1、第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程,【知识提炼】1.椭圆的定义平面内,一个动点M,两个定点F1,F2,一个常数2a.(1)满足关系: _.(2)限制条件:2a_|F1F2|.(3)相关概念:两个定点F1,F2叫做椭圆的_,两个定点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的_.,|MF1|+|MF2|=2a,焦点,焦距,2.椭圆的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2=b2+c2,【即时小测】1.思考下列小题:(1)椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?提示:当距离之和等于|F
2、1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量?提示:a,b的值及焦点所在的位置.,2.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【解析】选A.因为|MF1|+|MF2|=10|F1F2|,所以其轨迹为椭圆.,3.设P是椭圆 上的任意一点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.10 B.8 C.5 D.4【解析】选A.因为椭圆中a2=25,所以2a=10.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=1
3、0.,4.椭圆 的焦点坐标是.【解析】由题意可知a2=169,b2=25,所以c= =12.又焦点在y轴上,所以焦点坐标为(0,12).答案:(0,12),【知识探究】知识点1 椭圆的定义观察图形,回答下列问题:,问题1:如图,把细绳两端拉开一段距离,分别固定在图板上的两点F1,F2处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么图形?问题2:图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件?,【总结提升】1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.(2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是
4、判断一曲线是否为椭圆的限制条件.,2.椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|),则动点M的轨迹是椭圆.(2)若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.,知识点2 椭圆的标准方程观察图形,回答下列问题:,问题1:椭圆标准方程对应图形的几何特征是什么?问题2:标准方程的特征是什么?a,b,c三个量的关系是什么?,【总结提升】椭圆标准方程的特点(1)方程形式:从方程结构上看,在标准方程中,左边是两个平方相加,右边是“1”,x2,y2的系数均为正且不相等.有时可简记作:Ax2+By2=1(其中A0,B0,AB).(2)焦点的位置:利用标准方程判断焦点的位置的方法
5、是看大小,即看x2,y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.较大的分母是a2,较小的分母是b2.,(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以ab,ac,且a2=b2+c2.(如图所示),【题型探究】类型一求椭圆的标准方程【典例】1.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2 ,则此椭圆的标准方程为.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10.(
6、2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).,【解题探究】1.典例1中已知哪些量?提示:焦点位置、焦距2c及定长2a.2.典例2中如何借助已知条件分别求解相应方程?提示:可直接用待定系数法设出方程求解,但要注意焦点位置.,【解析】1.由已知2a=8,2c=2 ,所以a=4,c= ,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为 +x2=1.答案: +x2=1,2.(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).因为2a=10,所以a=5.又因为c=4,所以b2=a2-c2=52-42=9.所以所求椭圆的标准方程为,(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标
7、准方程为 (ab0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以故所求椭圆的标准方程为,【方法技巧】用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤,【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.,【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 (ab0).因为2a= =10,2c=6.所以a=5,c=3,所以b2=a2-c2=52-32=16.所以所求椭圆的方程为:,(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为:(ab0).因为2a=
8、26,2c=10,所以a=13,c=5.所以b2=a2-c2=144.所以所求椭圆的方程为:,类型二椭圆的定义及其应用【典例】(2015济宁高二检测)如图所示,已知椭圆的方程为 若点P在第二象限,且PF1F2=120,求PF1F2的面积.,【解题探究】本题中求PF1F2的面积需要用哪个公式?椭圆可以提供哪些条件?如何求解本题?提示:求PF1F2的面积需要用 = |PF1|F1F2|sin120;椭圆可以提供|PF1|和|PF2|的等量关系;求解本题可由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程,解方程组求得|PF1|,再用面积公式求解.,【解析】由已知得a=2,b= ,所以c
9、= =1,|F1F2|=2c=2.在PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cos120,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.将代入解得|PF1|= .,所以 = |PF1|F1F2|sin120即PF1F2的面积是 .,【延伸探究】1.(变换条件)把本例条件“PF1F2=120”改为“F1PF2=120”求PF1F2的面积.,【解析】由已知得a=2,b= ,所以c= =1,|F1F2|=2c=2.在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+
10、|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120,即4=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|PF2|.由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF1|PF2|=12.,所以 = |PF1|PF2|sin120即PF1F2的面积是 .,2.（改变问法）在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标.【解析】设P(x,y),由例题可知又所以|y|=代入椭圆方程所以点P的坐标为,【方法技巧】1.椭圆定义的应用(1)实现两个焦点半径之间的相互转化.(2)将两个焦点半径之和看成一个整体,求解定值问题.,2.椭圆定义解题的团体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的F1PF2,求其三角形的面积时
11、注意团体思想的应用,如已知F1PF2,可利用S= absinC把|PF1|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量.,【拓展延伸】椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.,【补偿训练】已知椭圆 (ab0),F1,F2是它的焦点,过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,求ABF2的周长.,【解析】因为|AF1
12、|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2a+2a=4a,所以ABF2的周长为4a.,【延伸探究】1.(变换条件)本题中若|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,求|AB|的长.【解析】若|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AF2|+|BF2|=2|AB|,结合ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a,可知|AB|= .,2.(变换条件)本题中若ABF2有两边之和为 ,求另一边的长.【解析】若|AF2|+|BF2|= ,则|AB|=4a-若|AF2|+|A
13、B|= ,则|BF2|=4a-若|BF2|+|AB|= ,则|AF2|=4a-即若ABF2有两边之和为 ,则另一边的长为 .,类型三 与椭圆有关的轨迹问题【典例】1.(2015成都高二检测)已知P是椭圆 上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为.2.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.,【解题探究】1.典例1中,点P与中点Q存在怎样的等量关系?提示:设P(xP,yP),Q(x,y),则xP=2x,yP=2y.2.典例2中两圆外切时能得到什么条件?内切时能得到什么条件?提示:两圆外切,两圆的
14、圆心距等于半径之和;两圆内切,两圆的圆心距等于半径差的绝对值.,【解析】1.设P(xP,yP),Q(x,y),由中点坐标公式得所以 又点P在椭圆 上,所以即x2+ =1.答案:x2+ =1,2.由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 (x-2).,【方法技巧】解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法.
15、用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.(2)相关点法.有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.,【变式训练】(2015盐城高二检测)在ABC中,B(-3,0),C(3,0),若周长为16,求顶点A的轨迹方程.【解题指南】由|AB|+|AC|=10可知顶点A的轨迹是椭圆,但要注意检验A,B,C能否构成三角形.,【解析】由|AB|+|AC|=10|BC|,可知点A轨迹为椭圆,其中2a=10,即
16、a=5,又B(-3,0),C(3,0),则c=3,所以b=4.设A点坐标为(x,y),则y0,所以 (y0)即为A的轨迹方程.,【补偿训练】求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.,【解析】圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为C1(-3,0),半径为R=10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有消去r得R-|PC|=|CC1|PC|+|CC1|=R,即|PC|+|CC1|=10.又P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=6b这个条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.,【自我矫正】由题意可知 解得3k0,B0,事实上,当A=B时,方程表示的曲线为圆而非椭圆.,
