1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数,【自主预习】主题1:函数的单调性与其导数的关系1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)= h(t)=-9.8t+6.5的图象.,(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即t(0,a)时,h(t)是单调_.此时,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50.,递增,(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即t(a,b)时,h(t)是单调_.相应地,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50,0_
2、f(x)0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么?提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.,通过以上探究过程,归纳思考函数变化的快慢与导数间的关系?用文字语言描述:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”.,变化关系:,大,小,大,小,【深度思考】利用导数求函数单调区间的步骤是:(1)_.(2)_.,确定函数y=f(x)的定义域,求导数f(x),(3)_.(4)_.,在定义域范围内解不等式f(x)0和f(x)0,故函数在(0,6)上单调递增.,
3、2.f(x)在(a,b)内可导,若f(x)0,则f(x)在(a,b)内是()A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数【解析】选B.易知导函数f(x)0;当x(0,1)时,y0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.,4.f(x)是f(x)的导函数,f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(),【解析】选D.由图可以看出函数y=f(x)的图象是一个二次函数的图象,在a与b之间,导函数的值是先增大后减小,故在a与b之间,原函数图象切线的斜率是先增大后减小,故排除答案A,B,C.,5.函数y=x-lnx的单调递减区间是.【解析】定义域是(0,+),由y=1- 0及定义域得0x0;当x
4、(-1,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.,(2)函数的定义域为(0,+),f(x)=6x- =2 .令f(x)0,即2 0,解得- .又因为x0,所以x .令f(x)0,即2 0,解得x- 或0x0,所以0x0也即 0,对式子 求极限,若极限值大于0,则导数大于0,从而为增函数.减函数时有 0也即 0,则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗?提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但f(0)=0,即f(x)0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.,3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如
5、何表示这些区间?函数的单调区间与其定义域满足什么关系?提示:不能用“”连接,只能用“,”或“和”字隔开,函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:1.单调性的判断或证明方法:求导判断导数正负结论.2.求单调区间的方法:求导解导数不等式单调区间.,【题型探究】类型一:函数单调区间的判断及求解【典例1】(1)(2015陕西高考)设f(x)=x-sinx,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数,(2)求函数y=2x3-3x的单调区间.,【解题指南】(1)利用奇偶性的定
6、义判断f(x)=x-sinx的奇偶性,利用导数判断其单调性.(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.,【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f(x)=1-cosx0,所以f(x)单调递增,选B.(2)由题意得y=6x2-3.令y=6x2-30,解得x ,当x 时,函数为增函数,当x 时,函数也为增函数.令y=6x2-30或f(x)0,解得- .因此,函数f(x)的单调减区间为,(2)函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=2x-因为x0,所以 x+10,由f(x)0,解得x ,所以
7、函数f(x)的单调递增区间为 由f(x)0,解得x ,又x(0,+),所以函数f(x)的单调递减区间为,类型二:原函数与导函数图象间的关系【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象的大致形状是(),(2)函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0的解集为.,【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号,利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方).(2)当函数单调递减时f(x)0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.,【解析】(1)选D.根据图象可知,函数f(x)先单调递减,后单调递增,
8、后为常数,因此f(x)对应的变化规律为先负,后正,后为零.(2)函数y=f(x)在区间 和区间(2,3)上单调递减,所以在区间 和区间(2,3)上,y=f(x)0,所以f(x)0的解集.,【解析】根据题目中的图象,函数y=f(x)在区间 和区间(1,2)上函数为增函数,所以在区间 和区间(1,2)上,y=f(x)0,所以f(x)0的解集为 (1,2).,2.(改变问法)若本例(2)中的条件不变,试求不等式xf(x)0的解集.【解析】由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知,当x 时,函数为减函数,则f(x)0.综上可知:xf(x)0的解集为 (1,2).,【规律总结】判断函数与导数图象间对应关
9、系的两个关键第一:要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.,第二:注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f(x)0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f(x)0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.,(2)导数与函数图象的关系:,【巩固训练】已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是(),【解析】选A.由导函数的图象,可得:当x(-,-2)(0,+)时,f(x)0,且开口向下;则f(x)在(-,-2)上递减,在(-2,0)上递增,在
10、(0,+)上递减.,类型三:利用函数的单调性求参数的范围【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,求a的取值范围.(2)(2016广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-lnx,aR,若f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数a的取值范围.,【解题指南】(1)由f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,可得出利用不等式f(x)0在-1,1上恒成立,确定a的取值范围.(2)把f(x)在区间(0,1上是减函数,转化为f(x)0对任意x(0,1恒成立.,【解析】(1)f(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间-1,1上单调递增,所以f(x)=3ax2+10在-1,1上恒成
11、立.当x=0时,显然成立,当x0时,a- .因为- 在x-1,0)(0,1的最大值为- ,所以a- .故a的取值范围是,(2)f(x)=2x+a- .因为f(x)在区间(0,1上是减函数,所以f(x)0对任意x(0,1恒成立,即2x+a- 0对任意x(0,1恒成立,所以a -2x对任意x(0,1恒成立.,令g(x)= -2x,所以ag(x)min,易知g(x)在(0,1上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a-1.,【延伸探究】在本例(1)中f(x)=ax3+x在区间-1,1上能否单调递减?,【解析】假设能单调递减,f(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间-1,1上单调递减,所
12、以f(x)=3ax2+10在-1,1上恒成立.当x=0时,显然不成立,当x0时,a- .因为- 在x-1,0)(0,1上不存在最小值,所以满足条件的a值不存在.所以f(x)=ax3+x在区间-1,1上不能单调递减.,【规律总结】已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或f(x)0),x(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.,【巩固训练】(2016全国卷)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在(-,+)上单调递增，则a的取值范围是( )A.-1,1 B.-1, C.- , D.-1,-
13、 ,【解析】选C.方法一：用特殊值法：取a=-1，f(x)=x- sin 2x-sin x，f(x)=1- cos 2x-cos x，但f(0)=1- -1=- f(x)成立,则()A.3f(ln2)2f(ln3)B.3f(ln2)=2f(ln3)C.3f(ln2)2,则不等式f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1) B.(-1,+)C.(-,-1) D.(-,+),【解题指南】(1)f(x)f(x)变形得f(x)-f(x)0结合选项可构造函数g(x)= ,利用导数判断单调性,再利用单调性解决不等式问题.,(2)解题的一般思路为:首先构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),然后对其进行求
14、导并结合已知判断函数g(x)单调性,最后由函数的单调性可得出所求不等式的解集.其解题的关键是正确的构造函数并运用导数对其进行求解.,【解析】(1)选C.根据题意,令g(x)= ,则g(x)= 所以有 是增函数,从而有即3f(ln2)0,所以函数g(x)在R上单调递增,而g(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,所以不等式f(x)2x+4的解集转化为g(x)=f(x)-(2x+4)g(-1),所以x-1,所以不等式f(x)2x+4的解集为(-1,+).,【规律总结】如何构造函数解决不等式问题(1)观察所给不等式:首先对不等式进行变形,根据所给不等式的变形形式,选择合适的函数.(2)检验:对所选函
15、数进行求导数检验,看导数是否为所变形的不等式的左边式子.,(3)利用单调性:利用函数的单调性求解不等式问题,在构造时注意合理应用四则运算进行联想.,【巩固训练】已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为()A.(-2,+) B.(4,+)C.(1,+) D.(0,+),【解析】选D.构造函数F(x)= ,则F(x)=因为f(x)0,所以F(x)0,即不等式f(x)ex的解集为(0,+).,【补偿训练】设函数f(x)在R上存在导数f(x),xR,则f(-x)+f(x)=x2,在(0,+)上f(x)x,若f(4-m)-f(m)8-4m,则实数m的取值范围为()A.-2,2 B.2,+)C.0,+) D.(-,22,+),【解析】选B.令g(x)=f(x)- x2,所以g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0,所以g(x)为奇函数.因为x(0,+)时,g(x)=f(x)-x0,由导函数存在及对称性知: g(x)在R上单减.,因为f(4-m)-f(m)g(4-m)-g(m)+8-4m8-4m,所以g(4-m)g(m),所以4-mm,解得:m2.,
