1、邏輯學悖論說謊者悖論“這句話是錯的。 ”上面這個句子是對的嗎？如果是對的，這句話就是錯的；如果是錯的，這句話就是對的。這一類的悖論變化是無窮的。例如，羅素曾經說，他相信哲學家喬治摩爾平生只有一次撒謊，就是當某人問他：是否他總是說真話時，摩爾想了一會兒，就說：“不是。 ”你可以創造一個這樣的悖論嗎？無窮倒退“先有雞還是先有蛋？”先有雞嗎？不，它必須從雞蛋裡孵出來，那麼是先有雞蛋？不，它必須由雞生下。雞和雞蛋這個古老的問題是邏輯學為“無窮倒退“的最普通的例子，無窮倒退還有很多例子。柏拉圖：下面蘇格拉底說的話是假的。 蘇格拉底：柏拉圖說了真話。 這是說謊者悖論的一個翻版。假若蘇格拉底說的是真的，那麼
2、柏拉圖說的必然是真的。但是，如果柏拉圖說的是真的，那蘇格拉底說的就必須是假的。若我們假定蘇格拉底說的是假的，那就意味著柏拉圖說的是假的，這麼，要是柏拉圖說的是假的，蘇格拉底說的就必須是真的，結果我們又從頭開始，這個過程就會這樣子一直重複下去。理髮師悖論“我給城裡一切不自已刮臉者刮臉，我也只給這些人刮臉。 ”著名的理髮師悖論是伯特納德羅素提出的。一個理髮師的招牌寫著如上面的告示。誰給這位理髮師刮臉呢？他提出這個悖論，為的是把他發現的關於集合的一個著悖論用故事通俗地表述出來。某些集合看起來是它自已的元素。現在來考慮一個由一切不是它本身的元素的集合組成的集合，這個集合是它本身的元素嗎？無論你如何作答
3、，都會得到矛盾。設對於一類集合：A 1=a11，a 12，a 1i，A2=a21，a 22，a 2i， ，A i=ai1，a i2，a ij，都滿足條件aij Ai ( i = 1，2，j = 1，2，)，但 Ai Ai一切這類集合物成新集合 A=A1，A 2，A i A1 A，問 A A？如果認為 A A，則 A 應該不是自身集合的元素，即 A A；如果 A A，A 就應是本集合的元素，即 A A，得到矛盾。你可以了解，為什麼現代集合論有一些規則禁止一個集合是此集合本身的元素嗎？意想不到的老虎“這隻老虎將是料想不到的。 ”在遠方的一個國度，公主愛上了一個貧困的少年，少年有勇氣的向國王提出婚約
4、，國王向少年提出了一個條件：如果你能打死這五個門後藏著的一隻老虎，你就可以和公主結婚。你必須依序開門，老虎在哪一個門後，只有開了那扇門後才知道，這隻老虎將是料想不到的。 少年看著五扇門，對自已說：如果我打開了四個空房間的門，老虎就一定在第五個房間，可是，國王說我不可能事先知道牠在哪，所以老虎不可能在第五個房間裡。五被排除了，所以老虎必然在其餘四個房間裡，那麼在我開了三個空房間後，老虎必然在第四個房間，這樣又不是預料不到的，所以四也被排除了按同樣的理由，少年證明老虎不能在這五個房間裡，他相當高興的去開門，但令他吃驚的是，老虎從第二個房間中跑了出來，完全是料想不到的！這個故事還有很多其它的形式。一
5、個數學老師向班上同學宣布下週的某一天要來一場“意料之外的小考” 。他向學生保證，沒有一個學生能猜到考試的日期。一個學生證明了小考不會在下週的任何一天，但最後還是逃不了小考的命運。大多數人認為少年推理的第一步是正確的，可是一旦承認這是嚴格的證明，少年其餘的推理就跟著成立。然而，很容易證明少年推理的第一步也是錯的。假定他打開了所有房門，只餘下了最後一個門，這時，他能準確地推斷說最後一個房間裡沒有老虎嗎？不能！因為，如果他這樣推斷，他也許會打開這個房門，發現有一個料想不到的老虎在其中！其實，即使問題中只有一個房間，整個悖論也存在。機率學悖論賭徒的謬誤“生了五個女兒之後，下一個生的是兒子的機率一定大得
6、多”“連續開了兩次小，下一次開的是大的機率一定大得多”你認為他們說的對不對呢？如果你對任何這類問題回答說“對”的話，你就陷入了所謂“賭徒的謬誤”之中。如果事件 A 的結果影響到事件 B，那麼就說 B 是“依賴”於A，例如，你明天是否穿雨衣的機率依賴於明天下與的機率。而彼此沒有關係的事件稱為“獨立”事件，例如，你明天是否穿雨衣和陳總統明天早餐吃雞蛋的機率無關。大多數人很難相信一個獨立事件的機率由於某原因會不受臨近的同類獨立事件的影響，才會陷入所謂的“賭徒的謬誤” 。例如第一次世界大戰，前線的戰士要找新的彈坑藏身。他們確信老的彈坑比較危險，因為看起來不可能兩個炮彈一個接一個落在同一點。三張卡片的騙
7、局“我和你贏的機會是相等的”在很多賭博遊戲中，若憑你對概率直覺的認識將會是很慘的。這裡有一個可以用三張卡片和一頂帽子作簡單賭博的例子，可以證明這一點。第一張牌的正面 第二張牌的正面 第三張牌的正面第一張牌的反面 第二張牌的反面 第三張牌的反面三張牌如上，莊家把卡片放在帽子裡，讓你取一張放到桌子上，然後，他與你以對等的賭金，打賭下面的花色和下面的一樣。莊家為了哄你讓你以為這個賭博是公平的，假設卡片上的圖案是紅心A，就說你的卡片不可能黑桃-黑桃卡，下面的不是黑桃就是紅心，所以你和他贏的機會是相等的。你要是相信了莊家的話，錢很容易就會被贏光了，你可以猜猜看你贏的機率是多少。碰運氣“每次三個人贏，三個
8、人輸！”這是美國和海外很多賭場玩的遊戲。 “碰運氣”遊戲是在一個籠子裡裝著三個骰子，玩的人可以賭從 1 到 6 任何一個數，有幾個骰子出現他所說的數，他就可以多得到他賭的錢數的幾倍。例如下注2 點 1 塊錢，如果出現兩個 2 點，除了原來賭金的 1 塊錢外，他還可以得到 2 塊錢。看起來是個公平的賭博，每次三個人贏，三個人輸。而且說不定還可以贏得兩倍、甚至三倍的錢。若是真的如此，那賭場的老闆要賺什麼？你可以去討論看看，這個遊戲對賭徒到底是有利還是有害？中立原理“肯定和否定是同樣可能的”中立原理的說明如下：如果我們沒有充足理由說明某件事的真偽，我們就選對等的概率來定每一件事物的真實性。 這個原理
9、在科學、倫理學、統計學、經濟學、哲學和心理學等多種領域中的應用已有很長的歷史，因此聲名狼藉。在公元 2100 年內發生核戰爭的機率是多少？根據中立原理，我們回答是 。那麼原子彈不會落在台灣本土上的機率是多少？回答21是 。中國不會受到原子彈轟炸的機率是多少？ 。如果我們將這21一理由應用到 10 個不同的國家，則原子彈不會轟炸其中一個國家的機率是 ，換句話說，原子彈會炸到這 10 個國家中任一個國家的102機率是 ！43另一個不小心用了中立原理的好例子是未知立方體的悖論。假定已知有一立方體藏在一個櫃子裡，邊長是 2 公尺到 4 公尺之間，你可能會認為此立方體邊長 3 公尺是最好的估計。現在來考
10、慮這個立方體的體積。它必然是在 8 立方公尺到 64 立方公尺之間，同樣，36 立方公尺應該是最好的估計。一個邊長 3 公尺，體積 36 立方公尺的立方體，是不是有些奇怪？立方體悖論是一個很好的例子，它說明科學家或統計學家在對一個量得出了它的最大值或最小值之後，就進而假定實際最可能取二者之間的中值，這時將會陷入困境。關於數的悖論六個席位之謎“七個人坐六個席位？”七個學生去一間餐廳吃飯，可是餐廳只剩下六個位子，老闆娘看到顧客就要跑走了，趕緊說：這個簡單，請第一個學生坐下，並讓他的女朋友先坐到他的腿上一會兒。現在第三個學生就坐到頭兩人的旁邊，第四個學生又坐在她旁邊。第五個坐到抱著女友坐的那個小伙子
11、對面，第六個坐在這位的旁邊，這就安排好六個人了，還有一個空位！這下，我該做的就是叫第七個學生從她的男朋友腿上下來，繞到桌子對面，坐在那個空位子上。 七個人坐六個席位？老闆娘錯在哪裡？這個悖論顯然違反了下面的定理，即 n 個元素的有限集能夠，且只能與具有 n 個元素的其他集合一一對應。這是一個介紹有限集與無窮集之間區別的有趣方法。消失的一千塊“把唱片放在一起賣，不也是一樣的”一間唱片行裡，有兩個特賣區，一邊賣 300 張唱片，兩張賣 100塊；一邊也賣 300 張唱片，三張賣 100 塊。那天，這 600 張全都賣完了。共收入 25000 元。第二天，老闆又拿出了 600 張唱片放到櫃台上，伙計心想：何必這麼麻煩，摻在一起五張賣 200 塊啊，笨蛋！多事的伙計就把 600 張都放在一起賣，結果到唱片行那天結算的時候卻少了 1000 塊，可憐的伙計只好從薪水裡面扣掉 1000 塊。我們對個悖論作一下代數分析好了，假設價格較高的唱片每張賣 b/a 元，價格較低的唱片每張賣 d/c 元。兩個分數都是最簡分數，假若所有唱片都以兩種不同的價格賣，則一張唱片的平均價格是；如果兩種唱片合起來按一個價格賣，那麼一張唱片的平均價2cdab格就是 。當 a = c、a c、a c 時，你知道要怎麼賣比較划算嗎？
