1、1课时作业 9 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程|基础巩固|(25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5分，共 25分)1在求直线 x0， x2， y0 与曲线 y x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2等分成 n个小区间，则第 i个小区间是( )A. B.i 1n， in in， i 1n C. D.2 i 1n ， 2in 2in， 2 i 1n 解析：将区间0,2等分为 n个小区间后，每个小区间的长度为 ，第 i个小区间为2n.2 i 1n ， 2in答案：C2对于由直线 x1， y0 和曲线 y x3所围成的曲边三角形，把区间 3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点
2、)是( )A. B.19 125C. D.127 130解析：将区间0,1三等分为 ， ， ，各小矩形的面积和为0，1313， 2323， 1s10 3 3 3 .13 (13) 13 (23) 13 19答案：A3求由直线 x0， x2， y0 与曲线 y x21 所围成的曲边梯形的面积时，将区间0,25等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )A3.92,5.52 B4,5C2.51,3.92 D5.25,3.59解析：将区间0,25 等分为 ， ， ， ， ，以小区间左端点对应0，2525， 4545， 6565， 8585， 2的函数值为高，得 S1Error!Error!
3、3.92，25以小区间右端点对应的函数值为高，得 S2Error!Error! 5.52.故选 A.25答案：A4在求由曲线 y 与直线 x1， x3， y0 所围成图形的面积时，若将区间 n等分，1x并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第 i个小曲边梯形的面积 Si约等于( )A. B.2n 2i 2n 2i 2C. D.2n n 2i 1n 2i2解析：每个小区间长度为 ，第 i个小区间为 ，因此第 i个小2n n 2 i 1n ， n 2in 曲边梯形的面积 Si .1n 2in 2n 2n 2i答案：A5若做变速直线运动的物体 v(t) t2，在 0 t a内经过的路程为 9，则
4、 a的值为( )A1 B2C3 D4解析：将区间0， an等分，记第 i个区间为 (i1,2， n)，此区a i 1n ， ain间长为 ，用小矩形面积 2 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则an (ain) an2 (122 2 n2) (1 )(1 )近似地等于速度曲线 v(t) t2与直ni 1(ain) an a3n3 a33 1n 12n线 t0， t a， t轴围成的曲边梯形的面积依题意得 li 9，mn a33 1 1n 1 12n 9，解得 a3.a33答案：C二、填空题(每小题 5分，共 15分)6在区间0,8上插入 9个等分点后，则所分的小区间长度为_，第 5个小区间是_解
5、析：在区间0,8上插入 9个等分点后，把区间0,810 等分，每个小区间的长度为 ，第 5个小区间为 .810 45 165， 4答案： 45 165， 47当 n很大时，可以代替函数 f(x) x2在区间 ， 上的值有_i 1n in f( )； f( )； f( )； f( )1n in i 1n in 12n解析：因为当 n很大时，区间 ， 上的任意的取值的函数值都可以代替，又因为i 1n in ， ， ， ， ， ， ， ，故能代替的有1n i 1n in i 1n i 1n in in i 1n in in 12n i 1n in.答案：8直线 x1， x2， y0 与曲线 y (x
6、0)围成曲边梯形，将区间1,2进行 100等1x分后第一个小区间上曲边梯形的面积是_解析：将曲边梯形近似地看成矩形，其边长分别为 f(1)1， ，故面积11001 0.01.1100答案：0.01三、解答题(每小题 10分，共 20分)9利用定积分的定义求由 y3 x， x0， x1， y0 围成的图形的面积3解析：(1)分割：把区间0,1等分成 n个小区间 ， (i1,2， n)，其长度i 1n in为 x .分别过上述 n1 个分点作 x轴的垂线，把曲边梯形分成 n个小曲边梯形，其面1n积记为 si(i1,2， n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，得 si f( ) x
7、3 (i1)( i1,2， n)i 1n i 1n 1n 3n2(3)作和：si (i1) 12( n1)ni 1ni 13n2 3n2 .32 n 1n(4)求极限： Sli (i1)li .mn ni 13n2 m n 32 n 1n 3210汽车以速度 v做匀速直线运动时，经过时间 t所行驶的路程 s vt.如果汽车做变速直线运动在时刻 t的速度为 v(t) t22(单位：km/h)，那么它在 0 t1(单位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？解析：分割：将时间区间0,1分为 n等份，形成 n个小区间 ti1 ， ti (i1,2， n)，且每个小区间长度为 ti (i1
8、,2， n)汽车在每i 1n， in 1n个时间段上行驶的路程分别记作： s1， s2， sn.则显然有 s si.ni 1近似代替：当 n很大，即 t很小时，在区间 上，函数 v(t) t22 的i 1n， in值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点 处的函数值i 1nv 22.从物理意义看，就是汽车在时间段 (i1,2， n)上的(i 1n ) (i 1n ) i 1n， in速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度 v 22 做匀速行驶，i 1n (i 1n ) (i 1n )即在局部小范围内“以匀速代变速” 于是 si s i v t (i 1n ) (i 1
9、n )2 2 1n 2 (i1,2， n)(*)(i 1n ) 1n 2n求和：由(*)得 sn s i tni 1ni 1v(i 1n )ni 1 (i 1n )21n 2n0 2 2 21n (1n) 1n (n 1n ) 1n 122 2( n1) 221n34 21n3 n 1 n 2n 16 2.13(1 1n)(1 12n)取极限：当 n趋向于无穷大，即 t趋向于 0时，sn 2 趋向于 s，从而有13(1 1n)(1 12n)sli snli vmn m n ni 11n(i 1n )li .mn 13(1 1n)(1 12n) 2 53|能力提升|(20 分钟，40 分)11在
10、等分区间的情况下， f(x) (x0,2)及 x轴所围成的曲边梯形的面积和11 x2式的极限形式正确的是( )Ali mn ni 1 11 (in)22nBli mn ni 1 11 (2in)22nCli mn ni 1 11 i21nDli mn ni 1 11 (in)2n解析：将区间 n等分后，每个小区间的长度为 x ，第 i个小区间为2n(i1,2,3， n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积2 i 1n ， 2in和式的极限形式为 li .mn ni 1 11 (2in)22n答案：B12求由抛物线 f(x) x2，直线 x1 以及 x轴所围成的平面图形的面积时，若将区
11、间0,15 等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为_解析：由题意得5S(0.1 20.3 20.5 20.7 20.9 2)0.20.33.答案：0.3313求直线 x0， x2， y0 与曲线 y 所围成的曲边梯形的面积x23解析：令 f(x) .x23(1)分割将区间0,2 n等分，分点依次为x00， x1 ， x2 ， xn1 ， xn2.2n 4n 2 n 1n第 i个区间为 (i1,2， n)，每个区间长度为 x .2i 2n ， 2in 2in 2i 2n 2n(2)近似代替、求和取 i (i1,2， n)，2inSn x 2 2ni 1f(2in)ni
12、1(2in) 13 2n 83n2ni 1i (122 2 n2) 83n3 83n3 n n 1 2n 16 .89(1 32n 12n2)(3)取极限 Sli Snli ，即所求曲边梯形的面积为 .mn m n 89(1 32n 12n2) 89 8914一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻 t的速度 v(t) (t的单位：h， v的6t2单位：km/h)，求汽车在 t1 到 t2 这段时间内运动的路程 S(单位：km)解析：分割把区间1,2等分成 n个小区间 n i 1n ， n in (i1,2， n)，每个区间的长度 t ，每个时间段行驶的路程记为1n Si(i1,2， n)故路程和 Sn Si.ni 1近似代替 Si v t6 2(n i 1n ) ( nn i 1) 1n 6(1 i 1n )2 1n 6n n i 1 2 (i1,2,3， n)6n n i 1 n i求和Snni 1 6n n i 1 n i6 n(1n 1n 1 1n 1 1n 2 12n 1 12n)66 n .(1n 12n)取极限Sli Snli 6n 3.mn m n (1n 12n)
