=-1列出a的方程,然后解方程即可.(2)根据k1=k2,b1b2列出a的方程与不等式,然后求出a的值.,【解
15、析】(1)因为两直线y=(a+1)x-2与y=(a-1)x+1互相垂直,所以(a+1)(a-1)=-1,即a=0.(2)因为两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行.所以 ,即a=-1.,【规律总结】判断两条直线位置关系的依据直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2.(1)若k1k2,则两直线相交.(2)若k1=k2,则两直线平行或重合,当b1b2时,两直线平行;当b1=b2时,两直线重合.(3)若k1k2=-1,则两直线垂直.,【巩固训练】已知直线l1:y=(2a-1)x-5,l2:y=4x+8.(1)若l1l2,求a的值.(2)若l1l2,求a的值.【解析】(1)
16、由题意知k1=2a-1,k2=4,因为l1l2,所以2a-1=4,所以a= .(2)因为l1l2,所以4(2a-1)=-1,所以a= .,【补偿训练】已知直线l:y= 与直线l:y= 平行,且直线l:y= 与y轴的交点为(0,1),则a=_,b=_.【解析】由直线y= 与直线y= 平行,且直线l与y轴的交点为(0,1),所以得答案:- 2,拓展类型:平行直线系与垂直直线系【典例】1.过点A(2,-3),且与直线y=-2x+5平行的直线l的方程为_;与直线y=-2x+5垂直的直线l的方程为_.2.直线l:y=kx+b与直线l:2x-y-4=0垂直,且直线l不过第三象限,试确定k,b的值.,【解题
17、指南】1.根据两直线的位置关系,可直接设出所求直线的方程,再利用直线过点A,求出参数的值,进而求出直线的方程.2.根据已知条件,ll,设出直线l的方程,再根据待定系数法求出k的值,最后根据l不过第三象限,求出b的范围.,【解析】1.已知直线为y=-2x+5,由l与其平行,则可设直线l的方程为y=-2x+b,又l过点A(2,-3),有-3=-22+b,所以b=1,所以直线l的方程为y=-2x+1.由l与直线y=-2x+5垂直,则可设直线l的方程为y= x+c,又l过点A(2,-3),有-3= 2+c,所以c=-4,所以直线l的方程为y= x-4.答案:y=-2x+1y= x-4,2.由2x-y-4=0,得y=2x-4,因为ll,所以直线l的方程可设为y=- x+b,又直线l不过第三象限,所以b0.所以k=- ,b0.,【规律总结】与已知直线平行或垂直的直线的设法技巧若已知直线l:y=kx+b与直线l平行的直线系方程可设为:y=kx+b;与直线l垂直的直线系方程可设为:y=- x+b(k0).若直线l的斜率不存在时与直线l平行的直线系方程可设为:x=b;与直线l垂直的直线系方程可设为:y=b.然后根据题中所给条件求出所设方程中的b.,
