1、论文：中国上证交易所利率期限结构相依性研究论文：中国上证交易所利率期限结构相依性研究发表时间:2015-6-5 21:43:20论文：中国上证交易所利率期限结构相依性研究【摘要】应用两因子 Vasicek 模型在状态空间框架下使用卡尔曼滤波技术研究我国上海证券交易所国债利率期限结构。提取 1 年期和 20 年期利率的观测误差，在不假设观测误差具体概率分布的条件下,使用非参数方法估计其边际分布,并使用极大似然方法对常用的阿基米德类 Copula 和混合 Copula 进行估计,从而确定其相依结构，结果发现 Gumbel Copula 和混合 Copula 能较好地描述两者的相依结构。采用蒙特卡罗
2、模拟方法计算国债投资组合的在险价值，发现使用高斯 Copula、Frank Copula、Clayton Copula 和混合 Copula 都会明显低估国债投资组合的风险， Gumbel Copula 更合适。【关键词】 Copula; 利率期限结构; Vasicek 模型；状态空间模型【中图分类号】F830 【文献识别码】ATerm Structure Dependence Research of Interest Rates in Shanghai Stock ExchangeAbstract: Two-factor Vasicek model in state-space framew
3、ork with Kalman filtering is applied to research treasury term structure of interest rates in Shanghai Stock Exchange. The observation errors of 1-year and 20-year interest rates were extracted，estimated the marginal distribution with the nonparametric method under the condition of non-specific dist
4、ribution assumption. Calibrated the Archimedean Copula and mix copula by MLE. We find that the研究发现两因子的 Vasicek 模型适合于美国及其他九个国家的国债市场利率期限结构13,14。Cassola 和 Luis(2001)也证明两因子 Vasicek 模型适合德国市场的利率期限结构7。当然,也有学者使用该方法对我国国债市场的利率期限结构进行研究，宋福铁、陈浪南(2006)使用上交所国债数据研究了单因子到五因子 CIR 模型16。高驰、王擎(2006) 也使用该方法，发现三因子的 CIR 模型更
5、能准确地反映上交所利率期限结构的动态变化17。这些研究无一例外地假设债券价格或者零息债券的收益率都存在观察误差，且这些误差服从独立的均值为零的正态分布，他们均未对这些观测误差进行进一步分析。本文将引入Copula 对该观测误差的相依性进行研究。Copula 函数的引入为研究两个随机变量序列的复杂相关性提供了很好的工具，目前Copula 方法广泛应用于金融领域，包括研究资本市场、外汇市场、期货市场及信用衍生品市场的相关性。 Junker,Szimayer 和 Wagner(2006)首次将 Copula 函数应用于对美国国债利率期限结构的研究6，他假设观测误差服从正态分布，并简单地使用阿基米德类
6、 Copula为观测误差进行建模并应用于投资组合的风险管理。严格的正态假设可能与事实不符，从而导致 Copula 函数估计产生误差。另外，仅仅使用常用的阿基米德类 Copula 进行建模，可能未充分考虑误差的复杂相关性。尽管 Copula 方法在国内研究较多，使用该方法对我国国债利率期限结构进行建模还尚属首次。本文假设各期限利率都存在观测误差，使用两因子的 Vasicek 模型对我国上海证券交易所上市的国债利率期限结构中的 1 年、5 年、15 年、和 20 年期的利率建模，在状态空间模型下,结合卡尔曼滤波算法估计模型参数，并提取出 1 年期和 20 年期利率的观测误差，在不对误差具体分布形式
7、进行假设的情况下，使用半参数方法分别估计 Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula 以及混合 Copula 的参数。三类简单 Copula 在描述这种相依结构上互有利弊， Gumbel Copula 拟合效果较好，但是与此相比，混合 Copula 更具优势。将其应用于国债组合投资的风险管理中，发现与高斯 Copula 度量的风险存在较大的差距，简单使用高斯 Copula 会明显低估风险。3 模型的建立3.1 仿射利率模型-双因子 Vasicek 模型仿射利率模型的特点是假设收益率是状态变量的线性函数，而状态变量又假设为 Vasicek模型。n 因子的利
8、率期限结构模型假设短期利率是 n 个随机因子之和，而每个因子又设定为扩散系数恒定，且存在均值回复过程的随机形式。即:该利率条件下，无风险零息债券的价格可以写成:其中：， ， ，表示 n 维状态向量， 表示到期期限。上式中，参数表示瞬时利率 r 的长期均值水平，表示第 i 个因子的均值回复速度，表示第 i 个风险因子的扩散系数，表示第 i 个风险因子的补偿系数。根据零息债券价格与收益率之间的关系，到期期限为的零息债券的收益率为:当 n=2 时，即影响瞬时即期利率的随机因子设定为两个，于是，该多因子模型就变为两因子模型。3.2 状态空间模型进行实证研究时，需要将上述两因子 Vasicek 模型转化
9、为状态空间模型。假设各个期限的利率都存在观测误差，则到期期限为 的零息债券收益率可以表示为：对于 N 个观测期限的收益率来说，到期期限为的零息债券收益率曲线可以表示为：，其中:。观测误差服从均值为零的白噪声过程，在状态空间模型中，该式子可以看成是测量方程。对状态变量的动态过程进行离散化，并获得条件均值和条件方差，分别为：(1.1)(1.2)其中 h 表示离散长度，X（ t）表示包含两个状态变量的状态向量。式子(1.1)表示状态向量在 X(t)已知的情况下，下一期状态向量的均值，而式子(1.2) 表示相应的方差。这样，状态空间模型的状态转移方程可以写成：表示服从均值为零的白噪声过程，对于 Vas
10、icek 模型来说，状态变量的条件均值和条件方差分别为：,令 h=1，即离散步长为一个单位时，两个状态的状态转移方程可以写成为：详细推导参看 Duffle 和 Kan(1996)2。由于模型中的随机扰动项没有设定服从正态分布，所以需要使用伪极大似然估计方法估计模型参数。4 Copula 的基本定义为了研究观测误差之间的复杂相依结构，这里引入 Copula 函数。关于 Copula 的一些的基础概念可以参看 Nelsen(2006)9，使用方法以及在金融中的使用参看 Cherubini 等(2004)15。Copula 方法的一个重要优点是，它允许将多变量之间的相依结构和单个变量的边际分布分开进
11、行研究。Sklar 定理给出了联合分布和 Copula 函数之间的关系。这里应用在两变量的相依结构建模上。4.1 Copula 的类别Copula 函数的类型很多，常用的包括椭圆类 Copula 和阿基米德类 Copula。椭圆类Copula 常见的包括高斯 Copula 和 t-Copula 两类，而阿基米德类 Copula 常见的主要有 Frank Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula 等。 高斯 Copula 被定义为:其中， 表示一维标准正态分布累计分布函数，表示二维标准正态分布，表示相关系数。自由度为 v,参数为的二元学生 t-Copula 被定义为
12、:其中，是自由度为 v 的一维 t 分布。椭圆类 Copula 一个特点是只能描述对称的相关性。在研究复杂的相依关系时，阿基米德Copula 是理想的选择。关于阿基米德 Copula 的定义可以参看 Cherubini 等(2004)15。表 1列举出主要的阿基米德 Copula。表 1 阿基米德类 copula 的表达式Table 1 the Expressions of Archimedean Copula Copula 类型生成函数 Copula 函数参数取值范围Gumbel CopulaClayton CopulaFrank Copula为了更加准确地描述随机变量之间的相关性，需要构造
13、混合 Copula:其中: 且，分别表示 Gumbel Copula、Clayton Copula 和 Frank Copula，表示相应 Copula的参数。Copula 在度量复杂的相依关系时具有独特的优点，特别在度量尾部相关性的时候。所谓尾部相关就是随机变量之间极值之间的相关性。定义：下尾相依系数表示在一个随机变量取极小值时另一个随机变量取极小值的概率。上尾相依系数：表示一个随机变量取极大值时另一个随机变量也取极大值的概率。其中：根据上面定义，我们可以得到，Gumbel Copula 具有上尾相依的特点，其上尾相依系数：Clayton Copula 具有下尾相依的特征，其下尾相依系数：Copula 相依性的另一种度量是由 Genest 和 MacKay(1986)证明的 Kendall 3(3.1)其中：表示阿基米德生成元，I 表示0,1 。4.2 Copula 的估计方法传统的参数估计方法如,EML 和 IFM 的核心思想是极大似然估计法。要求必须对随机变量的边际.
