1、12 充分条件与必要条件对 应 学 生 用 书 P5充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到 30 两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了 50 两银子，叫洛孝拿出自己私留的 20 两银子两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去设：A：洛孝主动归还所拾银两B：洛孝无赖银之情C：洛孝拾到 30 两银子，失主丢失 50 两银子D：洛孝所拾银子不是失主所丢问题 1：县官得到结论 B 的依据是什么？它是 B 的什么条件？提示：A，充分条件问题 2：县官由 C 得出什么结论？它是 C 的什么条件？
2、提示：D，必要条件充分条件和必要条件如果“若 p，则 q”形式的命题为真命题，即 pq，称 p 是 q 的充分条件，同时称 q是 p 的必要条件.充要条件已知： p：前年在伦敦举行第 30 届夏季奥运会q：前年是 2012 年问题 1：“若 p，则 q”为真命题吗？ p 是 q 的什么条件？提示：是真命题，充分条件问题 2：“若 q，则 p”是真命题吗？ p 是 q 的什么条件？提示：是真命题，必要条件问题 3： p 是 q 的什么条件？ q 是 p 的什么条件？2提示：充要条件，充要条件充要条件(1)如果既有 pq，又有 qp，通常记作 pq，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件(
3、2)p 是 q 的充要条件也可以说成： p 成立当且仅当 q 成立(3)如果 p， q 分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题 p 和命题 q 是两个相互等价的命题(4)若 pq，但 q/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p 的必要不充分条件(5)若 p/ q，且 q/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断，即对命题“若 p，则 q”与“若 q，则 p”进行真假判断，若是一真一假则 p 是 q 的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则 p 是 q 的充要条件；若是两假则 p 是 q 的即不充分又不必要条件对 应 学 生 用 书 P6充
4、分条件、必要条件的判断例 1 下列各题中， p 是 q 的什么条件？(1)p： a， b， c 三数成等比数列， q： b ；ac(2)p： y x4， q： x1， y3；(3)p： ab， q：2 a2b；(4)p： ABC 是直角三角形， q： ABC 为等腰三角形思路点拨 可先看 p 成立时， q 是否成立，再反过来若 q 成立时， p 是否成立，从而判定 p， q 间的关系精解详析 (1)若 a， b， c 成等比数列，则 b2 ac， b ，则 p/ q；若 bac，当 a0， b0 时， a， b， c 不成等比数列，即 q/ p，故 p 是 q 的既不充分也不必ac要条件(2)
5、y x4 不能得出 x1， y3，即 p/ q，而 x1， y3 可得 x y4，即 qp，故 p是 q 的必要不充分条件(3)当 ab 时，有 2a2b，即 pq，当 2a2b时，可得 ab，即 qp，故 p 是 q 的充要条件(4)法一：若 ABC 是直角三角形不能得出 ABC 为等腰三角形，即 p/ q；若 ABC3为等腰三角形也不能得出 ABC 为直角三角形，即 q/ p，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件法二：如图所示： p， q 对应集合间无包含关系，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件一点通 充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断(2)等价法
6、：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法：设 A x|p(x)， B x|q(x)，若 x 具有性质 p，则 x A；若 x 具有性质 q，则x B.若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充要条件；若 AB 且 BA，则 p 是 q 的既不充分又不必要条件1设集合 A x| 0，集合 B x|x2|1，那么“ m A”是“ m B”的( xx 3)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：集合 A x|0 x3，集合 B x|1 x3，则由“ m A”得不到“ m B”，
7、反之由“ m B”也得不到“ m A”，故选 D.答案：D2对任意实数 a， b， c 给出下列命题：“ a b”是“ ac bc”的充要条件；“ a5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件；“ ab”是“ a2b2”的充分条件；“ ab”不能得出 a2b2，如 a1， b2，为假命题；“由 a0 的解集为 R 的充要条件是_解析：若 x2 ax10 的解集为 R，则 a240 的解集为 R，故不等式 x2 ax10 的解集为 R 的充要条件是2 a2.答案：2 a25等差数列 an的首项为 a，公差为 d，其前 n 项和为 Sn，则数列 Sn为递增数列的充要条件是_解析：由 Sn1 Sn
8、(nN )(n1) a d na d(nN )n n 12 n n 12dn a0( n N )d0 且 d a0.因此数列 Sn为递增数列的充要条件是 d0 且d a0.答案： d0 且 d a06求证：关于 x 的方程 ax2 bx c0 有一个根为 1 的充要条件是 a b c0.证明：先证必要性：方程 ax2 bx c0 有一个根为 1， x1 满足方程 ax2 bx c0. a12 b1 c0，即 a b c0.必要性成立再证充分性： a b c0， c a b.代入方程 ax2 bx c0 中可得：ax2 bx a b0，即( x1)( ax b a)0.故方程 ax2 bx c0
9、 有一个根为 1.故关于 x 的方程 ax2 bx c0 有一个根为 1 的充要条件是 a b c0.充分条件、必要条件的应用例 3 已知 p：关于 x 的不等式 x ， q： x(x3)0，若 p 是 q 的充分不3 m2 3 m2必要条件，求实数 m 的取值范围思路点拨 求出 q 对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解精解详析 记 A x| x ， B3 m2 3 m2x|x(x3)0 x|0 x3，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B.注意到 B x|0 x3，分两种情况讨论：6(1)若 A，即 ，解得 m0，此时 A B，符合题意；3 m2 3 m2(2)若 A，即
10、，解得 m0，3 m2 3 m2要使 A B，应有Error!综上可得，实数 m 的取值范围是(，3)一点通 将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把 p， q 用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围7已知条件 p： x2 x60，条件 q： mx10( m0)，且 q 是 p 的充分不必要条件，求 m 的值解：解 x2 x60 得 x2 或 x3，令 A2，3， B ，1m q 是 p 的充分不必要条件， B A.当 2 时， m ；当 3 时， m .1m 12 1m 13所以 m 或 m .12 138已知 M x
11、|(x a)21， N x|x25 x240，若 x M 是 x N 的充分条件，求a 的取值范围解：由( x a)21 得x22 ax( a1)( a1)0， a1 xa1， M x|a1 xa1又由 x25 x240 得3 x8， N x|3 x8 x M 是 x N 的充分条件， MN，Error!解得2 a7.故 a 的取值范围是2,71充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若 p 是 q 的充分条件，则原命题“若 p，则 q”及它的逆否命题都是真命题；(2)若 p 是 q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；(3)若 p 是 q 的充要条件，则四种命题均为真命题72涉及利用充
12、分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系对 应 课 时 跟 踪 训 练 二 1 “1 x2”是“ x2”成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：当 1 x2 时，必有 x2；而 x2 时，如 x0，推不出 1 x2，所以“1 x2”是“ x2”的充分不必要条件答案：A2函数 f(x) x2 mx1 的图像关于直线 x1 对称的充要条件是( )A m2 B m2C m1 D m1解析：函数 f(x) x2 mx1 的图像关于 x1 对称 1 m2.m2答案：A3已知命题 p：
13、“ a， b， c 成等差数列” ，命题 q：“ 2” ，则命题 p 是命题 q 的ab cb( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 2，则 a c2 b，由此可得 a， b， c 成等差数列；当 a， b， c 成等差ab cb数列时，可得 a c2 b，但不一定得出 2，如 a1， b0， c1.所以命题 p 是命ab cb题 q 的必要不充分条件，故选 A.答案：A4 “a3”是“函数 f(x) ax2 在区间1,2上存在零点”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当 a3 时， f(1) f(2)(
14、 a2)(2 a2)0，即函数 f(x) ax2 在区间1,2上存在零点；但当函数 f(x) ax2 在区间1,2上存在零点；不一定是 a3，如当 a3 时，函数 f(x) ax23 x2 在区间1,2上存在零点所以“ a3”是8“函数 f(x) ax2 在区间1,2上存在零点”的充分不必要条件，故选 A.答案：A5直线 l： x y m0 与圆 C：( x1) 2 y22 有公共点的充要条件是_解析：直线 l 与圆 C 有公共点 |m1|21 m3.| 1 m|2 2答案： m1,36在下列各项中选择一项填空：充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件(1)记集合 A1， p,
15、2， B2,3，则“ p3”是“ A B B”的_；(2)“a1”是“函数 f(x)|2 x a|在区间 上为增函数”的_12， )解析：(1)当 p3 时， A1,2,3，此时 A B B；若 A B B，则必有 p3.因此“p3”是“ A B B”的充要条件(2)当 a1 时， f(x)|2 x a|2 x1|在上是增函数；但由 f(x)|2 x a|在区间 ，)上是增函数不能得到 a1，12， ) 12如当 a0 时，函数 f(x)|2 x a|2 x|在区间 上是增函数因此“ a1”是12， )“函数 f(x)|2 x a|在区间 ，)上为增函数”的充分不必要条件12答案：(1) (2
16、)7指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p： ABC 中， b2 a2 c2， q： ABC 为钝角三角形；(2)p： ABC 有两个角相等， q： ABC 是正三角形；(3)若 a， bR， p： a2 b20， q： a b0；(4)p： ABC 中， A30， q：sin A .12解：(1) ABC 中， b2 a2 c2，cos B 0，a2 c2 b22ac B 为钝角，即 ABC 为钝角三角形，反之若 ABC 为钝角三角形， B 可能为锐角，这时 b2 a2 c2. pq， q/ p，故 p 是 q
17、 的充分不必要条件(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，9 p/ q， qp，故 p 是 q 的必要不充分条件(3)若 a2 b20，则 a b0，故 pq；若 a b0，则 a2 b20，即 qp，所以 p是 q 的充要条件(4)转化为 ABC 中 sin A 是 A30的什么条件12 A30sin A ，但是 sin A / A30，12 12 ABC 中 sin A 是 A30的必要不充分条件12即 p 是 q 的必要不充分条件8求方程 ax22 x10 有两个不相等的负实根的充要条件解：当 a0 时，方程为一元一次方程，其根为 x ，不符合要求；12当 a0 时，方程 ax22 x10 为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为Error!解得 0a1.所以 ax22 x10 有两个不相等的负实根的充要条件是 0a1.
