1、目 录第 1 篇 引 言第 1 章 经 济 模 型第 2 章 最 优 化 的 数 学 表 达第 2 篇 选 择 与 需 求第 3 章 偏 好 与 效 用第 4 章 效 用 最 大 化 与 选 择第 5 章 收 入 效 应 和 替 代 效 应第 6 章 商 品 间 的 需 求 关 系第 3 篇 生 产 与 供 给第 7 章 生 产 函 数第 8 章 成 本 函 数第 9 章 利 润 最 大 化第 4 篇 竞 争 性 市 场第 1 0 章 竞 争 性 价 格 决 定 的 局 部 均 衡 模 型第 1 1 章 应 用 竞 争 分 析第 1 2 章 一 般 均 衡 和 福 利第 5 篇 不 完 全 竞
2、 争 模 型第 1 3 章 垄 断 市 场 模 型第 1 4 章 不 完 全 竞 争 市 场 的 传 统 模 型第 1 5 章 博 弈 定 价 模 型第 6 篇 要 素 市 场 定 价第 1 6 章 劳 动 市 场第 1 7 章 资 本 市 场第 7 篇 不 确 定 性 、 信 息 和 外 部 性第 1 8 章 不 确 定 性 和 风 险 厌 恶第 1 9 章 信 息 经 济 学第 2 0 章 外 部 性 与 公 共 品第 2 1 章 政 治 经 济 学第 1 篇 引 言第 1 章 经 济 模 型本 章 没 有 课 后 习 题 。 本 章 是 全 书 的 一 个 导 言 ， 主 要 要 求 读
3、 者 对 微 观 经 济模 型 有 一 个 整 体 了 解 ， 然 后 在 以 后 各 章 的 学 习 中 逐 渐 深 化 认 识 。第 2 章 最 优 化 的 数 学 表 达1 假 设 。（ 1 ） 计 算 偏 导 数 ， 。（ 2 ） 求 出 上 述 偏 导 数 在 ， 处 的 值 。（ 3 ） 写 出 的 全 微 分 。（ 4 ） 计 算 时 的 值 这 意 味 着 当 保 持 不 变 时 ， 与 的 替 代关 系 是 什 么 ？（ 5 ） 验 证 ： 当 ， 时 ， 。（ 6 ） 当 保 持 时 ， 且 偏 离 ， 时 ， 和 的 变 化 率 是 多 少 ？（ 7 ） 更 一 般 的
4、， 当 时 ， 该 函 数 的 等 高 线 是 什 么 形 状 的 ？ 该 等 高 线 的斜 率 是 多 少 ？解 ： （ 1 ） 对 于 函 数 ， 其 关 于 和 的 偏 导 数 分 别 为 ：，（ 2 ） 当 ， 时 ， （ 1 ） 中 的 偏 微 分 值 分 别 为 ：，（ 3 ） 的 全 微 分 为 ：（ 4 ） 当 时 ， 由 （ 3 ） 可 知 ： ， 从 而 可 以 解 得 ：。（ 5 ） 将 ， 代 入 的 表 达 式 ， 可 得 ： 。（ 6 ） 由 （ 4 ） 可 得 ， 在 ， 处 ， 当 保 持 不 变 ， 即 时 ， 有 ：（ 7 ） 当 时 ， 该 函 数 变 为
5、 ： ， 因 而 该 等 高 线 是 一 个 中 心 在 原点 的 椭 圆 。 由 （ 4 ） 可 知 ， 该 等 高 线 在 （ ， ） 处 的 斜 率 为 ： 。2 假 定 公 司 的 总 收 益 取 决 于 产 量 （ ） ， 即 总 收 益 函 数 为 ： ；总 成 本 也 取 决 于 产 量 （ ） ： 。（ 1 ） 为 了 使 利 润 （ ） 最 大 化 ， 公 司 的 产 量 水 平 应 该 是 多 少 ？ 利 润 是多 少 ？（ 2 ） 验 证 ： 在 （ 1 ） 中 的 产 量 水 平 下 ， 利 润 最 大 化 的 二 阶 条 件 是 满 足的 。（ 3 ） 此 处 求 得
6、 的 解 满 足 “边 际 收 益 等 于 边 际 成 本 ”的 准 则 吗 ？ 请 加 以 解释 。解 ： （ 1 ） 由 已 知 可 得 该 公 司 的 利 润 函 数 为 ：利 润 最 大 化 的 一 阶 条 件 为 ：从 而 可 以 解 得 利 润 最 大 化 的 产 量 为 ： ；相 应 的 最 大 化 的 利 润 为 ： 。（ 2 ） 在 处 ， 利 润 最 大 化 的 二 阶 条 件 为 ： ， 因 而 满 足 利 润 最大 化 的 二 阶 条 件 。（ 3 ） 在 处 ， 边 际 收 益 为 ： ；边 际 成 本 为 ： ；因 而 有 ， 即 “边 际 收 益 等 于 边 际
7、成 本 ”准 则 满 足 。3 假 设 。 如 果 与 的 和 是 1 ， 求 此 约 束 下 的 最 大 值 。 利 用 代入 消 元 法 和 拉 格 朗 日 乘 数 法 两 种 方 法 来 求 解 此 问 题 。解 ： （ 1 ） 代 入 消 元 法由 可 得 ： ， 将 其 代 入 可 得 ： 。从 而 有 ： ， 可 以 解 得 ： 。 从 而 ， 。（ 2 ） 拉 格 朗 日 乘 数 法的 最 大 值 问 题 为 ：构 造 拉 格 朗 日 函 数 为 ：一 阶 条 件 为 ：从 而 可 以 解 得 ： ， 因 而 有 ： 。4 对 偶 函 数 为 ：利 用 拉 格 朗 日 乘 数 法
8、 求 解 上 述 最 小 化 问 题 。解 ： 设 最 小 化 问 题 的 拉 格 朗 日 函 数 为 ：一 阶 条 件 为 ：从 而 有 ： ， ， 从 而 可 以 解 得 ： 。5 以 一 定 的 力 垂 直 上 抛 的 小 球 的 高 度 是 其 被 抛 出 时 间 （ ） 的 函 数 ：其 中 ， 是 由 重 力 所 决 定 的 常 数 。（ 1 ） 小 球 处 于 最 高 处 的 时 间 如 何 取 决 于 参 数 ？（ 2 ） 利 用 你 在 （ 1 ） 问 中 的 答 案 来 描 述 ： 随 着 参 数 的 变 化 ， 小 球 的 最 大高 度 如 何 变 化 。（ 3 ） 利
9、用 包 络 定 理 直 接 给 出 （ 2 ） 问 中 的 答 案 。（ 4 ） 在 地 球 上 ， ， 但 是 这 个 值 在 某 些 地 区 会 有 差 异 。 如 果 两 个 地 方重 力 加 速 度 的 差 异 为 0 .1 ， 则 在 上 述 两 个 地 区 所 抛 出 的 小 球 的 最 大 高 度之 间 的 差 异 是 多 少 ？解 ： （ 1 ） 对 高 度 函 数 关 于 时 间 求 导 数 可 得 ：从 而 可 以 解 得 使 高 度 最 大 的 时 间 为 ： ， 从 而 可 知 小 球 处 于 最 高 处 的时 间 与 参 数 成 反 比 例 关 系 。（ 2 ） 将
10、代 入 高 度 函 数 中 可 得 ：从 而 有 ： ， 即 ： 随 着 的 增 大 ， 最 大 高 度 将 变 小 。（ 3 ） 由 包 络 定 理 可 知 ： 取 决 于 ， 因 为 取 决 于 。因 而 有 ： 。（ 4 ） 当 时 ， 最 大 高 度 为 ： ；当 时 ， 最 大 高 度 为 ： ；因 而 两 地 最 大 高 度 的 差 异 为 ： 。6 制 作 一 个 油 轮 模 型 的 一 个 简 单 的 方 法 是 ， 首 先 选 择 一 块 宽 为 英 尺 、长 为 英 尺 的 长 方 形 钢 板 ， 接 着 在 每 个 角 处 减 去 一 个 边 长 为 英 尺 的 正方 形
11、 ， 然 后 叠 起 剩 余 的 四 边 做 成 一 个 无 盖 的 托 盘 。 （ 如 图 2 -1 所 示 ， 去掉 阴 影 部 分 的 四 个 边 长 为 的 正 方 形 ， 然 后 叠 起 ）图 2 -1 油 轮 模 型 的 制 作（ 1 ） 验 证 ： 该 托 盘 可 装 油 的 体 积 为 ：（ 2 ） 应 该 如 何 选 择 ， 才 能 使 给 定 下 的 最 大 ？（ 3 ） 是 否 存 在 一 个 使 得 所 装 油 的 体 积 最 大 ？（ 4 ） 假 设 一 个 造 船 商 受 到 限 制 ， 只 能 用 1 0 0 0 0 0 0 平 方 英 尺 的 钢 板 来 建 造
12、一 个 油 轮 。 该 约 束 条 件 可 以 用 方 程来 表 示 （ 因 为 可 以 将 去 掉 的 钢 板 做 退 回 处 理 ） 。 如 何 将 该 受 约 束 的 最 大化 问 题 的 解 与 （ 2 ） 和 （ 3 ） 问 中 的 解 进 行 比 较 ？解 ： （ 1 ） 如 图 2 -1 所 示 ， 长 方 形 四 个 角 处 去 掉 一 个 边 长 为 的 正 方 形 后叠 起 来 的 托 盘 是 一 个 长 方 体 ， 该 长 方 体 的 长 为 （ ） ， 宽 为 （） ， 高 为 ， 因 而 其 体 积 为 ：（ 2 ） 由 体 积 函 数 为 ， 体 积 最 大 化 的
13、 一 阶 条 件为 ：更多各类考试资料 v：344647 公众号：顺通考试资料 从 而 可 以 解 得 ： ， 即 ： ， 。二 阶 条 件 为 ： ， 只 有 当 时 ， 才 有 。即 只 有 当 才 能 使 给 定 下 的 最 大 。（ 3 ） 当 时 ， 。 因 而 当 增 大 时 ， 随 之 增大 ， 没 有 极 限 。 因 此 ， 不 存 在 一 个 使 得 所 装 油 的 体 积 最 大 。（ 4 ） 受 约 束 的 最 优 化 问 题 为 ：设 拉 格 朗 日 函 数 为 ：一 阶 条 件 为 ：从 而 可 以 利 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 得 最 优 的 、 。 显
14、然 ， 该 受 约 束 的 最大 化 问 题 的 解 将 有 别 于 （ 2 ） 和 （ 3 ） 中 求 解 出 来 的 解 。7 考 虑 如 下 受 约 束 的 最 优 化 问 题 ：其 中 是 一 个 可 以 被 赋 予 任 何 特 定 值 的 常 数 。（ 1 ） 验 证 ： 如 果 ， 则 此 问 题 可 以 视 为 仅 包 括 一 个 等 式 约 束 的 问 题 的求 解 。（ 2 ） 验 证 ： 当 时 ， 此 问 题 的 解 要 求 。（ 3 ） 如 果 此 问 题 的 解 须 为 非 负 ， 则 当 时 ， 最 优 解 是 什 么 ？（ 4 ） 当 时 ， 此 问 题 的 解
15、是 什 么 ？ 通 过 将 此 解 与 （ 1 ） 问 中 的 解 比较 ， 你 可 以 得 出 什 么 结 论 ？（ 注 意 ： 此 问 题 涉 及 “拟 线 性 函 数 ”。 这 样 的 函 数 提 供 了 消 费 者 理 论 中 的某 些 类 型 的 消 费 行 为 的 重 要 例 子 。 ）解 ： （ 1 ） 设 拉 格 朗 日 函 数 为 ：一 阶 条 件 为 ：从 而 可 以 解 得 ： ， 即 。 当 时 ， 最 优 解 为 ： 。（ 2 ） 当 时 ， 由 （ 1 ） 中 的 一 阶 条 件 可 以 解 得 ： ， ， 因 此 结 论成 立 。（ 3 ） 如 果 此 问 题 的
16、 解 非 负 时 ， 最 优 解 为 ： ， ， 。 因 为 任何 正 的 的 值 都 将 使 变 小 。（ 4 ） 如 果 ， 则 由 （ 1 ） 可 得 最 优 解 为 ： ， 。 因 为 给 提 供了 一 个 递 减 的 边 际 增 量 ， 而 却 没 有 ， 所 以 ， 所 有 的 最 优 解 要 求 一 旦增 至 5 ， 额 外 的 增 量 应 该 全 部 由 的 增 加 来 实 现 。8 证 明 ： 如 果 是 一 个 凹 函 数 ， 它 同 时 也 是 一 个 拟 凹 函 数 。 可 以通 过 比 较 方 程 2 .1 1 4 （ 定 义 拟 凹 性 ） 和 方 程 2 .9 8
17、 （ 定 义 凹 性 ） 来 完 成 验证 。 你 能 给 出 这 个 结 论 的 一 个 直 观 的 解 释 吗 ？ 拟 凹 函 数 必 然 是 凹 的 吗 ？方 程 2 .9 8 为 ： ；方 程 2 .1 1 4 为 ： 。证 明 ： （ 1 ） 由 凹 函 数 和 拟 凹 函 数 的 定 义 可 知 ：函 数 ， 对 定 义 域 （ 凸 集 ） 上 任 意 两 点 ， ， ， 如 果 有， 则 称 函 数 为 凹 函 数 。函 数 ， 对 定 义 域 （ 凸 集 ） 上 任 意 两 点 ， ， ， 如 果 有， 则 称 函 数 为 拟 凹 函 数 。可 知 ， 对 于 凹 函 数 有
18、：因 而 可 以 从 凹 函 数 推 出 拟 凹 函 数 ， 反 之 ， 则 不 成 立 。（ 2 ） 直 观 的 ， 从 图 形 上 看 ， 函 数 为 拟 凹 表 示 线 段 、 之 间 的 点 的 函数 值 要 高 于 点 ， 或 者 说 曲 线 之 间 的 点 都 高 于 点 。 显 然 ， 当 函 数是 凹 函 数 ， 曲 线 呈 一 个 倒 置 的 锅 ， 则 上 述 性 质 是 满 足 的 。 从 这 一 点看 ， 凹 函 数 一 定 是 拟 凹 函 数 。 但 是 ， 这 不 是 必 要 的 。 如 图 2 -2 所 示 ， 在曲 线 段 ， 函 数 是 凹 的 ； 而 在 段
19、 ， 函 数 是 凸 的 。 这 说 明 拟 凹 函 数 的概 念 要 比 凹 函 数 更 弱 。图 2 -2 凹 函 数 与 拟 凹 函 数9 柯 布 -道 格 拉 斯 函 数 ： ， 其 中 ， 和 都 是 小 于 1 的 正 的 常 数 。（ 1 ） 利 用 方 程 计 算 ， 从 而 验 证 该 函 数 是 一 个 拟 凹 函数 。（ 2 ） 通 过 验 证 任 何 （ 为 任 何 正 的 常 数 ） 的 上 水 平 线 都 是 凸 的 ， 从 而任 何 满 足 的 集 合 都 是 凸 的 ， 来 验 证 柯 布 道 格 拉 斯 函 数 是 拟 凹 函数 。（ 3 ） 验 证 ： 如
20、果 ， 则 柯 布 道 格 拉 斯 函 数 不 是 凹 函 数 （ 从 而 表 明不 是 所 有 的 拟 凹 函 数 都 是 凹 函 数 ） 。证 明 ： （ 1 ） 分 别 对 柯 布 -道 格 拉 斯 函 数 求 一 阶 、 二 阶 导 数 可 得 ：从 而 可 得 ： ， 因 而 可 知 柯 布 -道 格 拉 斯 函 数 是 一 个 拟 凹函 数 。（ 2 ） 如 果 ， 则 ， 因 而 当 、 时 ， 是 的 凸 函 数 。关 于 拟 凹 函 数 的 一 个 重 要 性 质 是 ， 如 果 函 数 是 拟 凹 的 ， 则 当 且 仅 当集 合 是 凸 集 ， 其 中 是 任 意 常 数
21、 。 集 合为 函 数 的 上 等 值 集 合 。（ 3 ） 由 方 程 2 .9 8 可 知 ：当 时 ， 该 式 是 负 的 ， 因 而 此 时 函 数 不 是 凹 函 数 ， 从 而 可 知 ， 并 非所 有 的 拟 凹 函 数 都 是 凹 函 数 。1 0 幂 函 数 ， 其 中 ， （ 有 时 ， 也 可 以 考 虑 为 负 的 情 形 ， 此 时利 用 来 确 保 导 数 有 恰 当 的 符 号 ） 。（ 1 ） 证 明 ： 此 函 数 是 凹 函 数 。 注 意 到 当 的 特 殊 情 况 ， 以 及 仅 当时 ， 该 函 数 才 是 “严 格 ”凹 的 。（ 2 ） 证 明 ：
22、 幂 函 数 的 多 元 形 式 也 是 一 个 凹 函 数 （ 和 拟 凹函 数 ） 。 解 释 在 这 种 情 况 下 ， 为 什 么 使 得 凹 形 的 确 定 变 得 极 其简 单 。（ 3 ） 一 种 将 “规 模 ”效 应 融 入 该 函 数 的 方 法 是 ， 对 （ 2 ） 问 中 的 函 数 进 行单 调 变 换 ：其 中 ， 是 一 个 正 的 常 数 。 这 种 变 换 是 否 仍 保 持 函 数 的 凹 性 ？ 是 拟 凹的 吗 ？证 明 ： （ 1 ） 当 时 ， 因 为 ， ， 所 以 此 时 函 数是 严 格 凹 函 数 。（ 2 ） 对 于 幂 函 数 ， 有
23、： ， ；，。因 为 ， ， 且 ， 所 以 满 足 ， 因 而 该 函 数 是 凹 函数 。（ 3 ） 因 为 是 拟 凹 函 数 ， 所 以 是 拟 凹 函 数 。 但 是 ， 当 时 ， 不 是 凹函 数 。 所 有 这 些 结 论 可 以 通 过 对 的 偏 微 分 以 及 方 程 和来 验 证 。第 2 篇 选 择 与 需 求第 3 章 偏 好 与 效 用1 画 出 下 列 效 用 函 数 的 无 差 异 曲 线 ， 并 判 断 它 们 是 否 是 凸 状 的 （ 即 边际 替 代 率 是 否 随 着 的 增 加 而 递 减 ） 。（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）答
24、 ： （ 1 ） 无 差 异 曲 线 如 图 3 -1 所 示 ， 为 一 组 直 线 。 边 际 替 代 率 为 ：， 为 一 常 数 ， 因 而 无 差 异 曲 线 不 是 凸 状 的 。图 3 -1 完 全 替 代 型 的 无 差 异 曲 线（ 2 ） 无 差 异 曲 线 如 图 3 -2 所 示 ， 为 性 状 良 好 的 无 差 异 曲 线 。 边 际 替 代 率为 ： ， 随 着 的 递 增 ， 将 递 减 ， 因 而 有 凸 的无 差 异 曲 线 。图 3 -2 凸 状 的 无 差 异 曲 线（ 3 ） 无 差 异 曲 线 如 图 3 -3 所 示 。 边 际 替 代 率 为 ：
25、 ， 因 而 边际 替 代 率 递 减 ， 无 差 异 曲 线 是 凸 状 的 ， 此 为 拟 线 性 偏 好 的 效 用 函 数 。图 3 -3 拟 线 性 型 的 无 差 异 曲 线（ 4 ） 无 差 异 曲 线 如 图 3 -4 所 示 。边 际 替 代 率 为 ： ， 因 而 边 际 替 代率 递 增 ， 无 差 异 曲 线 不 是 凸 状 的 。图 3 -4 凹 状 的 无 差 异 曲 线（ 5 ） 无 差 异 曲 线 如 图 3 -5 所 示 。边 际 替 代 率 为 ： ， 因 而 边 际 替 代 率 递减 ， 无 差 异 曲 线 是 凸 状 的 。图 3 -5 凸 状 的 无
26、差 异 曲 线2 在 第 3 章 的 脚 注 7 中 ， 我 们 已 经 证 明 ： 为 例 使 得 一 个 关 于 两 个 商 品 的效 用 函 数 有 严 格 递 减 的 （ 即 该 函 数 严 格 拟 凹 ） ， 则 如 下 的 条 件 必 须成 立 ：利 用 该 条 件 检 验 第 1 题 中 的 每 个 效 用 函 数 相 应 的 无 差 异 曲 线 的 凸 性 。 描述 此 过 程 中 你 发 现 的 任 何 捷 径 。答 ： 在 第 1 题 中 ， 由 于 所 有 的 一 阶 偏 导 数 都 是 正 的 ， 所 以 仅 需 要 检 验 二阶 偏 导 数 。（ 1 ） 因 为 ，
27、所 以 该 效 用 函 数 不 是 严 格 拟 凹 的 。（ 2 ） 因 为 ， ， ， 所 以 该 效 用 函 数 是 严 格 拟 凹 的 。（ 3 ） 因 为 ， ， ， 所 以 该 效 用 函 数 是 严 格 拟 凹 的 。（ 4 ） 尽 管 仅 考 察 时 的 情 形 ， 但 是 二 阶 偏 导 数 的 符 号 是 不 确 定 的 ， 所以 效 用 函 数 不 一 定 是 严 格 拟 凹 的 。（ 5 ） 因 为 ， ， ， 所 以 效 用 函 数 是 严 格 拟 凹 的 。3 对 于 如 下 效 用 函 数 ：（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）证 明 ： 尽 管 这 些 效 用 函 数
28、具 有 递 减 的 ， 但 是 它 们 分 别 显 示 出 边 际 效用 不 变 、 递 增 、 递 减 。 你 能 从 中 得 出 什 么 结 论 ？证 明 ： （ 1 ） ， ， ， ， ；（ 2 ） ， ， ， ， ；（ 3 ） ， ， ， ， 。从 以 上 分 析 可 知 ， 单 调 变 化 会 影 响 递 减 的 边 际 效 用 ， 但 是 不 会 影 响 边 际替 代 率 。4 如 图 3 -6 所 示 ， 一 种 证 明 无 差 异 曲 线 的 凸 性 的 方 法 是 ， 对 于 特 定 无 差异 曲 线 上 的 任 何 两 点 （ ， ） 和 （ ， ） ， 两 点 的 中 点
29、相 应 的 效 用 至 少 与 一 样 大 。 利 用 此 方 法 来 讨 论 如 下 效 用 函数 的 无 差 异 曲 线 的 凸 性 。 务 必 图 示 你 的 结 论 。图 3 -6 利 用 图 形 判 断 凸 性答 ： （ 1 ） 如 果 两 个 商 品 组 合 的 数 量 相 等 ， 则 有 ：如 果 两 个 商 品 组 合 的 数 量 不 同 ， 不 失 一 般 性 ， 可 设 ： ， 因而 有 ：从 而 可 知 无 差 异 曲 线 如 图 3 -7 所 示 ， 是 凸 状 的 。（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， 两 个 商 品 组 合 的 数 量 相 等 ， 则 有 ：如
30、果 两 个 商 品 组 合 的 数 量 不 同 ， 不 失 一 般 性 ， 可 设 ： ， 因而 有 ：，从 而 可 知 无 差 异 曲 线 如 图 3 -7 所 示 ， 不 是 凸 状 的 ， 而 是 凹 状 的 。（ 3 ） 在 完 全 替 代 型 的 效 用 函 数 下 ， 有 ：因 而 无 差 异 曲 线 既 不 是 凹 状 的 ， 也 不 是 凸 状 的 ， 而 是 线 性 的 。图 3 -7 利 用 图 形 来 判 断 无 差 异 曲 线 的 性 状5 Ph illie Ph an atic总 是 喜 欢 以 一 种 特 定 的 方 式 来 吃 Ballp ark Fran k s
31、牌 的 热狗 ： 他 将 1 英 尺 长 的 热 狗 ， 恰 好 配 以 半 块 小 圆 面 包 ， 1 盎 司 芥 末 以 及 2 盎司 的 咸 菜 调 味 品 同 时 食 用 。他 的 效 用 是 以 上 四 种 物 品 的 函 数 ， 并 且 额 外 一 种 物 品 的 数 量 增 加 而 其 他成 分 不 变 是 不 会 增 加 他 的 效 用 的 。（ 1 ） Ph illie Ph an atic对 于 这 四 种 物 品 的 效 用 函 数 的 形 式 是 什 么 ？（ 2 ） 我 们 可 以 如 何 将 Ph illie Ph an atic的 效 用 视 为 一 种 商 品
32、的 函 数 来 简 化问 题 ？ 这 种 商 品 是 什 么 ？（ 3 ） 假 设 每 英 尺 热 狗 的 价 格 为 1 美 元 ， 小 圆 面 包 价 格 为 0 .5 美 元 ， 每 盎 司芥 末 的 价 格 为 0 .0 5 美 元 ， 每 盎 司 咸 菜 调 味 品 的 价 格 为 0 .1 5 美 元 ， 则 （ 2 ）问 中 定 义 的 商 品 的 价 格 是 多 少 ？（ 4 ） 如 果 每 英 尺 热 狗 的 价 格 增 加 5 0 %（ 即 增 至 1 .5 美 元 ） ， 则 该 商 品 的 价格 增 加 的 百 分 比 是 多 少 ？（ 5 ） 小 圆 面 包 的 价
33、格 上 涨 5 0 %将 如 何 影 响 该 商 品 的 价 格 ？ 你 的 答 案 与（ 4 ） 问 中 有 何 不 同 ？（ 6 ） 如 果 政 府 对 Ph illie Ph an atic购 买 的 每 单 位 商 品 征 税 1 美 元 ， 则 税 收 将如 何 在 这 四 种 商 品 中 分 担 ， 从 而 使 Ph illie Ph an atic的 效 用 成 本 最 小 化 ？解 ： （ 1 ） 如 果 代 表 热 狗 ， 代 表 小 圆 面 包 ， 代 表 芥 末 ， 代 表 调 味品 ， 则 Ph illie Ph an atic的 效 用 函 数 可 以 表 示 为 ：
34、这 是 完 全 互 补 效 用 函 数 。（ 2 ） 可 以 将 Ph illie Ph an atic的 效 用 视 为 一 种 商 品 的 函 数 来 简 化 问 题 ， 即将 上 述 四 种 物 品 的 组 合 视 为 是 一 种 完 全 调 配 好 的 热 狗 。（ 3 ） 该 种 商 品 的 价 格 是 ： （ 美 元 ） 。（ 4 ） 如 果 热 狗 的 价 格 增 至 1 .5 美 元 ， 则 该 商 品 的 价 格 为 ：（ 美 元 ）因 此 ， 该 种 商 品 的 价 格 上 涨 幅 度 为 ： 。（ 5 ） 如 果 小 圆 面 包 的 价 格 增 至 （ 美 元 ） ， 则
35、 该 种 商 品 的 价格 为 ：（ 美 元 ）因 此 ， 该 种 商 品 的 价 格 上 涨 幅 度 为 ： 。（ 6 ） 提 高 价 格 以 使 完 全 调 配 好 的 热 狗 的 价 格 增 至 2 .6 美 元 ， 从 而 在 征 税 1美 元 的 情 况 下 ， 这 将 等 价 于 购 买 力 的 总 额 减 少 。 为 使 Ph illie Ph an atic的效 用 成 本 最 小 化 ， 增 收 的 1 美 元 税 收 应 该 在 各 种 商 品 之 间 按 固 定 比 例 分担 ， 即 按 进 行 分 担 。 即 对 每 英 尺 热 狗 征 税 0 .2 2 美 元 ， 每
36、 单 位 小 圆面 包 征 收 0 .4 4 美 元 ， 每 盎 司 芥 末 征 收 0 .2 2 美 元 ， 每 盎 司 咸 菜 征 收 0 .1 1 美元 ， 此 时 Ph illie Ph an atic的 效 用 成 本 最 小 。6 许 多 广 告 语 似 乎 表 明 了 人 们 的 某 些 偏 好 。 你 将 如 何 利 用 效 用 函 数 来描 述 下 列 广 告 语 ？（ 1 ） 人 造 黄 油 与 真 黄 油 一 样 好 。（ 2 ） 饮 可 口 可 乐 ， 万 事 如 意 。（ 3 ） 你 不 能 仅 吃 Prin g le牌 的 薯 条 。（ 4 ） Krisp y Kr
37、eme牌 的 油 炸 饼 圈 就 是 比 Du n k in 牌 的 好 。（ 5 ） Miller Brewin g 建 议 我 们 “负 责 任 地 ”喝 （ 啤 酒 ） 。 （ 什 么 是 “不 负 责任 地 ”喝 酒 呢 ？ ）答 ： （ 1 ） 如 果 用 代 表 人 造 黄 油 消 费 量 ， 代 表 真 黄 油 消 费 量 ， 则 效 用函 数 可 以 表 示 为 ：这 表 示 人 造 黄 油 和 真 黄 油 是 完 全 替 代 品 ， 它 们 之 间 的 替 代 比 率 是 1 1 。（ 2 ） 如 果 用 代 表 其 他 商 品 的 消 费 量 ， 代 表 可 口 可 乐 的
38、 消 费 量 ， 则 效用 函 数 可 以 表 示 为 ： ， 且 满 足 ： 。例 如 效 用 函 数 就 可 以 表 示 这 种 偏 好 。（ 3 ） 如 果 用 代 表 Prin g le牌 的 薯 条 的 消 费 量 ， 代 表 其 他 商 品 的 消 费 量 ，则 效 用 函 数 可 以 表 示 为 ：， 对 于 所 有 的 以 及 成 立 。（ 4 ） 如 果 用 代 表 Krisp y Kreme牌 的 油 炸 饼 圈 的 消 费 量 ， 代 表 Du n k in 牌的 油 炸 饼 圈 的 消 费 量 ， 代 表 其 他 商 品 的 消 费 量 ， 则 效 用 函 数 可 以
39、表 示为 ： ， 对 于 所 有 的 成 立 。（ 5 ） 如 果 用 代 表 其 他 人 的 效 用 水 平 ， 代 表 其 他 商 品 的 消 费 量 ， 代 表啤 酒 的 消 费 量 ， 则 效 用 函 数 可 以 表 示 为 ： ， 且 满 足 （ 这 表示 有 利 他 偏 好 ， 说 明 他 喝 酒 是 负 责 任 的 ） ， 一 个 人 喝 酒 会 影 响 别 人 的 效用 水 平 。7 假 设 某 人 起 初 拥 有 一 定 数 量 的 两 种 商 品 ， 这 两 种 商 品 都 会 给 他（ 她 ） 带 来 效 用 。 两 种 商 品 的 初 始 数 量 分 别 为 ： 和 。
40、（ 1 ） 在 此 人 的 无 差 异 曲 线 图 中 画 出 初 始 的 商 品 组 合 。（ 2 ） 如 果 此 人 可 以 用 与 其 他 人 交 换 （ 或 用 交 换 ） ， 则 他 （ 她 ） 将自 愿 进 行 何 种 类 型 的 交 换 ？ 他 （ 她 ） 将 不 愿 进 行 何 种 类 型 的 交 换 ？ 这 些交 换 如 何 与 此 人 在 点 （ ， ） 处 的 有 关 ？（ 3 ） 假 设 此 人 对 其 拥 有 的 初 始 商 品 数 量 较 为 满 意 ， 并 且 仅 考 虑 那 些 能 使其 效 用 增 加 的 交 换 。 你 将 在 无 差 异 曲 线 图 中 如
41、 何 反 映 这 一 点 ？答 ： （ 1 ） 此 人 无 差 异 曲 线 如 图 3 -8 所 示 ， 它 的 初 始 商 品 拥 有 量 为 图 中 的点 。（ 2 ） 任 何 不 同 于 在 （ ， ） 处 的 的 交 易 机 会 都 有 可 能 提 高 效 用 水平 。 如 图 3 -8 所 示 ， 代 表 了 提 高 效 用 的 交 换 。（ 3 ） 对 初 始 商 品 组 合 的 偏 好 要 求 交 换 活 动 能 够 大 幅 度 提 高 效 用 才 能 促 使交 换 发 生 。 因 而 交 换 活 动 只 有 在 交 换 后 的 显 著 不 同 于 在 （ ， ） 处的 时 才
42、更 有 可 能 发 生 ， 如 图 3 -8 所 示 。图 3 -8 无 差 异 曲 线 及 交 换 活 动 对 效 用 的 影 响8 柯 布 -道 格 拉 斯 效 用 函 数 的 边 际 替 代 率 为 ：（ 1 ） 这 个 结 果 是 否 取 决 于 ？ 它 与 选 择 理 论 有 无 关 系 ？（ 2 ） 对 于 一 组 商 品 ， 其 边 际 替 代 率 如 何 取 决 于 和 ？ 为 什 么时 ， ？ 请 图 示 你 的 直 观 解 释 。（ 3 ） 与 为 给 定 的 最 低 生 活 水 平 ， 假 设 某 人 的 效 用 仅 仅 是 由 超 过 这 一最 低 水 平 的 与 的
43、数 量 来 决 定 ， 在 这 种 情 况 下 ，这 是 一 个 位 似 函 数 吗 ？答 ： （ 1 ） 边 际 替 代 率 为 ：这 个 结 果 与 生 产 理 论 不 同 ， 不 取 决 于 的 值 。 在 消 费 理 论 中 无 关紧 要 ， 因 为 效 用 惟 一 取 决 于 单 调 变 换 。（ 2 ） 对 于 一 组 商 品 ， 边 际 替 代 率 为 ： ， 如 果 ， 则 消 费 者对 的 评 价 相 对 更 高 ， 从 而。（ 3 ） 该 函 数 关 于 （ ） 和 （ ） 是 位 似 的 ， 而 关 于 和 不 是 位 似的 。9 如 果 效 用 函 数 满 足 ：飃则
44、称 它 的 两 种 商 品 具 有 独 立 的 边 际 效 用 。 试 证 明 当 我 们 假 定 每 一 种 商 品的 边 际 效 用 为 递 减 时 ， 具 有 独 立 边 际 效 用 的 效 用 函 数 都 会 有 递 减 的 边 际替 代 率 。 举 例 证 明 其 逆 命 题 是 错 的 。证 明 ： 意 味 着 只 要 ， ， 则 递 减 。 原 命 题 得 证 。原 命 题 的 反 命 题 是 ： 如 果 具 有 独 立 边 际 效 用 的 任 一 效 用 函 数 都 会 有 递 减的 边 际 替 代 率 ， 则 每 一 种 商 品 的 边 际 效 用 是 递 减 的 。 下 面
45、 来 证 明 此 命 题不 一 定 成 立 。在 两 种 消 费 商 品 的 效 用 函 数 下 ， 递 减 的 边 际 替 代 率 意 味 着 下 式 成 立 ：当 时 ， 上 式 变 为 。 显 然 ， 这 无 法 推 出 ， 的 结 论 。1 0 （ 1 ） 证 明 ： CES函 数是 位 似 函 数 。 如 何 取 决 于 ？（ 2 ） 证 明 ： 从 （ 1 ） 问 中 所 得 的 结 论 与 我 们 对 （ 完 全 替 代 ） 和（ 柯 布 -道 格 拉 斯 ） 情 形 下 的 讨 论 相 符 。（ 3 ） 证 明 ： 对 于 所 有 的 ， 是 严 格 递 减 的 。（ 4 ）
46、证 明 ： 如 果 ， 则 这 个 函 数 的 仅 取 决 于 和 相 对 值 的 大 小 。（ 5 ） 计 算 或 情 况 下 ， 当 ， 时 ， 这 一 函 数 的 ？当 在 附 近 变 动 时 ， 它 的 变 动 程 度 如 何 ？ 你 如 何 从 几 何 图 形 上 给予 解 释 ？证 明 ： （ 1 ） 边 际 替 代 率 为 ：因 而 该 函 数 是 位 似 的 。又 因 为 ： ， 所 以 当 时 ， ， 即随 着 的 递 增 ， 递 减 ；当 时 ， ， 即 随 着 的 递 增 ， 递 增 ；当 时 ， ， 即 随 着 的 递 增 ， 不 变 。（ 2 ） 如 果 ， 为 一
47、常 数 ； 如 果 ， ， 这 与 第 8 题 的结 论 相 符 。（ 3 ） 对 于 所 有 的 ， 有 ： ， 所 以 递 减 。（ 4 ） 当 时 ， ， 所 以 仅 取 决 于 、 相 对 值 的 大 小 。（ 5 ） 当 时 ， ， ；当 时 ， ， 。因 此 ， 在 时 比 在 时 变 化 得 更 快 。 越 小 ， 无 差 异 曲 线 更 为陡 峭 。 特 别 地 ， 当 时 ， 无 差 异 曲 线 为 表 示 固 定 比 例 偏 好 的 L型 。第 4 章 效 用 最 大 化 与 选 择1 三 年 级 学 生 保 罗 每 天 在 校 用 餐 ， 它 只 喜 欢 Twin k i
48、e（ ） 和 苏 打 水 （） ， 他 从 中 得 到 的 效 用 为 ： 。（ 1 ） 如 果 每 份 Twin k ie为 0 .1 美 元 ， 苏 打 水 每 瓶 为 0 .2 5 美 元 ， 为 了 使 效 用最 大 化 ， 保 罗 应 该 如 何 将 妈 妈 给 他 的 1 美 元 伙 食 费 分 配 在 这 两 种 食 物上 ？（ 2 ） 学 校 为 了 减 少 Twin k ie的 消 费 ， 将 其 价 格 提 高 到 每 份 0 .4 美 元 ， 那 么为 了 让 保 罗 得 到 与 （ 1 ） 中 相 同 的 效 用 ， 妈 妈 现 在 要 给 他 多 少 伙 食 费 ？解
49、 ： （ 1 ） 对 效 用 函 数 进 行 单 调 变 换 ， 令 ， 这 并不 改 变 偏 好 次 序 。保 罗 效 用 最 大 化 问 题 为 ：设 拉 格 朗 日 函 数 为 ：一 阶 条 件 为 ：飃解 得 ： ， 。因 此 ， 他 所 获 得 的 效 用 ： 。（ 2 ） 消 费 品 Twin k ie价 格 提 高 了 ， 但 效 用 水 平 却 保 持 不 变 ， 则 保 罗 面 临如 下 的 支 出 最 小 化 问 题 ：设 拉 格 朗 日 函 数 为 ：一 阶 条 件 为 ： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）由 上 述 三 式 解 得 ， ， 则 最 小 支 出 为 ：
50、， 所 以 妈妈 现 在 要 给 他 2 美 元 伙 食 费 使 他 的 效 用 水 平 保 持 不 变 。2 （ 1 ） 一 位 年 轻 的 品 酒 师 欲 支 出 3 0 0 美 元 建 一 小 酒 窖 ， 他 特 别 喜 欢 两种 酒 ： 一 种 是 1 9 9 7 年 生 产 的 昂 贵 的 法 国 波 尔 多 白 葡 萄 酒 （ ） ， 每 瓶 价格 为 2 0 美 元 ； 另 一 种 是 稍 微 便 宜 的 2 0 0 2 年 产 的 加 利 福 利 亚 葡 萄 酒 （） ， 每 瓶 4 美 元 。 如 果 他 的 效 用 函 数 如 下 式 所 示 ， 则 他 将 在 每 种 酒
