1、1第二章 推理与证明章末检测卷一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1证明： 1)，当 n2 时，中间式子等于( )n 22 12 13 14 12nA1 B112C1 D1 12 13 12 13 14解析： n2 时中间式子的最后一项为 ，所以中间子式为 1 .14 12 13 14答案：D2用反证法证明命题：“若 a， bN， ab能被 3整除，那么 a， b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A a， b都能被 3整除B a， b都不能被 3整除C a， b不都能被 3整除D a不能被 3整除解析：反证法证明命
2、题时，应假设命题的反面成立 “a， b中至少有一个能被 3整除”的反面是：“ a， b都不能被 3整除” ，故应假设 a， b都不能被 3整除答案：B3下列推理正确的是( )A把 a(b c)与 loga(x y)类比，则有：log a(x y)log axlog ayB把 a(b c)与 sin(x y)类比，则有：sin( x y)sin xsin yC把( ab)n与( x y)n类比，则有：( x y)n xn ynD把( a b) c与( xy)z类比，则有：( xy)z x(yz)解析：A 中类比的结果应为 loga(xy)log axlog ay，B 中如 x y 时不成立，C
3、中2如 x y1 时不成立，D 中对于任意实数分配律成立答案：D4若 a0， b0，则有( )A. 2b a B. 0，所以 ex1,00，即1ex 1ex 1ex 1exf( x)0.所以 f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是( )A综合法 B分析法C反证法 D以上都不是2解析：这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选 A.答案：A6下面是一段“三段论”推理过程：若函数 f(x)在( a， b)内可导且单调递增，则在(a， b)内， f( x)0恒成立因为 f(x) x3在(1,1)内可导且单调递增，所以在(1,1)内， f( x)3 x20恒成立以上推理中( )
4、A大前提错误 B小前提错误C结论正确 D推理形式错误解析： f(x)在( a， b)内可导且单调递增，则在( a， b)内， f( x)0 恒成立，故大前提错误故选 A.答案：A7用数学归纳法证明“5 n2 n能被 3整除”的第二步中，当 n k1 时，为了使用假设，应将 5k1 2 k1 变形为( )A(5 k2 k)45 k2 kB5(5 k2 k)32 kC(52)(5 k2 k)D2(5 k2 k)35 k解析：5 k1 2 k1 5 k52 k25 k52 k52 k52 k25(5 k2 k)32 k.答案：B8将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ab b
5、a；( ab)c a(bc)； a(b c) ab ac；由 ab ac(a0)可得 b c，则正确的结论有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，错误；由 ab ac(a0)得 a(b c)0，从而 b c0 或 a( b c)，故错误答案：B9观察下列各式： a b1， a2 b23， a3 b34， a4 b47， a5 b511，则a10 b10( )A28 B76C123 D199解析：记 an bn f(n)，则 f(3) f(1) f(2)134； f(4) f(2) f(3)347； f(5) f(3) f
6、(4)11.通过观察不难发现 f(n) f(n1) f(n2)(nN *， n3)，则 f(6) f(4) f(5)18； f(7) f(5) f(6)29； f(8) f(6) f(7)47； f(9) f(7) f(8)76； f(10) f(8) f(9)123.所以 a10 b10123.答案：C10数列 an满足 a1 ， an1 1 ，则 a2 017等于( )12 1anA. B112C. 2 D3解析： a1 ， an1 1 ，12 1an a21 1，1a1a31 2，1a23a41 ，1a3 12a51 1，1a4a61 2，1a5 an3 k an(nN *， kN *)
7、 a2 017 a13672 a1 .12答案：A11已知 a b c0，则 ab bc ca的值( )A大于 0 B小于 0C不小于 0 D不大于 0解析：因为( a b c)2 a2 b2 c22( ab bc ac)0，又因为 a2 b2 c20.所以 2(ab bc ac)0.故选 D.答案：D12如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ，它们是由整数的倒数组成的，第 n行有 n个数且两端的数均为 (n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 1n 11 12， ， ，则第 7行第 4个数(从左往右数)为( )12 12 13 16 13 14 11211A. B.1140 1
8、105C. D.160 142解析：由“第 n行有 n个数且两端的数均为 ”可知，第 7行第 1个数为 ，由“每个1n 17数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第 7行第 2个数为 .同理易知，第 7行第16 17 1423个数为 ，第 7行第 4个数为 .故选 A.130 142 1105 160 1105 1140答案：A二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分请把正确答案填在题中横线上)13已知 x， yR，且 x y2，则 x， y中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“ x， y均不大于 1”，亦即“ x1且 y1
9、” 答案： x， y均不大于 1(或者 x1 且 y1)14观察下列不等式1 0， b0，用分析法证明： .a b2 2aba b证明：因为 a0， b0，要证 ，a b2 2aba b只要证，( a b)24 ab，只要证( a b)24 ab0，即证 a22 ab b20，而 a22 ab b2( a b)20 恒成立，故 成立a b2 2aba b519(12 分)已知 a1 a2 a3 a4100，求证 a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.解析：假设 a1， a2， a3， a4均不大于 25，即 a125， a225， a325， a425，则 a1 a2 a3 a
10、425252525100，这与已知 a1 a2 a3 a4100矛盾，故假设错误所以 a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.20(12 分) ABC中， A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C与 a， b， c都成等差数列，求证 ABC为正三角形证明：因为 A， B， C成等差数列，所以 2B A C，又 A B C，由得 B .3又 a， b， c成等差数列，所以 b ，a c2由余弦定理得 b2 a2 c22 accosB，将代入得2 a2 c22 ac .(a c2 ) 12化简得 a22 ac c20，即( a c)20，所以 a c，由得 a
11、b c，所以 ABC为正三角形21(12 分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数(1)sin213cos 217sin13cos17.(2)sin215cos 215sin15cos15.(3)sin218cos 212sin18cos12.(4)sin2(18)cos 248sin(18)cos48.(5)sin2(25)cos 255sin(25)cos55.试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：选择(2)式计算如下 sin215cos 215sin15cos151 sin30 .12 34
12、三角恒等式为sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin 2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos30cos sin30sin )2sin (cos30cos sin30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin234 32 14 32 12 sin2 cos2 .34 34 3422(12 分)已知数列 an的前 n项和为 Sn，满足 an ，且 a1 .Snn 2n 1 13(1)求 a2， a3；(2)猜想数列 an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解析：(1) a2 ，又 a1 ，S22
13、 22 1 a1 a26 136则 a2 ，类似地，求得 a3 .115 135(2)由 a1 ， a2 ， a3 ，猜想 an .113 135 157 1 2n 1 2n 1用数学归纳法证明如下：当 n1 时，由(1)可知猜想成立；假设当 n k(kN *且 k2)时猜想成立，即 ak .Skk 2k 1 1 2k 1 2k 1则当 n k1 时， ak1 ，Sk 1 k 1 2k 1 Sk k(2k1) ak k(2k1) ，1 2k 1 2k 1 k2k 1Sk1 ( k1)(2 k1) ak1 ， ak1 Sk1 Sk( k1)(2 k1) ak1 ，k2k 1 k(2k3) ak1 ，k2k 1 ak1 1 2k 1 2k 3 .12 k 1 12 k 1 1由 n k1 时猜想也成立由可知，猜想对任何 nN *都成立 an的通项公式为 an .1 2n 1 2n 1
