1、第 1 讲 空间几何体中的计算高考定位 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算；2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.真 题 感 悟1.(2016全国 卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是 ( )283A.17 B.18 C.20 D.28解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的 后得到的组合体，其表面积是球面面积的 和三18 78个 圆面积之和，易得球的半径为 2，则得 S 4223 2217，故 选14 78 14A.答案 A2.(2
2、016全国 卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20 B.24 C.28 D.32解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为 4，圆锥的母线长 l4，所以圆锥 的侧面积为 S 锥侧 448，圆柱的侧面积 S 柱（23）2 2212侧 4416，所以组合体的表面积 S8 164 28，故选 C.答案 C3.(2016全国 卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.1836 B.54185 5C.90 D.81解析 由题意知，几何体为平行六面体， 边长分别为 3，3，3 ，几何体的表面积5
3、S36233233 25418 .5 5答案 B4.(2016北京卷 )某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积 S ，高 h1，（1 2）12 32所以四棱柱体积 VS h 1 .32 32答案 32考 点 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等.3.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)；S 锥侧 ch(c 为底面周长， h为斜高)；12S 台侧 (cc
4、 )h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高)；12S 球表 4R 2(R 为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V 柱体 Sh( S 为底面面积， h 为高)；V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；13V 球 R3.43热点一 以三视图为载体的几何体的表面积与体积的计算微题型 1 以三视图为载体求几何体的表面积【例 11】 (1)(2015安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1 B.12 C.2 D.23 2 3 2(2)(2016浙江卷)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm) ，则该几何体的表面积是_cm 2，体积是_cm 3.解析 (1)
5、由几何体的三 视图 可知空间几何体的直观图如图所示.其表面积 S 表 2 212 ( )22 ，故选 C.12 34 2 3(2)由三视图可知 该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为 2 cm，下面长方体是底面边长为 4 cm，高为2 cm，其直观图如右图：其表面积S62 224 242422 280(cm 2).体积V22244240(cm 3).答案 (1)C (2)80 40探究提高 (1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(2) 多面体的表面积是各个面的面积
6、之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.微题型 2 以三视图为载体求几何体的体积【例 12】 (1)(2016郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.（4 ）33 （4 ）32C. D.(4)（4 ）36 3(2)(2016衡水大联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B.8203C. D.223 163解析 (1)由该 几何体的三视图，可知该几何体是由底面半径为 1、高为 、母线3长为 2 的半圆锥，和底面为等腰三角形(底边长为 2、高为 2)、高为 的三棱锥拼3成的一个组合体.所以此组
7、合体的体积为 12 22 13 12 3 13 12 3.（4 ）36(2)由图知此几何体 为边长为 2 的正方体裁去一个三棱锥.所以此几何体的体积为 222 122 .故选 C.13 12 223答案 (1)C (2)C探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割 为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.微题型 3 与球有关的体积问题【例 13】 (1)已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，
8、则球 O 的表面积为( )A.36 B.64 C.144 D.256(2)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此三棱锥的体积为( )A. B. C. D.26 36 23 22解析 (1)如图 ，要使三棱锥 OABC 即 COAB 的体积最大，当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离，即三棱 锥 COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球 O 的半径 R，则 VOABC 最大为 SOAB R R2R R336，所以 R 6，得 S 球13 12 13 12 16O4R 246 2144， 选 C.(2
9、)法一 (排除法)V SABC 2 ，排除 B、C、D，选 A.13 36法二 (直接法) ：在 RtASC 中，AC1， SAC90，SC2，所以 SA 4 1.同理，SB .过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，因为SAC 3 3SBC，所以 BDSC，AD BD，故 SC平面 ABD，且ABD 为等腰三角形.因为ASC30，故 AD SA ，则ABD 的面积为 1 ，则12 32 12 AD2 (12)2 24三棱锥 SABC 的体积为 2 .13 24 26答案 (1)C (2)A探究提高 涉及球与棱柱、棱锥的切、接 问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般 为
10、接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【训练 1】 (1)(2016成都诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2 B.13 136C. D.73 52(2)(2016西安模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54 B.60 C.66 D.72解析 (1)该几何体由一个圆柱和一个半圆锥组成，其体积为V1 22 1212 .12 13 6 136(2)还原为如图 所示的直观图，S 表 S
11、 ABC S DEF S 矩形 ACFDS 梯形 ABEDS 梯形 CBEF 34 3553 (25)12 12 124 (25) 560.12答案 (1)B (2)B热点二 多面体的体积计算微题型 1 多面体体积的间接计算【例 21】 (1)如图所示， ABCD 是正方形，PA平面ABCD，E ，F 分别是 AC，PC 的中点，PA 2，AB1，则三棱锥 CPED 的体积为_.(2)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中， E，F 分别在 C1D1 与 C1B1 上，且 C1E4，C 1F3，连接EF，FB，DE，BD 则几何体 EFC1DBC 的体积为( )A.66 B.68C.70 D.72解析 (1)PA平面 ABCD，PA 是三棱锥 PCED 的高，PA2.ABCD 是正方形，E 是 AC 的中点，CED 是等腰直角三角形.
