1、11.8 排列、组合、二项式定理命题角度 1 计数原理、排列与组合问题 高考真题体验对方向1.(2017 全国 6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种答案 D解析 先把 4 项工作分成 3 份有 种情况,再把 3 名志愿者排列有 种情况,故不同24121122 33的安排方式共有 =36 种,故选 D.24121122 332.(2016 全国 5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可
2、以选择的最短路径条数为( )A.24 B.18 C.12 D.9答案 B解析 由题意知,小明从街道的 E 处出发到 F 处的最短路径有 6 条,再从 F 处到 G 处的最短路径有 3 条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 63=18,故选 B.3.(2016 全国 12)定义“规范 01 数列” an如下: an共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为1,且对任意 k2 m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( )A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个答案 C解析 由题意知 a1=0,a8=1,则满足题意
3、的 a1,a2,a8的可能取值如下:2综上可知,不同的“规范 01 数列”共有 14 个 .4.(2018 全国 15)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有 种 .(用数字填写答案) 答案 16解析 方法一: 当 3 人中恰有 1 位女生时,有 =12 种选法 .1224 当 3 人中有 2 位女生时,有 =4 种选法 .2214故不同的选法共有 12+4=16 种 .方法二:6 人中选 3 人共有 种选法,当 3 人全是男生时有 种选法,所以至少有 1 位女36 34生入选时有 =16 种选法 .36345.(2017 天津14)用数
4、字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个 .(用数字作答) 答案 1 080解析 没有一个数字是偶数的四位数有 =120 个;45 有且只有一个数字是偶数的四位数有 =960 个 .143544所以至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1 080 个 .6.(2017 浙江16)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法 .(用数字作答) 答案 660解析 由题意可得,总的选择方法为 种方法,其中不满足题
5、意的选法有 种方法,则481413 461413满足题意的选法有: =660 种 .481413461413新题演练提能刷高分1.(2018 陕西咸阳二模)有 5 名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有( )3A.8 种 B.16 种 C.32 种 D.48 种答案 B解析 首先将甲排在中间,乙、丙两位同学不能相邻,则两人必须站在甲的两侧,选出一人排在左侧,有 种方法,另外一人排在右侧,有 种方法,余下两人排在余下的两个空,有1212 12种方法 ,综上可得 ,不同的站法有 =16 种 .22 121212222.(2018 宁夏银川一模)
6、上海某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )A. 种 B. 54种2645 26C. 种 D. 54种2645 26答案 D解析 因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有 种情况,其余年26级均有 5 种选择,所以共有 54种情况,根据乘法原理可得 54种情况,故选 D.263.(2018 广东珠海 3 月质检)将 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480 种 B.360 种C.240 种 D.120 种答案 C解析 第一步
7、:先从 4 个盒子中选一个盒子准备装两个球,有 4 种选法;第二步:从 5 个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有 种选法;第三步:把剩下的 3 个球全排列,有 种排法,25 33由乘法分步原理得不同方法共有 4 =240 种,故选 C.25334.(2018 福建福州 3 月质检)福州西湖公园花展期间,安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90 种 B.180 种C.270 种 D.360 种答案 B解析 第一步,为甲地选一名志愿者,有 =6 种选法;第二步,为乙地选一名志愿者,有 =516 15种选法;
8、第三步,为剩下两个展区各安排两个人,有 =6 种选法 .故不同的安排方案共有2422656=180 种 .故选 B.5.(2018 安徽省江淮十校 4 月联考)用 6 种不同的颜色对正四棱锥的 8 条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有( )A.14 400 种 B.28 800 种C.38 880 种 D.43 200 种答案 C解析 从 P 点出发的 4 条侧棱一定要用 4 种不同的颜色,有 =360 种不同的方案,464接下来底面的染色根据是否使用剩下的 2 种颜色分类计数:(1)不使用新的颜色,有 2 种颜色分类方案;(2)使用 1 种新的颜色,分为 2 类:第一
9、类,染一条边,有 244=32 种方案;第二类,染两条对边,有 224=16 种方案 .(3)使用 2 种新的颜色,分为 4 类:第一类,染两条邻边,有 423=24 种方案;第二类,染两条对边,有 224=16 种方案;第三类,染三条边,有 422=16 种方案;第四类,染四条边,有 2 种方案 .因此不同的染色方案总数为 3602+(32+16)+(24+16+16+2)=38 880,故选 C.6.(2018 重庆二诊)根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研,每个地区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区,则不同的派
10、遣方案种数为 (用数字作答) . 答案 36解析 由题意可知,可分为两类:第一类:甲乙在一个地区时,剩余的三类分为两组,再三组派遣到三个地区,共有=18 种不同的派遣方式;第二类:甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区,另外两人2333分别在两个地区,共有 =18 种不同的派遣方式;由分类计数原理可得,不同的派遣方式共1333有 18+18=36 种 .命题角度 2 求展开式中的指定项或其系数 高考真题体验对方向1.(2018 全国 5) 的展开式中 x4的系数为( )(2+2)5A.10 B.20 C.40 D.80答案 C解析 由展开式知 Tr+1= (x2)5-r(2x-1)r= 2rx
11、10-3r.当 r=2 时, x4的系数为 22=40.5 5 252.(2017 全国 6) 1+ (1+x)6展开式中 x2的系数为( )12A.15 B.20 C.30 D.35答案 C解析 方法一: (1+x)6=1(1+x)6+ (1+x)6,(1+x)6的展开式中的 x2的系数为(1+12) 12=15, (1+x)6的展开式中的 x2的系数为 =15,所以 x2的系数为 15+15=30.26=652 12 465方法二:(1 +x)6的二项展开式通项为 Tr+1= xr, (1+x)6的展开式中含 x2的项的6 (1+12)来源有两部分,一部分是 1 x2=15x2,另一部分是
12、 x4=15x2,故 (1+x)6的展开26 1246 (1+12)式中含 x2的项为 15x2+15x2=30x2,其系数是 30.3.(2017 全国 4)(x+y)(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为( )A.-80 B.-40 C.40 D.80答案 C解析 (2x-y)5的展开式的通项公式 Tr+1= (2x)5-r(-y)r.5当 r=3 时, x(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为 22(-1)3=-40;35当 r=2 时, y(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为 23(-1)2=80.25故展开式中 x3y3的系数为 80-40=40.4.(2015 全国
13、10)(x2+x+y)5的展开式中, x5y2的系数为( )A.10 B.20 C.30 D.60答案 C解析 由于( x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为 Tr+1= (x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),5因此只有当 r=2,即 T3= (x2+x)3y2中才能含有 x5y2项 .设( x2+x)3的展开式的通项为25Si+1= (x2)3-ixi= x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则( x2+x)3的展开式中 x5项的系数3 3是 =3,故( x2+x+y)5的展开式中, x5y2的系数是 3=103=30.13 255.(2017
14、山东11)已知(1 +3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54,则 n= . 答案 4解析 二项展开式的通项 Tr+1= (3x)r=3r xr,令 r=2,得 32 =54,解得 n=4. 26.(2016 全国 14)(2x+ )5的展开式中, x3的系数是 .(用数字填写答案) 答案 10解析 二项式的通项公式 Tr+1= (2x)5-r 25-r ,5 2=5 5-2令 5- =3,解得 r=4,2故 x3的系数为 25-4=10.45新题演练提能刷高分1.(2018 东北三省三校一模)( x2+2) -1 5展开式中的常数项是( )16A.12 B.-12 C.8 D.-8答案
15、B解析 由 -1 5展开式的第 r+1 项 Tr+1= 5-r(-1)r=(-1)r xr-5,得( x2+2) -1 5展开1 51 5 1式的通项为 x2(-1)r xr-5=(-1)r xr-3或 2(-1)r xr-5,则当 r-3=0 或 r-5=0,即 r=3 或5 5 5r=5 时,为展开式的常数项,即( -1)3 +2(-1)5 =-12.故选 B.35 552.(2018 河北唐山二模) x2+ 6展开式的常数项为 .(用数字作答) 1答案 15解析 由题得 x2+ 6展开式的通项为 Tr+1= (x2)6-r r= x12-3r(r=0,1,2,3,4,5,6),令1 6
16、1 612-3r=0,得 r=4.所以 x2+ 6展开式的常数项为 =15.1 463.(2018 江西省质量监测)在 2x+ 6的展开式中 x-3的系数为 . 12答案 160解析 展开式的通项为 Tr+1= (2x)6-r 26-rx6-3r,令 6-3r=-3r=3,所以系数为6 12=623=160.364.(2018 陕西咸阳二模)( x+y)(x-y)8的展开式中 x2y7的系数为 (用数字作答) . 答案 20解析 (x-y)8展开式的通项公式为 Tr+1= x8-r(-y)r=(-1)r x8-ryr,令 r=7,则展开项为( -1)78 8x8-7y7=-8xy7,令 r=6
17、,则展开项为( -1)6 x8-6y6=28x2y6,据此可得展开式中 x2y7的系数为 -78 688+28=20.5.(2018 河北保定一模)(1 +ax)(1+x)5的展开式中 x2的系数是 5,则 a= . 答案 -1解析 (1+ax)(1+x)5的展开式中 x2的系数是 1 +a =10+5a,所以 10+5a=5,故 a=-1.25 15命题角度 3 二项式系数与项的系数问题 高考真题体验对方向1.(2015 湖北3)已知(1 +x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212 B.211 C.210 D.29答案 D7解析 由条件
18、知 ,n= 10.3=7 (1+x)10中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29.2.(2015 全国 15)(a+x)(1+x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= .答案 3解析一 (1+x)4=x4+ x3+ x2+ x+ x0=x4+4x3+6x2+4x+1,34 24 14 04 (a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为 4a+4a+1+6+1=32,a= 3.解析二 设( a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令 x=1,得 16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5, 令 x=-1
19、,得 0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由 - ,得 16(a+1)=2(b1+b3+b5).即 8(a+1)=32,解得 a=3.新题演练提能刷高分1.(2018 山东烟台一模)已知 x3+ n的展开式的各项系数和为 243,则展开式中 x7的系数2为( )A.5 B.40 C.20 D.10答案 B解析 由题意,二项式 x3+ n的展开式中各项的系数和为 243,令 x=1,则 3n=243,解得 n=5,所2以二项式 x3+ 5的展开式为 Tr+1= (x3)5-r r=2r x15-4r,令 r=2,则 T3=22 x15-42=40x7,即2 5 2 5 25x7的系数为 40
20、,故选 B.2.(2018 江西重点中学盟校第一次联考)若多项式(2 x+3y)n展开式仅在第 5 项的二项式系数最大,则多项式 x2+ -4 n-4展开式中 x2的系数为( )12A.-304 B.304 C.-208 D.208答案 A解析 多项式(2 x+3y)n展开式仅在第 5 项的二项式系数最大,故 n=8,多项式 x2+ -4 4展12开式中 x2的系数为 (-4)3+ (-4)=-256-48=-304.选 A.14 24123.(2018 安徽宣城二调)记(2 -x)7=a0+a1(1+x)2+a7(1+x)7,则 a0+a1+a2+a6的值为( )A.1 B.2 C.129
21、D.2 188答案 C解析 (2-x)7=a0+a1(1+x)2+a7(1+x)7中,令 x=0,得 27=a0+a1+a7=128. (2-x)7展开式中含 x7项的系数为 20(-1)7=-1,a 7=-1,a 0+a1+a6=128-a7=129.7784.(2018 河北衡水中学模拟)在二项式 ax+ 8的展开式中 ,所有项的系数之和记为 S,第 r项的系数记为 Pr,若 =38,则 的值为( )9 A.2 B.-4 C.2 或 -2 D.2 或 -4答案 D解析 在 ax+ 8中,令 x=1,所以 S=(a+b)8,又其通项公式为 Tr+1= (ax)8-r r,即 8Tr+1= a
22、8-rbr ,所以 P9= a8-8b8=b8,因此依题有 = 1+ 8=38, 1+ =3,8 8-32 88 (+)88 =2 或 -4.故选 D.5.(2018 河北唐山一模)(2 x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是 .(用数字作答) 答案 -160解析 (2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数为 (2)3(-1)3=-160.366.(2018 山东济南一模) x- 2x- 5的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中含 x4 1项的系数为 . 答案 -48解析 令 x=1,可得 x- 2x- 5的展开式中各项系数的和为 1-a=2,得 a=-1, x+ 2x- 1 15展开式 x4的系数 ,即是 2x- 5展开式中的 x3与 x5系数的和 , 2x- 5展开式通项为1 1 1Tr+1= (-1)r25-rx5-2r,令 5-2r=3,得 r=1,令 5-2r=5,得 r=0,将 r=1 与 r=0,分别代入通项,5可得 x3与 x5的系数分别为 -80 与 32, 原展开式 x4的系数为 -80+32=-48.
