1、13.2 解三角形基础题命题角度 1 利用正弦、余弦定理解三角形 高考真题体验对方向1.(2018 全国 6)在 ABC 中,cos ,BC=1,AC=5,则 AB=( )2=55A.4 B. C. D.22 30 29 5答案 A解析 cos C=2cos2 -1=- , 35AB 2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+215 =32.AB= 4 .35 22.(2018 全国 9) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 ABC 的面积为,则 C=( )2+2-24A. B. C. D.2 3 4 6答案 C解析 由 S= absin C,得 c2=a2+b
2、2-2absin C.2+2-24 =12又由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, sin C=cos C,即 C= .43.(2017 山东9)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2b B.b=2a2C.A=2B D.B=2A答案 A解析 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C
3、, sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, 2sin Bcos C=sin Acos C,又 ABC 为锐角三角形, 2sin B=sin A,由正弦定理,得 a=2b.故选 A.4.(2016 全国 8)在 ABC 中, B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=( )4 13A. B. C.- D.-31010 1010 1010 31010答案 C解析 (方法 1)设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC= AD,AB= AD.2+2=5 2由余弦定理,得 cos A=2+2-22= =- ,故
4、选 C.22+52-92225 1010(方法 2)如图,在 ABC 中, AD 为 BC 边上的高,由题意知 BAD= .设 DAC= ,4则 BAC=+ .4BC= 3AD,BD=AD.DC= 2AD,AC= AD.5 sin = ,cos = .25=255 15=55 cos BAC=cos =cos cos -sin sin(+4) 4 4= (cos - sin )=22 22(55-255)3=- ,故选 C.10105.(2016 全国 13) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,45 513则 b= . 答案 21
5、13解析 因为 cos A= ,cos C= ,且 A,C 为 ABC 的内角, 所以 sin A= ,sin C= ,sin 45 513 35 1213B=sin -(A+C)=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .又因为 ,所以 b=6365 = .=2113新题演练提能刷高分1.(2018 西南名校联盟适应性考试)在 ABC 中,若原点到直线 xsin A+ysin B+sin C=0 的距离为 1,则此三角形为( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不能确定答案 A解析 由已知可得 =1, sin2C=sin2A+sin2B,c 2=a2
6、+b2,故三角形为直角三|2+2角形 .选 A.2.(2018 广东茂名联考)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos C+c=2a,且b= ,c=3,则 a=( )13A.1 B. C.2 D.46 2答案 D解析 已知 2bcos C+c=2a,由正弦定理可得 2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C, sin C=2cos Bsin C, sin C0, cos B= .由余弦定理可得12b2=a2+c2-2accos B,又知 b= ,c=3,解得 a=4.故选 D.133.(
7、2018 湖南益阳 4 月调研)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=5,C=60,且 ABC 的面积为 5 ,则 ABC 的周长为( )3A.8+ B.9+21 21C.10+ D.1421答案 B解析 由题意,根据三角形面积公式,得 absin C=5 ,即 a5 =5 ,解得 a=4.根据余12 3 12 32 3弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 c2=16+25-245 ,c= ,所以 ABC 的周长为 9+ .12 21 21故选 B.44.(2018 河南郑州第二次质量预测)在 ABC 中, A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2
8、cos2 -+2cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则 c 的值为( )A. B. C. D.613 7 37答案 A解析 2cos2 =2cos2 =2cos2 =2sin2 =1-cos C, 1-cos C-cos +2 -2 22 2C=1. cos 2C=-cos C. 2cos2C+cos C-1=0,解得 cos C= .因为 故得到12 -=1,4=3,根据余弦定理得到 ,解得 c 的值为 .=3,=4. 12=2+2-22 135.(2018 广东佛山质量检测一) ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=5,B= ,cos A=3,则
9、 ABC 的面积 S=( )1114A. B.10 C.10 D.201033 3 3答案 C解析 因为 cos A= ,所以 sin A= ,由正弦定理得到 ,解得 b=7,由正弦定1114 5314 = 理得到 sin C=sin(A+B)= , ABC 的面积 S= 57 =10 .437 12 437 36.(2018 山西晋城一模)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 csin B+ = a,3 32=20,c=7,则 ABC 的内切圆的半径为( )A. B.1 C.3 D.2 3答案 D解析 由 csin B+ = a 及正弦定理得3 322sin C si
10、n B+ cos B = sin A,12 32 3整理得 sin Bsin C+ cos Bsin C= sin A.3 3 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, sin Bsin C+ cos Bsin C3= sin Bcos C+ cos Bsin C,3 3 sin Bsin C= sin Bcos C,又 sin B0,35 sin C= cos C,故 tan C= ,C= .3 33 =abcos C=20,ab= 40.由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 49=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-120
11、,解得 a+b=13.a+b+c= 20.设 ABC 的内切圆半径为 r,S ABC= absin C= (a+b+c)r,r= .选 D.12 12 37.(2018 江西重点中学盟校第一次联考)如图,平面四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 P,若 3=3 ,AB=AD= BC, CAD+ ACB= ,则 =( )+ 356 A. B. C. D.213 214 263 62答案 A解析 设 BC=1,则 AB=AD= ,延长 BC 到 E,使 BE=3BC,所以 CE=2,3依题意 3 =2 +( )=2 ,所以 AC DE,所以+=+=,=12由正弦定理得=,=,两式相除得
12、,2= 3所以 2sin - = sin ,所以 = ,= .56 3 2 3在 ABC 中,由余弦定理得 3=1+AC2-2ACcos ,AC=2,3在 Rt ACD 中 CD= ,故 ,选 A.3+4=7=73=21368.(2018 东北三省三校一模)在 ABC 中, AB=2,AC= , ABC= ,则 BC= . 723答案 1解析 由题意,根据余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 BC2+2BC-3=0,解得 BC=1,或 BC=-3(舍去负值) .9.(2018 北京海淀期末)在 ABC 中, a=1,b= ,且 ABC 的面积为 ,则 c= . 732答
13、案 2 或 2 3解析 S ABC= absin C= 1 sin C= ,则 sin C= ,cos C= ,12 12 7 32 217 277当 cos C= 时, c2=1+7-21 =4,c=2;277 7277当 cos C=- 时, c2=1+7+21 =12,c=2 .277 7277 310.(2018 河北衡水中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里 .里法三百步 .欲知为田几何 .”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为 13 里,14 里,15 里,假设 1 里
14、按 500 米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为 米 . 答案 4 062.5解析 由题意画出图象,如图所示,且 AB=13 里 =6 500 米, BC=14 里 =7 000 米, AC=15 里 =7 500 米 .在 ABC 中,由余弦定理有 cos B= ,B 为锐角,2+2-22 =132+142-15221314=5137sin B= .设 ABC 外接圆半径为 R,则由正弦定理有 =2R,R=1-2=1213 =4 062.5(米) .2=7 50021213命题角度 2 与三角形有关的最值和范围问题 高考真题体验对方向1.(2015 全国 16)在平面四边形 ABCD 中,
15、A= B= C=75,BC=2,则 AB 的取值范围是 .答案 ( )62, 6+2解析 如图 .作 CE AD 交 AB 于 E,则 CEB=75, ECB=30.在 CBE 中,由正弦定理得, EB= .62延长 CD 交 BA 的延长线于 F,则 F=30.在 BCF 中,由正弦定理得, BF= ,6+2所以 AB 的取值范围为( ).62, 6+22.(2014 全国 16)已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a=2,且(2 +b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则 ABC 面积的最大值为 . 答案 3解析 由正弦定理,可得(2 +b)(
16、a-b)=(c-b)c.a= 2,a 2-b2=c2-bc,即 b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得 cos A= .2+2-22 =12 sin A= .32由 b2+c2-bc=4,得 b2+c2=4+bc.b 2+c22 bc,即 4+bc2 bc,bc 4 .S ABC= bcsin A ,即 (S ABC)max= .12 3 3新题演练提能刷高分1.(2018 吉林长春质量监测三)已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,b=2,则 ABC 面积的最大值是( )A.1 B. C.2 D.43答案 B8解析 2bco
17、s B=acos C+ccos A,由正弦定理得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A, 2sin Bcos B=sin(A+C)=sin B, cos B= .12B= 60,由余弦定理,得 ac=a2+c2-4,故 ac=a2+c2-42 ac-4,有 ac4,故 SABC= acsin B .12 32.(2018 陕西咸阳一模)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A= ,a=2 ,则 ABC3 2面积的最大值为( )A. B.2 C. D.2 3 6 3答案 B解析 在 ABC 中,由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A
18、,即 8=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc2 bc-3bc=bc,即 bc8,当且仅当 b=c 时,等号成立,所以 ABC 面积的最大值为 S= bcsin 12A= 8sin =2 ,故选 B.12 3 33.(2018 河南六市一模)已知锐角 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b2=a(a+c),则 的取值范围是( )2(-)A. 0, B.22 12, 32C. D. 0,12, 22 32答案 C解析 b 2=a2+c2-2accos B,ac=c 2-2accos B,a=c- 2acos B. sin A=sin C-2sin Acos B=s
19、in(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A). ABC 为锐角三角形, A=B-A ,B= 2A. 0A ,0B=2A ,0 -A-B= -3A ,2 2 2 A .6 4 =sin A ,选 C.2(-) 12, 224.(2018 宁夏银川 4 月检测)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ABC 的面积为,且 ,则 c 的最小值是( )3(+) = 2+9A.2 B.2 C.2 D.42 3答案 C解析 ,- ,(+) = 2+ = 2+ 根据正弦定理可得 - ,= 2+即 -2sin Acos C=sin A. sin A0, cos C=- .1
20、2C (0,), C= .23 ABC 的面积为 ,3S ABC= absin C= ,即 ab=4.12 3 cos C= =- ,2+2-22 12c 2=a2+b2+ab2 ab+ab=3ab=12,当且仅当 a=b 时取等号 .c min=2 ,故选 C.35.(2018 湖南衡阳二模)在 ABC 中,已知 a2+b2-c2=4S(S 为 ABC 的面积),若 c= ,则 a-2b 的取值范围是 ( )22A. 0, B. -1,02C. -1, D. -2 2, 2答案 C解析 a 2+b2-c2=4S,a 2+b2-c2=4 absin C=2absin C.12 =sin C,2
21、+2-22 cos C=sin C.C= .4 =2,= = =222a= 2sin A,b=2sin B,又 a- b=2sin A- 2sin B22 2210=2sin A- sin B2=2sin A- sin -A234=sin A-cos A= sin A- ,24 0A ,34- A- ,4 42- 1 sin A- ,24 2- 1a- b ,故选 C.22 26.(2018 广东江门一模)已知平面四边形 ABCD 中, AB=AD=2,BC=CD, BCD=90,则四边形ABCD 面积的最大值为( )A.6 B.2+2 3C.2+2 D.42答案 C解析 如图,设 DAB= ,BC=CD=x,则 BD= x.2在 ABD 中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcos ,即( x)2=4+4-8cos = 8-8cos ,2x 2=4-4cos . 四边形 ABCD 的面积为 S= 22sin + x2=2sin + (2-2cos )=2 sin -12 12 2+2.4 0 , - - ,4 434 当 - ,即 = 时, S 有最大值,且 Smax=2 +2.选 C.4=2 34 27.(2018 河北石家庄一模)在 ABC 中, AB=2,C= ,则 AC+ BC 的最大值为( )6 3A. B.2 C.3 D.47 7 7 7答案 D
