1、第 1 讲 等差数列、等比数列的基本问题高考定位 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真 题 感 悟1.(2015全国 卷)设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 a1a 3a 53，则 S5( )A.5 B.7 C.9 D.11解析 a n为等差数列，a 1a 52a 3，a 1a 3a 53a 33，得 a31，S 5 5a 35.故选 A.5（a1 a5）2答案 A2.(2015全国 卷)已知a n是公差为 1 的等差数列，S n 为a n的前 n 项和.若S84S 4，则 a1
2、0( )A. B. C.10 D.12172 192解析 由 S84S 4 知，a 5 a6a 7a 83(a 1a 2a 3a 4)，又 d1，a 1 ，a101291 .12 192答案 B3.(2015全国 卷)已知等比数列a n满足 a1 ，a 3a54(a 41)，则 a2( )14A.2 B.1 C. D.12 18解析 由a n为等比数列，得 a3a5a ，24所以 a 4( a41) ，解得 a42，设等比数列 an的公比为 q，则 a4a 1q3，得242 q3，解得 q2，所以 a2a 1q .选 C.14 12答案 C4.(2015全国 卷)在数列a n中，a 12，a
3、n1 2a n，S n 为a n的前 n 项和.若Sn126，则 n_.解析 由 an1 2a n 知，数列 an是以 a12 为首项，公比 q2 的等比数列，由Sn 126，解得 n6.2（1 2n）1 2答案 6考 点 整 合1.等差数列(1)通项公式：a na 1(n1) d，(2)求和公式：S n na 1 d，n（a1 an）2 n（n 1）2(3)性质：若 m，n，p， qN *，且 mnpq，则 ama na pa q；a na m(n m) d；S m，S 2mS m，S 3mS 2m，成等差数列.2.等比数列(1)通项公式：a na 1qn1 (q0) ；(2)求和公式：q1
4、，S nna 1；q1，S n ；a1（1 qn）1 q a1 anq1 q(3)性质：若 m，n，p， qN *，且 mnpq，则 amana paq；a na mqn m；S m，S 2mS m，S 3mS 2m，(S m0)成等比数列.3.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出an 的表达式，然后用适当方法证明.(2)利用前 n 项和与通项的关系 an S1 （n 1），Sn Sn 1 （n 2）.)(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列a n中，满足 an1 a nf( n)，把原递推公式转化为an1
5、a nf( n)，再利用累加法 (逐差相加法) 求解.(5)叠乘法：在已知数列a n中，满足 an1 f(n)a n，把原递推公式转化为f( n)，再利用叠乘法(逐商相乘法) 求解.an 1an(6)构造等比数列法：在已知数列a n中，满足 an1 pa nq(其中 p，q 均为常数，pq(p 1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为 an1 t p(a nt)，其中 t，再利用换元法转化为等比数列求解.q1 p热点一 等差、等比数列的判定与证明【例 1】 (2016湖北八校 联考)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 bn中，b1a 1，b na na n1 (n2)，且 anS nn
6、.(1)设 cna n1，求证：c n是等比数列；(2)求数列b n的通项公式.(1)证明 a nS nn，a n1 S n1 n1.得 an1 a na n1 1，2a n1 a n1，2(a n1 1)a n1， ，a n 1是等比数列.an 1 1an 1 12又 a1a 11，a 1 ，12首项 c1a 11，c 1 ，公比 q .12 12又 cna n1 ，c n是以 为首项，以 为公比的等比数列.12 12(2)解 由(1)可知 cn ，( 12)(12)n 1 (12)n a nc n1 1 .(12)n 当 n2 时，b na na n1 1 (12)n 1 (12)n 1
7、.(12)n 1 (12)n (12)n 又 b1a 1 代入上式也符合，b n .12 (12)n 探究提高 判断和证明数列是等差(比)数列的二种方法(1)定义法：对 于 n1 的任意自然数，验证 an1 a n 为同一常数.(或 an 1an )(2)中项公式法： 若 2ana n1 a n1 (nN *，n2)， 则 an为等差数列；若a a n1 an1 (nN *，n2)，则 an为等比数列.2n【训练 1】 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 1，a n0，a nan1 S n1，其中 为常数.(1)证明：a n 2a n ；(2)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明
8、理由 .(1)证明 由题设， anan1 S n1，知 an1 an2 S n1 1， 得：a n1 (an2 a n)a n1 .a n1 0，a n2 a n.(2)解 由题设可求 a21，a 31，令 2a2a 1a 3，解得 4，故 an2 a n4.由此可得 a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n1 4n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a 2n4n 1.所以 an2n1，a n1 a n2.所以数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列.因此存在 4，使得数列 an为等差数列.热点二 求数列的通项微题型 1 由 Sn 与 an 的关系求 an【例
9、 21】 (2016玉溪模 拟)设数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足 Tn2S nn 2， nN *.(1)求 a1 的值；(2)求数列a n的通项公式.解 (1)令 n 1 时，T 12S 11，T 1S 1a 1，a 12a 11，a 11.(2)n2 时， Tn1 2S n1 (n1) 2，则 SnT nT n1 2S nn 22 Sn1 (n1) 22(S n Sn1 )2n12a n2n1.因为当 n1 时，a 1S 11 也满足上式，所以 Sn2a n2n1(n1)，当 n2 时，S n1 2a n1 2(n1)1，两式相减得 an2a n2a
10、 n1 2，所以 an2a n1 2(n2) ，所以 an22(a n1 2) ，因为 a1230，所以数列 an 2是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列 .所以 an232 n1 ，a n32 n1 2，当 n1 时也成立，所以 an32 n1 2.探究提高 给出 Sn 与 an 的递推关系求 an，常用思路是：一是利用SnS n1 a n(n2) 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.微题型 2 已知 an 与 an1 的递推关系式求 an【例 22】 在数列a n中，(1)若 a12， an1 a nn1
11、，则通项 an_；(2)若 a11， an1 3a n2，则通项 an_；(3)若 a11， an an1 (n2). 则通项 an_.n 1n解析 (1)由题 意得，当 n2 时，a na 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )2(2 3n) 2 1.（n 1）（2 n）2 n（n 1）2又 a12 1，符合上式，1（1 1）2因此 an 1.n（n 1）2(2)an1 3a n 2，即 an1 13(a n1)，即 3，an 1 1an 1法一 3， 3， 3， 3.将这些等式两边分别相a2 1a1 1 a3 1a2 1 a4 1a3 1 an 1 1an 1乘得 3 n.
12、an 1 1a1 1因为 a11，所以 3 n，即 an1 23 n1(n1)，an 1 11 1所以 an23 n1 1(n2)，又 a11 也满足上式，故 an23 n1 1.法二 由 3，即 an1 13(a n1)，an 1 1an 1当 n2 时，a n13( an1 1)，a n13( an1 1) 3 2(an2 1) 3 3(an3 1)3 n1 (a11)23 n1 ，a n23 n1 1；当 n1 时，a 1123 11 1 也满足.a n23 n1 1.(3)a n an1 (n2)，n 1na n1 an2 ，n 2n 1a2 a1.12以上(n 1) 个式子相乘得an
13、a 1 .1223 n 1n a1n 1n答案 (1) 1 (2)23 n1 1 (3)n（n 1）2 1n探究提高 (1)形如 bn1 b nf(n) ，其中 f(n)k 或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；(2)形如 an1 anf(n)，可用累乘法；(3)形如 an1 panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列；(4)形如 an1 qanq n(q 为常数，且 q0，q1)，解决方法是在递推公式两边同除以 qn1 .【训练 2】 (2016义乌 4 月模拟)设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知a11， a n1 n2n ，nN *.2Snn 13 23(1
14、)求 a2 的值；(2)求数列a n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 .1a1 1a2 1an74(1)解 2S 1 a2 1 ，又 S1a 11，所以 a24.13 23(2)解 当 n 2 时，2S nna n1 n3n 2 n，13 232Sn1 (n1)a n (n1) 3(n1) 2 (n1)，13 23两式相减得 2anna n1 (n1)a n (3n23n1)(2n1) ，整理得( n1)13 23anna n1 n(n1) ，即 1，又 1，an 1n 1 ann a22 a11故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，ann a11所以 1(n1) 1n，所以 ann 2.ann所以数列 an的通项公式为 ann 2，nN *.(3)证明 1 1a1 1a2 1a3 1an 14 132 142 1n21 14 123 134 1n（n 1）1 14 (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n)
