1、12 抛_物_线21 抛物线及其标准方程对 应 学 生 用 书 P21抛物线的定义如右图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链 AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题 1：曲线上点 D 到直线 EF 的距离是什么？提示：线段 DA 的长问题 2：曲线上点 D 到定点 C 的距离是什么？提示：线段 DC 的长问题 3：曲线上的点到直线 EF 和定点 C 之间的距离有何关系？提示：相等抛物线的定义定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线
2、l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点 定点 F准线 定直线 l抛物线的标准方程已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l 上)，且定点到 l 的距离为 6，曲线上的点到定点距离与到定直线 l 的距离相等在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线A(3,0)， B(3,0)， C(0,3)， D(0，3)；l1： x3， l2： x3， l3： y3， l4： y3.问题 1：到定点 A 和定直线 l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向2提示： y212 x. 向右问题 2：到定点 B 和定直线 l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示： y2
3、12 x. 向左问题 3：到定点 C 和定直线 l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示： x212 y. 向上问题 4：到定点 D 和定直线 l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示： x212 y. 向下抛物线的标准方程图像 标准方程 焦点坐标 准线方程y22 px(p0) (p2， 0)xp2y22 px(p0) ( p2， 0) x p2x22 py(p0) (0，p2)yp2x22 py(p0) (0， p2)yp21平面内与一定点 F 和一定直线 l 距离相等的点的集合是抛物线，定点 F 不在定直线上，否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的直线2抛物线的
4、标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上对 应 学 生 用 书 P23求抛物线的焦点坐标和准线方程例 1 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)y x2；14(2)x ay2(a0)3思路点拨 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p.再写出焦点坐标和准线方程精解详析 (1)抛物线 y x2的标准形式为 x24 y，14 p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是 y1.抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为 y2 x，1a2 p .1|a|当 a0 时， ，抛物线开口向右，p2 14a焦点坐标是 ，准线方程是 x ；(14a， 0) 14a当 a
5、0 时，开口向右； a0)或 x22 p2y(p20)，过点(3,2)，42 p1(3)或 92 p22. p1 或 p2 .23 94故所求的抛物线方程为 y2 x 或 x2 y.43 92(2)令 x0 得 y2，令 y0 得 x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时， 4，p2 p8，此时抛物线方程 y216 x；当焦点为(0，2)时， |2|，p2 p4，此时抛物线方程为 x28 y.故所求的抛物线的方程为 y216 x 或 x28 y.(3)由题意知，抛物线标准方程为 x22 py(p0)或 x22 py(p0)且 p3，抛物线标准方程为 x26 y 或 x26
6、 y.一点通 求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离 p，写出方程(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2 ax(a0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2 ay(a0)3(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则拋物线的方程是( )5A y28 x B y28 xC y24 x D y24 x解析：由准线方程 x2，可知拋物线为焦点在 x 轴正半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为 y22 px8 x.答案：
7、B4抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上一点(5,2 )到焦点的距离是56，则抛物线的方程是_解析：因为点(5,2 )在第二象限，且以原点为顶点， x 轴为对称轴，故抛物线开口5向左，设其方程为 y22 px，把(5,2 )代入得 p2，故所求方程为 y24 x.5答案： y24 x5已知焦点在 x 轴上，且抛物线上横坐标为 3 的点 A 到焦点的距离为 5，求抛物线的标准方程解：由题意，设抛物线方程为 y22 px(p0)，其准线为 x .p2 A 到焦点的距离为 5， A 到准线的距离也是 5，即 3 5，解得 p4.(p2)故所求的抛物线标准方程为 y28 x.抛物线标准方程的
8、实际应用例 3 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由思路点拨 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断精解详析 建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为 x22 py(p0)，当 x3 时， y3，即点(3，3)在抛物线上代入得 2p3，故抛物线方程为 x23 y.已知集装箱的宽为 3 m，当 x 时， y ，而桥高为 5 m，32 346所以 5 4 4.34 14故卡车可通过此隧
9、道一点通 1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得方程的形式更为简单，便于计算6某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶 6 m 时，水面宽 10 m，抛物线的方程可能是( )A x2 y B x2 y256 2512C x2 y D x2 y365 2524解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为 x22 py(p0)，则 P(5，6)在抛物线上252 p(6)， p .2512抛物线方程为 x2 y.256答案：A7某抛物线形拱
10、桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22 py(p0)依题意知，点 P(10，4)在抛物线上，1002 p(4)，2 p25.即抛物线方程为 x225 y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知， AB 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为(2， yB)，代入 x225 y，得yB .4257| AB|4 3.84，即最长支柱的长为 3.84 米4251确定抛物线的标准方程，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，
11、应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y22 mx(m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x22 my(m0)2求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论对 应 课 时 跟 踪 训 练 七 1抛物线 y x2的焦点坐标是( )18A(0，4) B(0，2)C( ，0) D( ，0)12 132解析：抛物线方程可化成 x28 y，所以焦点坐标为(0，2)，故选 B.答案：B2若抛物线 y22 px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为( )x26 y22A4 B2C6 D8解析： a2
12、6， b22， c2 a2 b24， c2.椭圆的右焦点为(2,0)， 2， p4.p2答案：A3抛物线 y ax2的准线方程是 y2，则 a 的值为( )A. B18 188C8 D8解析：由 y ax2，得 x2 y， 2， a .1a 14a 18答案：B4若动圆与圆( x2) 2 y21 外切，又与直线 x10 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A y28 x B y28 xC y24 x D y24 x解析：设动圆的半径为 r，圆心 O( x， y)，且 O到点(2,0)的距离为 r1， O到直线 x1 的距离为 r，所以 O到(2,0)的距离与到直线 x2 的距离相等，由抛物线的定
13、义知 y28 x.答案：A5抛物线 y22 px 过点 M(2,2)，则点 M 到抛物线准线的距离为_解析：因为 y22 px 过点 M(2,2)，于是 p1，所以点 M 到抛物线准线的距离为2 .p2 52答案：526已知点 P(6， y)在抛物线 y22 px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于_解析：抛物线 y22 px(p0)的准线为 x ，因为 P(6， y)为抛物线上的点，所以p2P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以 p4，故焦点 F 到抛物线准p2线的距离等于 4.答案：47由条件解下列各题的标准方程及准
14、线方程(1)求焦点在直线 2x y50 上的抛物线的标准方程及其准线方程(2)已知抛物线方程为 2x25 y0，求其焦点和准线方程(3)已知抛物线方程为 y mx2(m0)，求其焦点坐标及准线方程解：(1)直线 2x y50 与坐标轴的交点为 ，(0,5)，以此两点为焦点的抛(52， 0)物线方程分别为 y210 x， x220 y.其对应准线方程分别是 x ， y5.529(2)抛物线方程即为 x2 y，焦点为 ，准线方程： y .52 (0， 58) 58(3)抛物线方程即为 x2 y(m0)，焦点为 ，准线方程 y .1m (0， 14m) 14m8.如图，已知抛物线 y22 px(p0
15、)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B， OB 的中点为 M.(1)求抛物线方程；(2)过 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标解：(1)抛物线 y22 px 的准线为 x ，p2于是，4 5， p2.p2所以抛物线方程为 y24 x.(2)因为点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)，所以 kAF .43因为 MN FA，所以 kMN .34则 FA 的方程为 y (x1)，43MN 的方程为 y x2.34解方程组Error!得
16、Error!所以 N .(85， 45)1022 抛物线的简单性质对 应 学 生 用 书 P25太阳能是最清洁的能源太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题 1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题 2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点问题 3：抛物线有对称中心吗？提示：没有问题 4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1 条抛物线的简单性质类型 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)图像焦点 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向 向右 向左 向上 向下
