1、14.1 数列基础题命题角度 1求数列的通项公式 高考真题体验对方向1.(2016浙江13)设数列 an的前 n项和为 Sn,若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN *,则 a1= ,S5= . 答案 1 121解析 由题意,可得 a1+a2=4,a2=2a1+1,所以 a1=1,a2=3.再由 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n2) .又因为 a2=3a1,所以数列 an是以 1为首项,3 为公比的等比数列 .所以 S5= =121.1-351-32.(2015全国 16)设 Sn是数列 an的前 n项和,且 a1=-1
2、,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 答案 -1解析 由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得 =1,即 =-1,则 为等差数列,首项为1 1+1 1+11 1=-1,公差为 d=-1, =-n,S n=- .11 1 1新题演练提能刷高分1.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列 an中, a1=2, +ln 1+1+1=,则 an= ( )12A.2+nln n B.2n+(n-1)ln nC.2n+nln n D.1+n+nln n答案 C解析 由题意得 =ln(n+1)-ln n,n分别取 1,2,3,(n-1)代入,+1+1累加得 =ln n-ln 1=ln
3、 n, =2+ln n,11 a n=2n+nln n,故选 C.2.(2018广东一模)已知数列 an的前 n项和为 Sn,且 Sn= n2+ n,则 a5= . 32 12答案 14解析 由题意得 a5=S5-S4= 52+ - 42+2 =14.32 52 323.(2018湖南、江西第二次联考)已知 Sn是数列 an的前 n项和,且 log3 Sn+1 =n+1,则数列 an的通项公式为 . 答案 an=8,=1,23,2解析 由 log3(Sn+1)=n+1,得 Sn+1=3n+1,当 n=1时, a1=S1=8;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=23n,所以数列 an的通项公式
4、为 an=8,=1,23,2.4.(2018湖南衡阳一模)已知数列 an前 n项和为 Sn,若 Sn=2an-2n,则 Sn= . 答案 n2n解析 S n=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得 Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以 2n有 =1,2-12-1又 S1=2a1-2=a1,可得 a1=S1=2,所以数列 bn= 可看作以 1为首项,1 为公差的等差数列, 所以 =n,所以 Sn=n2n.225.(2018河南 4月适应性考试)已知数列 an的前 n项和是 Sn,且 an+Sn=3n-1,则数列 an的通项公式 an= . 答案 3- n-212解析 由题得 an+
5、Sn=3n-1 ,an-1+Sn-1=3n-4 ,两式相减得 an= an-1+ ,12 323a n-3= (an-1-3),12 an-3是一个等比数列,所以 an-3=(a1-3) n-1=(1-3) n-1,12 12a n=3- n-2.12故填 3- n-2.12命题角度 2等差数列基本量的运算 高考真题体验对方向1.(2018全国 4)记 Sn为等差数列 an的前 n项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( )A.-12 B.-10 C.10 D.12答案 B解析 因为 3S3=S2+S4,所以 3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即 S3=a4-a3.设公差为
6、d,则 3a1+3d=d,又由a1=2,得 d=-3,所以 a5=a1+4d=-10.2.(2017全国 4)记 Sn为等差数列 an的前 n项和 .若 a4+a5=24,S6=48,则 an的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 C解析 设首项为 a1,公差为 d,则 a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+ d=48,联立可得652 3- ,得(21 -15)d=24,即 6d=24,所以 d=4.21+7=24,61+15=48, 3.(2017全国 9)等差数列 an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则 an前 6项的和为( )A.-
7、24 B.-3 C.3 D.8答案 A解析 设等差数列的公差为 d,则 d0, =a2a6,即(1 +2d)2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以23S6=61+ (-2)=-24,故选 A.6524.(2016全国 3)已知等差数列 an前 9项的和为 27,a10=8,则 a100=( )A.100 B.99 C.98 D.97答案 C解析 (方法一)设等差数列 an的公差为 d,则由题意得,91+982 =27,1+9=8, 解得 a1=-1,d=1,故 a100=a1+99d=-1+99=98.4(方法二)因为 S9= =27,a1+a9=2a5,(1+9)92所以 a5=3
8、.又因为 a10=8,所以 d= =1.10-510-5故 a100=a10+(100-10)1=98.5.(2017全国 15)等差数列 an的前 n项和为 Sn,a3=3,S4=10,则 = . =11答案 2+1解析 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知 解得1+2=3,41+432 =10, 1=1,=1.所以 Sn=na1+ d= .(-1)2 (1+)2所以 =2 .1= 2(+1) (1- 1+1)所以 =2 1- + + =2 .=11 12 1213 1 1+1 (1- 1+1)=2+1新题演练提能刷高分1.(2018重庆二诊)设等差数列 an的前 n项和为 Sn
9、,若 a3=7,S3=12,则 a10=( )A.10 B.28 C.30 D.145答案 B解析 由题意,设等差数列的首项为 a1,公差为 d,则 解得 所以3=1+2=7,3=31+3=12, 1=1,=3,a10=a1+9d=1+93=28,故选 B.2.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 =2,则 =( )6363A.2 B. C.4 D.72 74答案 B解析 设等差数列 an的公差为 d, =2,即 a3+3d=2a3,则 a3=3d,63,故选 B.63=3(3+4)32 =3+3+3- =3+3+3- =7253.(2018青海西宁一
10、模)我国古代数学名著九章算术均输中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位) .这个问题中,等差数列的通项公式为( )A.- n+ (nN *,n5)16 76B. n+ (nN *,n5)16 32C. n+ (nN *,n5)16 76D.- n+ (nN *,n5)16 32答案 D解析 依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可知 a-
11、2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以 a=-6d,又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以 a=1,所以此等差数列首项为 ,公差为 - ,故通项公式为 an=- n+ (nN *,n5),故选 D.43 16 16 324.(2018河南六市一模)在等差数列 an中, a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn表示 an的前 n项和,则使 Sn达到最大值的 n是( )A.21 B.20 C.19 D.18答案 B解析 因为 a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以 a3=35,a4=33,从而 d=-2,a1=39,Sn=39n+ n(n-1
12、)(-2)=-n2+40n,12所以当 n=20时, Sn取最大值,故选 B.5.(2018河南六市一模)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言” .题意是:把 996斤绵分给 8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 17斤绵,那么第 8个儿子分到的绵是( )A.174斤 B.184斤C.191斤 D.201斤答案 B解析 用 a1,a2,a8表示 8个儿按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列 a1,a2,a8是公差为 17的等差数列,且这 8项的和为 996, 8a1+ 17=996,解得
13、a1=65.872a 8=65+717=184.故选 B.6.(2018陕西西安八校第一次联考)设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 S6S7S5,则满足SnSn+1S7S5, 6a1+ d7a1+ d5a1+ d,652 762 542a 70,S 13= =13a70,13(1+13)2 12(1+12)2 满足 SnSn+10的最大的自然数 n是( )A.7 B.8 C.9 D.10答案 C解析 解得2=1+=7,4=1+3=3, 1=9,=-2,所以 Sn=9n+ (-2)=-n2+10n,(-1)2所以 -n2+10n0,所以 00, 故选 A.1=2,=3,2.(2018甘肃兰
14、州第二次实战考试)等比数列 an中各项均为正数, Sn是其前 n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则 S4=( )A.9 B.15 C.18 D.30答案 D解析 设等比数列 an的公比为 q(q0). 2S3=8a1+3a2, 2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即 2a3-a2-6a1=0. 2q2-q-6=0,q= 2或 q=- (舍去) .32a 4=16,a 1= =2,S 4= =30.故选 D.43 1(1-4)1- =2(1-24)1-23.(2018新疆乌鲁木齐二诊)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六
15、朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还 .”其大意为“有一个人走了 378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程” .该问题的计算结果为( )A.24里 B.48里 C.96里 D.192里答案 C解析 由题意得此人每天走的路程构成公比为 的等比数列 ,且前 6项的和为 378,求该数列12的第 2项 .设首项为 a1,则有 =378,解得 a1=192,则 a2=192 =96(里) .故选 C.11-(12) 61-12 124.(2018山东济南一模)已知正项等比数列 an满足 a3=1,a5与 a4的等差
16、中项为 ,则 a1的32 12值为( )A.4 B.2 C. D.12 14答案 A解析 设公比为 q(q0),a 3=1,a5与 a4的等差中项为 ,32 1212=1,14+3213=2121=4,=12,9即 a1的值为 4,故选 A.5.(2018山西太原二模)已知公比 q1 的等比数列 an的前 n项和为 Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=( )A.1 B.5 C. D.3148 1116答案 D解析 由题意得 =3a1q2,解得 q=- ,q=1(舍),1(1-3)1- 12所以 S5= ,故选 D.1(1-5)1- =1-(-12) 51-(-12)=11166.(2018安
17、徽江南十校 3月联考)古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺 .蒲生日自半,莞生日自倍 .问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天,长为 3尺;莞生长第一天,长为 1尺 .以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍 .问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出了问题的 4个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg 20 .30,lg 30 .48)( )A.1.3日 B.1.5日 C.2.6日 D.3.0日答案 C解析 由题意可知蒲的长度是首项为 3,公比为 的等比数列 ,莞的长度是首项为 1,公比为122的等比数列,设 n天后长度相等,由
18、等比数列前 n项和公式有: ,3(1- 12)1-12 =1(1-2)1-2解得 n=log26= 2 .6.故选 C.2+327.(2018河北唐山期末)在数列 an中, a1=1,an+1=2an,Sn为 an的前 n项和,若 Sn+ 为等比数列,则 = ( )A.-1 B.1C.-2 D.2答案 B解析 由题意 an是等比数列,公比为 2,S n=2n-1,Sn+= 2n-1+ ,Sn+ 为等比数列,则 -1+= 0,即 = 1,故选 B.8.(2018湖南长沙长郡中学模拟)已知递减的等比数列 an,各项均为正数,且满足则数列 an的公比 q的值为( )1+2+3=269,11+12+1
19、3=132,10A. B. C. D.12 13 23 34答案 B解析 因为数列是等比数列,故得到11+12+13=23+13+12123=23+22+12123= ,3+1+213 =132化简得到 a1a3= ,a2= .22=49 23由 a1+a2+a3= +a2+a2qq+ q= .269=2 1=103 139.(2018江西教学质量监测)已知等比数列 an的首项 a1=2,前 n项和为 Sn,若 S5+4S3=5S4,则数列 的最大项等于 ( )22+12-6A.-11 B.- C. D.1535 193答案 D解析 由已知得 S5-S4=4(S4-S3)a5=4a4q=4,an=24n-1=22n-1,所以,由函数 y= 的图象得到,当 n=4时,数列 的22+12-6=4-12-7 4-12-7 22+12-6最大项等于 15.故选 D.10.(2018北京石景山一模)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树” .若某勾股树含有 1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为 ,则其最小正方形的边长为 . 22答案 132
