1、第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的
2、相互转化，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段
3、，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一 函数与方程思想的应用微题型 1 不等式问题中的函数(方程) 法【例 11】 (1)f(x)ax 33x1 对于 x1，1，总有 f(x)0 成立，则a_.(2)设 f(x)，g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数
4、，当 x0 时，f (x)g(x)f (x)g(x)0，且 g(3) 0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是_.解析 (1)若 x0，则不论 a 取何值，f(x)0 显然成立；当 x0 即 x(0，1 时，f(x)ax 33x10 可化为a .3x2 1x3设 g(x) ，则 g(x) ，3x2 1x3 3（1 2x）x4所以 g(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，(0，12 (12，1因此 g(x)maxg 4，从而 a4.(12)当 x0 即 x1，0) 时，f(x)ax 33x10 可化为 a ，设 g(x)3x2 1x3 ，3x2 1x3且 g(x)在区间1，0) 上单调
5、递增，因此 g(x)ming(1)4，从而 a4，综上 a4.(2)设 F(x)f(x )g(x)，由于 f(x)，g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，得 F(x ) f(x)g(x )f(x)g( x) F(x)，即 F(x)在 R上为奇函数.又当 x0 时， F(x)f(x )g(x)f(x )g(x)0，所以 x0 时， F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x0 时，F (x)也是增函数.因为 F(3)f(3)g( 3)0F(3).所以，由图可知 F(x)0 的解集是(，3)(0，3).答案 (1)4 (2)(， 3)(0，3)探究提高 (1)在解决不等式
6、问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数 f(x)0 或 f(x)0 恒成立，一般可转化为 f(x)min0 或 f(x)max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.微题型 2 数列问题的函数(方程) 法【例 12】 已知数列 an满足 a13，a n1 a np3 n(nN *，p 为常数)，a1，a 26，a 3 成等差数列.(1)求 p 的值及数列 an的通项公式；(2)设数列b n满足 bn ，证明：b n .n2an 49(1)解 由 a1 3，a n1 a np3 n，得 a233p，a 3a 29p312p.因
7、为 a1，a 26，a 3 成等差数列，所以 a1a 32(a 26) ，即 3312p2(33p6)，得 p2，依题意知，a n1 a n23 n.当 n2 时，a 2a 123 1，a3a 223 2，ana n1 23 n1 .将以上式子相加得 ana 12(3 13 23 n1 )，所以 ana 12 3 n3，3（1 3n 1）1 3所以 an3 n(n2).又 a13 符合上式，故 an3 n.(2)证明 因为 an3 n，所以 bn .n23n所以 bn1 b n (nN *)，（n 1）23n 1 n23n 2n2 2n 13n 1若2n 22n10，则 n ，1 32即当 n
8、2 时，有 bn1 b n，又因为 b1 ，b 2 ，故 bn .13 49 49探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组求解.an 1 an，an an 1，)an 1 an，an an 1)(3)数列中前 n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an0(a n0) 成立时最大的 n 值即可求解.微题型 3 解析几何问题的方程(函数) 法【例 13】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k
9、 0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点.(1)若 6 ，求 k 的值；ED DF (2)求四边形 AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为 y 21，直线 AB，EF 的方x24程分别为 x 2y2，ykx(k 0).如图，设 D(x0，kx 0)，E(x 1，kx 1)，F(x 2，kx 2)，其中 x1x 2，且 x1，x 2 满足方程(14k 2)x24，故 x2x 1 .21 4k2由 6 知 x0x 16(x 2x 0)，ED DF 得 x0 (6x2 x1) x2 ；17 57 1071 4k2由 D 在 AB 上知 x02kx 02，得 x0 .
10、所以 ，21 2k 21 2k 1071 4k2化简得 24k2 25k60，解得 k 或 k .23 38(2)根据点到直线的距离公式和式知，点 E，F 到 AB 的距离分别为h1 ，|x1 2kx1 2|5 2（1 2k 1 4k2）5（1 4k2）h2 .|x2 2kx2 2|5 2（1 2k 1 4k2）5（1 4k2）又|AB| ，22 12 5所以四边形 AEBF 的面积为S |AB|(h1h 2)12 12 5 4（1 2k）5（1 4k2） 2（1 2k）1 4k22 2 ，1 4k2 4k1 4k2 2当 4k21(k 0)，即当 k 时，上式取等号.12所以 S 的最大值为
11、 2 .2即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 .2探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.热点二 数形结合思想的应用微题型 1 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例 21】 (1)若函数 f(x)|2 x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_.(2)设函数 f(x)(xR) 满足 f(x)f(x)，f( x)f(2x)，且当 x0，1 时，f(x)x 3.又函数 g(x)|x cos(x)|，则
12、函数 h(x)g( x)f(x) 在 上的零点个数为( ) 12，32A.5 B.6 C.7 D.8解析 (1)由 f(x)|2 x2|b 有两个零点，可得|2 x2| b 有两个不等的实根，从而可得函数 y|2 x2|的图象与函数 yb 的图象有两个交点，如图所示 .结合函数的图象，可得 0b2，故填(0，2).(2)根据题意，函数 yf(x)是周期为 2 的偶函数且 0x1 时，f(x)x 3，则当1x0 时， f(x)x 3，且 g(x)| xcos(x)|，所以当 x0 时，f(x)g(x).当x0 时，若 0x ，则 x3xcos(x)，即 x2cos x .12再根据函数性质画出
13、上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号 12，32两边函数的图象，如图所示，有 5 个根.所以总共有 6 个.答案 (1)(0，2) (2)B探究提高 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解 (或函数零点 )的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点) 的个数.微题型 2 利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例 22】 (1)若不等式 k (x2) 的解集为区间a，b，且9 x2 2ba2
14、，则 k_.(2)若不等式|x2a| xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_.12解析 (1)如图 ，分别作出直线 yk(x2) 与半圆 y2.由题意，知直线在半圆的上方，由 ba2，可知9 x2b3，a1，所以直线 yk (x2) 过点(1，2 )，则 k2 2.2(2)作出 y|x 2a|和 y xa1 的简图，依题意知应有122a22a，故 a .12答案 (1) (2)2 ( ，12探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的
15、解答.微题型 3 利用数形结合思想求最值【例 23】 (1)已知 P 是直线 l：3x 4y80 上的动点，PA、PB 是圆x2y 22x2y10 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心，则四边形 PACB面积的最小值为_.(2)(2015全国卷)已知 F 是双曲线 C：x 2 1 的右焦点，P 是 C 的左支上一y28点，A(0，6 )，当APF 周长最小时，该三角形的面积为_.6解析 (1)从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SRtPAC |PA|AC| |PA|越来越大，从而 S12 12四边形 PACB也越来越
16、大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时，S 四边形 PACB应有唯一的最小值，此时|PC| 3，|31 41 8|32 42从而|PA| 2 .|PC|2 |AC|2 2所以(S 四边形 PACB)min2 |PA|AC|2 .12 2(2)设双曲线的左焦点为 F1，连接 PF1，根据双曲线的定义可知|PF|2| PF1|，则APF 的周长为|PA|PF|AF |PA |2|PF 1|AF| PA|PF 1|AF |2，由于|AF|2 是定值，要使 APF 的周长最小，则 |PA|PF 1|最小
17、，即 P，A，F 1三点共线，如图所示 .由于 A(0，6 )，F 1(3， 0)，6直线 AF1的方程为： 1，x 3 y66即 x 3，y26代入双曲线方程整理可得y26 y960，解得 y2 或 y8 (舍去 )，6 6 6所以点 P 的纵坐标为 2 .6所以 SAPF SAFF 1SPFF 1 66 62 12 .12 6 12 6 6答案 (1)2 (2)122 6探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二
18、元二次方程组的解的问题进行讨论.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都
19、实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.一、选择题1.直线 xy m0 与圆 x2y 22x20 相切，则实数 m 等于( )3A. 或 B. 或 33 3 3 3C.3 或 D.3 或 33 3 3 3解析 圆的方程(x 1) 2y 23，圆心(1，0)到直线的距离等于半径 | m| 2 m 或 m3 .| 3 m|3 1 3 3 3 3 3答案 C2.已知函数 f(x)满足下面关系： f(x1)f(x1) ；当 x1，1 时，f(x)x 2，则方程 f(x)lg x 解的个数是( )A.5 B.7 C.9 D.10解析 由题意可知，f(x )是以 2 为周期，值域为0，1的函数.又 f(x)lg x，则 x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共 9 个交点.
