1、圆锥曲线的离心率的求值或取值范围(答案)【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.【方法点评】方法 1 定义法解题模板：第一步 根据题目条件求出 的值,ac第二步 代入公式 ，求出离心率 .ee例 1. 若椭圆经过原点，且焦点为 、 ，则其离心率为（ ）0,1F,32A. B. C. D. 433141【答案
2、】 C设椭圆 E： 的右顶点为 A、右焦点为 F，B 为椭圆 E 在第二象限上的点，直线 BO 交21(0)xyab椭圆 E 于点 C，若直线 BF 平分线段 AC，则椭圆 E 的离心率是 【答案】 3【解析】试题分析：如图 3，设 AC 中点为 M，连接 OM，则 OM 为 的中位线，于是 ，且ABC OFM AB ，即 |12OFA123ca【变式 1】已知 1和 分别是双曲线21xyab( 0,b)的两个焦点, 和 是以 为圆心,以1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 2FAB是等边 三角形,则该双曲线的离心率为 ( ).A. 32 B. 3 C. 3 D.2【答案】C考点：双曲线
3、的简单性质【变式 2】双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 、 ，过 的直线与双曲线的右12byax0ab1F2支交于 、 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ） ABABF eA. B. C. D. 21242523【答案】C考点：双曲线的定义.【变式 3】已知双曲线 1( a0， b0)的左，右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)，若双曲线上存在x2a2 y2b2点 P 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）asin PF1F2 csin PF2F1A(1， 1) B (1， ) C( ，) D( 1，)2 3 3 2【答案】A【变式 4】若双曲线 上存在一点
4、P 满足以 为边长的正方形的面积等于21xyab(0,)|O（其中 O 为坐标 原点） ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）2abA B C D5(1,7(,25,)7,)2【答案】C【变式 5】如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的1F2)0,(12bayx 1Fl左右两支分别交于点 、 .若 为等边三角形，则双曲线的离心率为ABFA.4 B. C. D.732【答案】B【变式 6】若椭圆经过点 ，且焦点为 ，则这个椭圆的离心率等于_2,3（021F【答案】 21【解析】试题分析： ，所以 ， ，离心率 .aPF282142c21ace考点：椭圆的定义和性质【变式 7】如
5、图,等腰梯形 中, , .一双曲线经过 , , 三点,且以 ,ABCD3AECDEA为焦点,则该双曲线离心率是 _.B【答案】 7【变式 8】过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 E，21(0)xybaa(,0)Fc22xya延长 FE 交抛物线 于点 P，O 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为 .4c1()OEP【答案】 152方法 2 方程法解题模板：第一步 设出相关未知量；第二步 根据题目条件列出关于 的方程；,abc第三步 化简，求解方程，得到离心率. 例 2. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是准线上一点，且21(0)xyab， 1F2P， ，则双曲线的离心率是（ ）1
6、2PF124PFA 33【变式 1】 已知双曲线21xyab的渐近线方程为 3yx，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D.11222【答案】A考点：求椭圆的离心率【变式 2】设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率20xyabb 1 ， 21y x等于（ ）（ A） （ B）2 （ C） （ D）356【答案】 C【变式 3】 已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与0ba1C12byax2C21xyabC的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ）2C232A. B. C. D.yxyx0yx0yx【变式 4】已知双曲线 与函数 的
7、图象交于点 . 若函数21(0,)xyab(0)yxP在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（ ）yxP(FA. B. C. D.5125231232【答案】A【变式 5】已知双曲线 2ax- by=1(a0,b0)的左、右焦点为 F1(-c,0)，F 2(c,0)，若直线 y=2x 与双曲线的一个交点的横坐标为 c，则双曲线的离心率为A. 2+1 B. 3+1 C. 3+ D. 2【答案】A考点：双曲线的离心率.【变式 6】已知 分别是双曲线 ： 的左右焦点，以 为直径的圆与双21,FC21(0,)xyab21F曲线 在第二象限的交点为 ，若双曲线的离心率为 5，则 等于( ).
8、CP21cosPA B C D3534456【变式 7】设双曲线 (a0，b0）的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线12yax于 A、 B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 ，),(ROBAP，则该双曲线的离心率为（ ）163ABCD2532389【答案】A【解析】试题分析：试题分析：设双曲线右焦点坐标为 ，由已知易得 ， ， ，由)0,(c),(abcA),(cB),(2abP【变式 8】过点 作斜率为 的直线与 椭圆 ： 相交于 A,B，若 M 是线段(1,)M12C21(0)xyabAB 的中点，则椭圆 C 的离心率为 .【变式
9、9 】如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点 ，xoy12,AB21(0)xyab为其右焦点，直线 与直线 相交于点 T，线段 与椭圆的交点 M恰为线段 的中点，则F12AB1FOOT该椭圆的离心率为 . 【答案】 275e【变式 10】已知双曲线 的两条渐近线分别为 .)0,(1:2bayxE xylxl2:,:1（1）求双曲线 的离心率；（2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一，Ol21,lBA,四象限） ，且 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公ABl共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在，说明理由.E来源:学*科*
10、网 Z*X*X*K若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 .以下证明:当直线 不与 x 轴垂直时，双曲线2146xylE： 也满足条件.2146xy方法 3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步 将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示，进而得到不等式，,abc第三步 解不等式，确定离心率的范围.例 3.已知椭圆的中心在 ,右焦点为 ，右准线为 ，若在 上存 在点 ，使线段 的垂直平分线经OFllMO过点 F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.
11、来源:学科网 ZXXK1,223,01,232,0【答案】【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化. xyMFOl【点评】离心率的范围实质 为一个不等式 关系，如何构建 这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式 1】已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一12,F)0,(12bayx点，若 的最小值为 8 ，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）2PaeA. B. C. D.,3,33,3,【答案】A考点：双曲线离心率。来源:学科网 ZXXK【变式 2】已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 P，使得由21:(0)xyCab22:Cxyb1C点 P 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）2 1A B C D1,)3,2,)23,)2
