1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工厂的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生.,背景介绍,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学的角度来研究微积分.微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用. 例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等.甚至连历法、农业都与微积分密切相关.更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题
2、了.,1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵.2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点）,探究点1 变化率问题,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?提示：气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,我们来分析一下:,思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,
3、问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.,提示：h(t)=-4.9t2+6.5t+10,.,.,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,思考：,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,提示：在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映她在这段时间里的运动状态.,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样y=f(x2)-f(x1),平均变化率定义:上述问题中的变化率可用式子 表示，我们把这个式子称为函数f
4、(x)从x1到x2的平均变化率.若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1),观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,已知函数f(x)=3x2+5,求:(1)从0.1到0.2的平均变化率.(2)在区间x0,x0+x上的平均变化率.,2.计算y的式子是什么?提示:y=f(x0+x)-f(x0).,【解题关键】1.由函数的图象可知自变量的改变量、函数值的改变量分别是多少?,【即时训练】,解：(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为 =0
5、.9.(2)f(x0+x)-f(x0)=3(x0+x)2+5-(3x02+5) =3x02+6x0x+3(x)2+5-3x02-5=6x0x+3(x)2 函数f(x)在区间x0,x0+x上的平均变化率为 =6x0+3x.,【方法技巧】1.求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量x=x2-x1.第二步,求函数值的增量y=f(x2)-f(x1).第三步,求平均变化率2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率,可用 的形式.,又如何求瞬时速度呢?,探究点2 导数的概念,在高台跳水运动中,平均速度不能反映她在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度
6、称为瞬时速度.,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内的平均速度.提示：,当t=0.01时,当t = 0.01时,当t=0.001时,当t =0.001时,当t=0.000 1时,当t =0.000 1时,当t=0.000 01时,当t = 0.000 01时,当t=0.000 001时,当t =0.000 001时,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,当t趋近于0时, 即无论t从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值13.1.,从物理的角度看, 时间间隔|t|
7、无限变小时, 平均速度 就无限趋近于t=2时的瞬时速度. 因此,运动员在t = 2时的瞬时速度是13.1m/s.,从2s到(2+t)s这段时间内的平均速度,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值13.1”.,瞬时速度,我们用表示“当t=2, t趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.,1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?,函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的表示,导数的概念:,一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x
8、0处的导数, 记作 或 , 即,【提升总结】,由导数的定义可知, 求函数y=f(x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2.求平均变化率3.求值,一差、二比、三极限,【拓展延伸】瞬时变化率的几种变形形式,【即时训练】,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.,A,【变式练习】,解:,1.求y=x2在x=x0附近的平均速度.,2.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1
9、+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,解:,3.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率等于.,4.函数f(x)=1在x=2处的导数等于.,【解析】答案:0,【解析】答案:2,D,5.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A.3 B.3x-(x)2C.3-(x)2 D.3-x,2.求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1).(2)计算平均变化率,1.函数的平均变化率,3.求物体运动的瞬时速度（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t).（2）求平均速度（3）求极限,4.由导数的定义可得求导数的一般步骤（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0).（2）求平均变化率（3）求极限,环境不会改变，解决之道在于改变自己。,
