1、4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,并掌握空间直角坐标系中的点的坐标含义,并会求空间直角坐标系中点的坐标.,【知识链接】1.平面直角坐标系:以平面中垂直相交于一点O的两条直线分别为x轴,y轴,这时就说建立了平面直角坐标系,其中O是坐标原点,x轴、y轴叫坐标轴.2.平面直角坐标系中点的坐标:设点M为平面内一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴的直线,依次交x轴、y轴于点P,Q,点P,Q在x轴、y轴上对应的数x,y组成的数组(x,y)叫点M的坐标.,主题:空间直角坐标系及点的坐标【自主认知】1.如图数轴上有A,B两点,如何确定A,B两点的位置?提
2、示:利用A,B两点的坐标2和-2.,2.如图在平面直角坐标系中,P,Q点的位置,如何确定?提示:利用P,Q两点的坐标(a,b)和(m,n).,3.如图是一个房间的示意图,我们如何表示板凳和气球的位置?提示:可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系,如图所示:,根据以上探究过程,试着写出空间直角坐标系的有关概念.1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的要求:三条轴两两_;三条轴两两_;有_的单位长度.,相交,垂直,相同,(2)空间直角坐标系的构成要素:原点:原点O;坐标轴:_轴,_轴,_轴;坐标平面:_平面,_平面,_平面.(3)右手直角坐标系的要求:右手拇指指向x轴的正方向;右手食指指向y轴
3、的正方向;右手中指指向z轴的正方向.,x,y,z,xOy,yOz,xOz,2.空间一点的坐标空间一点M 有序实数组(x,y,z).其中_称为横坐标,_称为纵坐标,_称为竖坐标.,x,y,z,【合作探究】1.空间直角坐标系建系的位置不同,点的坐标相同吗?提示:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同,因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.,2.在给定空间直角坐标系下,如何确定空间一点P的坐标?提示:过点P作平面xOy的垂线,垂足为Q,在平面xOy内过点Q分别作x轴,y轴的垂线确定点P的横坐标,纵坐标,再过点P作平行
4、于OQ的直线PM交z轴于点M,确定点P的竖坐标.,3.设点M的坐标为(a,b,c),过点M分别作xOy平面,yOz平面,xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐标分别如何?提示:分别是(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c).,【过关小练】1.关于空间直角坐标系的叙述正确的是()A.P(x,y,z)中x,y,z的位置可以互换B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应关系C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同【解析】选B.A,D易知错误,对于C应是坐标平面.,2.点(2,0,4)在空间直角坐标系中的位置是()A.在x轴上
5、B.在y轴上C.在xOz平面内D.在xOy平面内【解析】选C.由于纵坐标为0,竖坐标不为0,横坐标不为0,故该点在xOz平面内.,【归纳总结】1.对空间点的坐标的两点说明(1)在空间直角坐标系下,任一点与有序实数组(x,y,z)是唯一对应的.(2)空间直角坐标系与平面直角坐标系有很多类似地方,平面直角坐标系中的一些结论可以类似地在空间直角坐标系中得到,如中点坐标,对称点坐标等.,2.空间一些特殊点的坐标(1)原点坐标(0,0,0).(2)x轴上的点的坐标为(x,0,0),其中x为任意实数.(3)y轴上的点的坐标为(0,y,0),其中y为任意实数.(4)z轴上的点的坐标为(0,0,z),其中z为
6、任意实数.(5)xOy平面上的点的坐标为(x,y,0),其中x,y为任意实数.(6)yOz平面上的点的坐标为(0,y,z),其中y,z为任意实数.(7)xOz平面上的点的坐标为(x,0,z),其中x,z为任意实数.,类型一:求空间中点的坐标【典例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标.(2)若N为棱CC1的中点,求点N的坐标.,【解题指南】(1)根据空间直角坐标系中点的坐标定义去求解.(2)根据中点坐标公式求解.【
7、解析】(1)显然D(0,0,0),因为点A在x轴的正半轴上,且|AD|=3,所以A(3,0,0).同理,可得C(0,4,0),D1(0,0,5).因为点B在坐标平面xOy内,BCCD,BAAD,所以B(3,4,0).同理,可得A1(3,0,5),C1(0,4,5),与B的坐标相比,点B1的坐标中只有竖坐标不同,|BB1|=|AA1|=5,则B1=(3,4,5).,(2)由(1)知C(0,4,0),C1(0,4,5),则C1C的中点N为即,【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变试求直线BD1与AC1交点坐标.【解析】设M是直线BD1与AC1的交点,则M是AC1的中点,又因为A(3,0,0),C
8、1(0,4,5),故,2.(变换条件)本例中的长方体若换为棱长为4的正方体,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】(1)D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),B(4,4,0),A1(4,0,4),B1(4,4,4),C1(0,4,4),D1(0,0,4).(2)因为N是CC1的中点,故N的坐标为(0,4,2).,【规律总结】在空间直角坐标系中求空间一点P的坐标的步骤,【补偿训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱AA1底面ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标.,【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BOAC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x
9、,y,z轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为2,所以OA=OC=1,OB= ,可得A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1( ,0,2),C1(0,1,2).(答案不唯一),类型二:由空间点的坐标确定点的位置【典例2】(1)点P(0,1,4)位于()A.y轴上B.x轴上C.xOz平面内D.yOz平面内(2)在空间直角坐标系中,作出点M(4,2,5).【解题指南】(1)根据点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来判断.(2)分别在x轴,y轴,z轴上取点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),过这三点作轴的垂面,交点即为所求.,【解析】(1)选D
10、.因为点P(0,1,4)的横坐标为0,所以点P位于yOz平面内.(2)如图.在x轴上找到点M1(4,0,0),过M1作与x轴垂直的平面;在y轴上找到点M2(0,2,0),过M2作与y轴垂直的平面;在z轴上找到点M3(0,0,5),过M3作与z轴垂直的平面,则平面,交于一点,此交点即为所求作的点M(4,2,5).,【规律总结】1.求空间中点P(a,b,c)的位置的四个步骤(1)在平面xOy内作出点P(a,b,0).(2)过点P作垂直于平面xOy的直线l.(3)在l上结合z的值与正负截取.(4)得点P(a,b,c).,2.已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次
11、平移得点P.(2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的位置.(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点P.,【巩固训练】(2015杭州高一检测)点M(1,2,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A.z轴上B.xOy平面内C.yOz平面内D.xOz平面内【解析】选B.由点M只有竖坐标为零,可知点M(1,2,0)在xOy平面内.,【补偿训练】在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6).【解析】第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位,第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位,第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图),即作出点P(5,4,6).,类型三
12、:空间中点的对称问题【典例3】在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标.(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标.(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.【解题指南】求对称点的坐标,可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长,使得垂足为所作线段的中点,再根据有关性质即可写出对称点的坐标.,【解析】(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).(
13、3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式,可得x=22-(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).,【规律总结】1.求空间对称点的方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.,2.空间直角坐标系中常见的几种对称已知空间任一点P(x,y,z)则关于原点对称的点的坐标是P1(-x,-y,-z);关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(-x,
14、y,-z);关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(-x,-y,z);关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x,y,-z);关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(-x,y,z);关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x,-y,z).,【巩固训练】已知点P(2,-5,8),分别写出点P关于原点,x轴,y轴,z轴和xOz平面的对称点.【解析】点P(2,-5,8)关于原点的对称点为(-2,5,-8),点P关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为:(2,5,-8),(-2,-5,-8),(-2,5,8).点P关于xOz平面的对称点为(2,5,8).,【补偿训练】已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4.【解题指南】根据空间直角坐标系的点关于坐标轴,坐标平面对称的点的坐标特点来写.【解析】由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则M3的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).,
