1、第 1 讲 圆与圆锥曲线的基本问题高考定位 1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物 线的定义、 标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.真 题 感 悟1.(2016全国 卷)设 F 为抛物线 C：y 24x 的焦点，曲线 y (k0)与 C 交于点kxP，PF x 轴，则 k( )A. B.1 C. D.212 32解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由 PFx 轴知， |PF|2，所以 P 点的坐标为(1 ，2)，代入曲线 y (k
2、0)得 k2，故选 D.kx答案 D2.(2016山东 卷)已知圆 M：x 2y 22ay0( a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2 ，则圆 M 与圆 N：(x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )2A.内切 B.相交 C.外切 D.相离解析 圆 M：x2(ya) 2a 2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1为 a，圆心 M 到直线 xy 0 的距离 d ，由几何知识得 ( )2a 2，解得 a2.|a|2 (|a|2)2 2M(0，2)， r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r21，|MN| ，r1r 23，r 1r 21.（1 0）2 （1 2）2 2r 1r
3、2|MN |r 1r 2，两圆相交，故选 B.答案 B3.(2016全国 卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( )14A. B. C. D.13 12 23 34解析 如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD 2b b.14 12在 Rt OFB 中，|OF |OB|BF| |OD|，即 cba b，故椭圆离心率 e ，故12 ca 12选 B.答案 B4.(2016全国 卷)设直线 yx2a 与圆 C：x 2y 22ay 20 相交于 A，B 两点，若|AB| 2 ，则圆 C 的面积为_.3解析 圆 C：x2y 22ay
4、 20，即 C：x2( ya) 2a 22，圆心为 C(0，a)，C 到直线 yx2a 的距离为 d .又由| AB|2 ，得|0 a 2a|2 |a|2 3 a 22，解得 a22，所以圆的面积为 (a22)4.(232)2 (|a|2)2 答案 4考 点 整 合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x a) 2(yb) 2r 2(r0)，圆心为 (a，b)，半径为 r.(2)圆的一般方程：x 2y 2DxEyF 0(D 2E 24F0)，圆心为 ，( D2， E2)半径为 r .D2 E2 4F22.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公
5、式：点到直线的距离公式 d ，弦长公式|AB| 2 (弦心距 d).|Ax0 By0 C|A2 B2 r2 d23.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|MF 2|2a(2a|F 1F2|)；(2)双曲线：|MF 1|MF 2|2a(2a|F 1F2|)；(3)抛物线：|MF|d( d 为 M 点到准线的距离).4.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆： 1(ab0)( 焦点在 x 轴上)或 1(ab0)(焦点在 y 轴x2a2 y2b2 y2a2 x2b2上)；(2)双曲线： 1(a0，b0)( 焦点在 x 轴上)或 1(a0，b0)(焦x2a2 y2b2 y2a2 x2b2点在 y 轴上)；(3)
6、抛物线：y 22px，y 22px，x 22py，x 22py (p0).5.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ；ca 1 b2a2(2)双曲线： e ；ca 1 b2a2渐近线方程：y x 或 y x；ba ab(3)抛物线：设 y22px(p0)，C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)为抛物线上的点，F 为其焦点.焦半径|CF|x 1 ；p2过焦点的弦长|CD|x 1x 2p；x 1x2 ，y 1y2p 2.p24热点一 直线与圆有关问题微题型 1 求圆的方程【例 11】 (1)若圆 C 经过(1，0) ，(3，0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为( )A.(x2) 2(y2
7、) 23 B.(x2) 2(y )233C.(x2) 2( y2)24 D.(x2) 2(y )243(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x2 的右侧，若圆 M 截直线l1 所得的弦长为 2 ，且与直线 l2：2x y40 相切，则圆 M 的方程为( )3 5A.(x1) 2y 24 B.(x1) 2y 24C.x2(y1) 24 D.x2( y1) 24解析 (1)因为圆 C 经过(1，0)，(3， 0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径为 2，设圆心坐标为(2， b)，则(21) 2b 24，b 23，b .3圆 C 的方程为(x 2) 2
8、(y )24.3(2)由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a2，半径为 r，得（a 2）2 （3）2 r2，|2a 4|4 5 r， )解得满足条件的一组解为 a 1，r 2，)所以圆 M 的方程为( x1) 2y 24.故选 B.答案 (1)D (2)B探究提高 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法，在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.微题型 2 圆的切线问题【例 12】 (1)一条光线从点 (2，3) 射
9、出，经 y 轴反射后与圆( x3) 2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A. 或 B. 或53 35 32 23C. 或 D. 或54 45 43 34(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _.解析 (1)圆(x 3) 2(y2) 21 的圆心为( 3， 2)，半径r1.点( 2，3) 关于 y 轴的对称点为(2，3).如图所示，反射光线一定过点(2， 3)且斜率 k 存在，反射光 线所在直线方程为 y3k (x2)，即 kxy2k 30.反射光线与已知圆相切， 1，整理得 12k22
10、5k120，解| 3k 2 2k 3|k2 （ 1）2得 k 或 k .34 43(2)直线 mxy2m10 恒过定点(2，1)，由 题意，得半径最大的圆的半径 r .（1 2）2 （0 1）2 2故所求圆的标准方程为(x1) 2y 22.答案 (1)D (2)(x1) 2y 22探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切 线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.微题型 3 与圆有关的弦长问题【例 13】 (2016郑州模拟)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x2y0 的
11、对称点仍在圆上，且圆与直线 x y10 相交的弦长为 2 ，则圆的方程是_.2解析 设圆的方程为(x a)2(yb) 2r 2，点 A(2，3)关于直线 x2y0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x2y0 上，即有 a2b0，又(2a) 2(3b)2r 2，而圆与直线 xy10 相交的弦长为 2 ，故 r2 2，2 (a b 12 )2 依据上述方程，解得 或a 6，b 3，r2 52) a 14，b 7，r2 244.)所以，所求圆的方程为( x6) 2(y 3) 252 或(x14) 2(y7) 2244.答案 (x6) 2(y3) 252 或(x 14) 2(y7) 2244探究提高
12、涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径r，弦心距 d，弦长 l 的一半构成直角三角形， 结合勾股定理 d2 r 2 求解；二(l2)2 是若斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB| |x1x 2|.1 k2【训练 1】 (1)(2016全国卷)已知直线 l：x y60 与圆 x2y 212 交于3A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、D 两点，则|CD |_.(2)(2016四川卷)已知正三角形 ABC 的边长为 2 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满3足| |1， ，则 | |2 的最大值是(
13、 )AP PM MC BM A. B.434 494C. D.37 634 37 2334解析 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得 y23 y60，则x 3y 6 0，x2 y2 12，) 3y1y 23 ，又 y22 ，y 1 ，A(3， )，B(0，2 ).3 3 3 3 3过 A，B 作 l 的垂线方程分别为y (x3)，y 2 x，令 y0，则3 3 3 3xC2， xD2，|CD|2(2)4.(2)建系如图，则易知 B( ，0)，3C( ，0)，A(0，3).设 M(x，y)，3P(a，b)， ，PM MC x a 3 x，y b 0 y) a 2x 3，b 2y，
14、 )即 P(2x ，2y)，又| |1.3 AP P 点在圆a 2( b3) 21 上，即(2x )2(2y3) 21，3整理得， (记为圆)，(x 32)2 (y 32)2 14即 M 点在 该圆上，求| |的最大 值转化为 B 点到该圆上的一点的最大距离，BM 即 B 到圆心的距离再加上该圆的半径：| |2 .BM ( ( 32 3)2 (32)2 12)2 494答案 (1)4 (2)B热点二 圆锥曲线的概念与性质微题型 1 定义与标准方程【例 21】 (1)(2015全国卷)已知 F 是双曲线 C：x 2 1 的右焦点，P 是y28C 的左支上一点，A(0，6 ).当APF 周长最小时
15、，该三角形的面积为 _.6(2)已知双曲线 C1： 1(a0，b0)的焦距是实轴长的 2 倍，若抛物线x2a2 y2b2C2：x 22py (p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( )A.x2 y B.x2 y833 1633C.x28y D.x216y解析 (1)设左焦点 为 F1，|PF|PF 1|2a2，|PF|2|PF 1|，APF 的周长为| AF| AP|PF |AF| AP|2|PF 1|，APF周长最小即为|AP|PF 1|最小，当 A、P、F1 在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为 1.与 x2 1 联立，解得 P 点坐标为(2，
16、2 )，此时 SSx 3 y66 y28 6AF1F SF 1PF12 .6(2)2c4a，c 2a，又 a2b 2c 2，b a，渐近线 y x，抛物线焦点3 3(0， )，d 2，p8，抛物线方程为 x216y.p2 p22答案 (1)12 (2)D6探究提高 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 .(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.微题型 2 几何性质与标准方程的应用【例 22】 (1)(2016山东卷) 已知双曲线 E： 1(a0，b0).若矩形x2a2 y2b2ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC |，则 E 的离心率是_.(2)(2016成都期末)椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，若 F 关于直线x2a2 y2b2xy0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为( )3A. B. 12 3 12
