1、11.5 不等式与线性规划命题角度 1不等式的性质与解不等式 高考真题体验对方向1.(2016全国 8)若 ab1,02因为 3 2 ,所以 B错;2=18 3=12因为 log3 =-log32-1=log2 ,所以 D错;12 1因为 3log2 =-3b0,c -d 0, 00.1- 1-又 ab 0, , .- - 0,A B=x|01 -2b D.a3b3答案 A解析 a1 - -2aabb2答案 D解析 若 c=0,A不成立,因为 0,选项 B错;由11=-|a| B.acbcC. 0 D.ln 0- 答案 D3解析 因为 0,即 ba0,|b|a| ,acbc, 0成立,此时31
2、 -00,则 的最小值为 . 4+44+1答案 4解析 a ,bR,且 ab0, =4ab+4+44+1 422+1 14 .(当且仅当 2=22,4=1,即 2=22,2=24时取等号 )2.(2017江苏10)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x吨,运费为 6万元 /次,一年的总存储费用为 4x万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x的值是 .答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为 4x+ 6=4 4 2 =240,当且仅600 (+900) 900当 x= ,即 x=30时等号成立 .900新题演练提能刷高分41.(2018辽宁大连一模)已知首项与公比相等的
3、等比数列 an中,满足 am (m,nN *),2=24则 的最小值为( )2+1A.1 B. C.2 D.32 92答案 A解析 由题意可得 a1=q,am ,2=24a1qm-1(a1qn-1)2=(a1q3)2,即 qmq2n=q8,所以 m+2n=8.=(m+2n) = 2+ +2 (4 +2 ) =1.故选 A.2+1 2+1 18 +4 18 4 182.(2018贵州凯里模拟)函数 f(x)= 的最小值为 ( )2+4|x|A.3 B.4 C.6 D.8答案 B解析 f(x)= =|x|+ 2 =4,故选 B.2+4| 4| 43.(2018湖北三市期末联考)已知三点 A(1,-
4、2),B(a,-1),C(-b,0)共线,则(a0,b0)的最小值为( )1+2 +2+A.11 B.10 C.6 D.4答案 A解析 由 A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线得 , 2a+b=1,-21+=-1+2-1=7+ 7 +2 =11,当且仅当 ,1+2 +2+ =4+ +4+3 +4 4 =42a+b=1a= ,b= 时取等号,故选 A.14 124.(2018江西重点中学盟校第一次联考)已知函数 f(x)= 若 m0,n0,且3(+2),1,-1,1. m+n=ff(2),则 的最小值为 . 1+2答案 3+2 25解析 函数 f(x)= m+n=ff(2)=f(e
5、ln 2-1)=f(2-1)=log33=1,则3(+2),1,-1,1, =(m+n) =3+ 3 +2 =3+2 ,当且仅当 n= m时,取得最小值1+2 1+2 +2 2 2 23+2 .25.(2018北京四中期末)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米 200元,侧面造价是每平方米 100元,则该容器的最低总造价是 元 . 答案 1 600解析 设长方体的底面的长为 x m,则宽为 m,总造价为 y元,则 y=4200+2100 x+4 4800 +400 =1 600,当且仅当 x= ,即 x=2时,等号成立,故答案为 1 60
6、0元 .4 46.(2018天津重点中学联考)已知正实数 a,b满足 2ab,且 ab= ,则 的最小值12 42+2+12-为 . 答案 2 3解析 由题意得 2a-b0, =(2a-b)42+2+12- =42+2-4+32- =(2-)2+32-+ 2 ,当且仅当 2a-b= 时等号成立 .32- 3 32-命题角度 3简单的线性规划问题 高考真题体验对方向1.(2017全国 5)设 x,y满足约束条件 则 z=2x+y的最小值是( )2+3-30,2-3+30,+30, A.-15 B.-9 C.1 D.9答案 A解析 画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数 z=2x+y的
7、几何意义可得 z在点 B(-6,-3)处取得最小值,即 zmin=-12-3=-15,故选 A.62.(2018全国 13)若 x,y满足约束条件 则 z=3x+2y的最大值为 .-2-20,-+10,0, 答案 6解析 作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界) .由 z=3x+2y,得 y=- x+ z,32 12作直线 y=- x并向上平移,32显然 l过点 B(2,0)时, z取最大值, zmax=32+0=6.3.(2018全国 14)若 x,y满足约束条件 则 z=x+y的最大值为 .+2-50,-2+30,-50. 答案 9解析 由题意,作出可行域如图 .要使 z=x+y取得最大值
8、,当且仅当过点(5,4)时, zmax=9.4.(2017全国 14)设 x,y满足约束条件 则 z=3x-2y的最小值为 .+21,2+-1,-y0, 答案 -5解析 不等式组 表示的平面区域如图所示 .+21,2+-1,-0 7由 z=3x-2y,得 y= x- .求 z的最小值,即求直线 y= x- 的纵截距的最大值 .32 2 32 2数形结合知当直线 y= x- 过图中点 A时,纵截距最大 .由 解得 A点坐标32 2 2+=-1,+2=1, 为( -1,1),此时 z取得最小值为 3(-1)-21=-5.5.(2017全国 13)若 x,y满足约束条件 则 z=3x-4y的最小值为
9、 .-0,+-20,0, 答案 -1解析 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点 A(1,1)处取得最小值 z=31-41=-1.6.(2016全国 13)若 x,y满足约束条件 则 z=x+y的最大值为 .-+10,-20,+2-20,答案 32解析 作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示 .因为 z=x+y,所以 y=-x+z.作直线 y=-x并平移,由图知,当直线经过点 A 时,直线在 y轴上的截距最大 ,即 z取得最大值 .故 zmax=1+(1,12).12=32新题演练提能刷高分1.(2018福建厦门第一次质检)设 x,y满足约束条件 则 z=2
10、x+y的最小值是( )+1,-1,0, 8A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C解析 约束条件 对应的可行域如图所示 .+1,-1,0 平移直线 y=-2x,由图易得,当经过点(0,1)时,目标函数 x=2x+y最小,最小值为 1.2.(2018山东济南一模)已知变量 x,y满足约束条件 若 z=2x-y,则 z的取值-40,-22,1, 范围是( )A.-5,6) B.-5,6C.(2,9) D.-5,9答案 A解析 画出不等式组表示的可行域,如图所示 .由 得 A(2,-2);由=2,-4=0,得 B(-2,1),平移直线 y=2x-z,数形结合知,当 y=2x-z经过( -2,1)时,
11、 z取最小值=-2,=1, 为 -5,当 y=2x-z经过(2, -2)时, z取最大值为 6, 直线 x=2为虚线, - 5 z6,即 z范围是-5,6),故选 A.3.(2018河南安阳二模)若实数 x,y满足 则 z=|x-y|的最大值是( )2-+10,+0,0, A.0 B.1 C. D.23 13答案 B解析 作可行域如图,9则 |x-y|=y-x,所以直线 z=y-x过点 A(0,1)时, z取最大值 1,故选 B.4.(2018湖南衡阳一模)已知向量 a=(1,2),b=(x,y),且实数 x,y满足 则0,+-30,z=ab的最大值为 . 答案 92解析 a=(1,2),b=
12、(x,y),z= ab=x+2y.所以 y=- x+ z,作出不等式组 所表示的平面区域 .由 得12 12 0,+-30 =,+-3=0x=y= ,结合图形可知 ,当直线经过点 A 时纵截距最大 ,32 32,32此时( x+2y)max= +2 .32 32=925.(2018江西新余二模)若实数 x,y满足不等式组 则 z=2y-|x|的最小值是 .0,2-+30,+-10,答案 -32解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 . 当 x0 时, z=2y-|x|=2y-x,可得 y= ,平移直线 y= ,结合图形可得当直线经2+2 2+2过可行域内的点 B(1,0)时,直线在 y
13、轴上的截距最小,此时 z取得最小值,且 zmin=-1.10 当 x0时, z=2y-|x|=2y+x,可得 y=- ,平移直线 y=- ,结合图形可得当直线2+2 2+2经过可行域内的点 A - ,0 时,直线在 y轴上的截距最小,此时 z取得最小值,且 zmin=- .32 32综上可得 zmin=- .32命题角度 4非线性规划问题 高考真题体验对方向1.(2016山东4)若变量 x,y满足 则 x2+y2的最大值是( )+2,2-39,0, A.4 B.9 C.10 D.12答案 C解析 如图,不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点( x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值 |OC|2=10,故选C.2.(2015全国 15)若 x,y满足约束条件 的最大值为 . -10,-0,+-40,则 答案 3解析 画出约束条件对应的平面区域(如图),点 A为(1,3),要使 最大,则 最大,即过点( x,y), y-0-0(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点 A时, =3.()=3-01-0新题演练提能刷高分
