1、目 录第 一 篇 引 言第 1 章 经 济 模 型第 2 章 微 观 经 济 学 中 的 数 学 工 具第 二 篇 选 择 与 需 求第 3 章 偏 好 与 效 用第 4 章 效 用 最 大 化 与 选 择第 5 章 收 入 效 应 与 替 代 效 应第 6 章 商 品 间 的 需 求 关 系第 三 篇 不 确 定 性 与 策 略第 7 章 不 确 定 性第 8 章 博 弈 论第 四 篇 生 产 与 供 给第 9 章 生 产 函 数第 1 0 章 成 本 函 数第 1 1 章 利 润 最 大 化第 五 篇 竞 争 性 市 场第 1 2 章 竞 争 性 价 格 决 定 的 局 部 均衡 模 型第
2、 1 3 章 一 般 均 衡 和 福 利第 六 篇 市 场 势 力第 1 4 章 垄 断第 1 5 章 不 完 全 竞 争第 七 篇 要 素 市 场 定 价第 1 6 章 劳 动 力 市 场第 1 7 章 资 本 和 时 间第 八 篇 市 场 失 灵第 1 8 章 不 对 称 信 息第 1 9 章 外 部 性 与 公 共 品第一篇引言第1章经济模型本章没有课后习题。本章是全书的一个引言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。第2章微观经济学中的数学工具1已知U（x，y）4 x 23 y 2。（1）计算。（2）当x1，y2时，求这两个偏导数的值。（3）写出
3、U的全微分。（4）当d U0，计算d y /d x，即保持U不变，y和x的替代关系如何？（5）说明当x1，y2时，U1 6。（6）当x1，y2时，x，y要以怎样的比例微小变化才能保持U1 6不变？（7）U1 6的等高线是什么图形？它各点的斜率是多少？解：（1）对于函数U（x，y）4 x 23 y 2，其关于x和y的偏导数分别为：（2）当x1，y2时，（1）中的偏导数值分别为：（3）U的全微分为：（4）当d U0时，由（3）可知：8 x d x6 y d y0从而可以解得：（5）将x1，y2代入U的表达式，可得：U4 13 41 6。（6）由（4）可得，在x1，y2处，当保持U1 6不变，即d
4、U0时，有：（7）当U1 6时，该函数变为4 x 23 y 21 6，因而该等高线是一个以原点为中心的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：2假设某企业的总收入只由产量决定，且关系式为R7 0 qq 2，总成本也只由q决定，Cq 23 0 q1 0 0。（1）要使利润（RC）最大化，产量定为多少？最大利润是多少？（2）说明（1）问题的答案满足极值的二阶条件。（3）结果满足“边际收益边际成本”原则吗？请解释。解：（1）公司的利润函数为：RC2 q 24 0 q1 0 0利润最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化时的产量为：q *1 0相应的最大化的利润为：*2 1 0 24 0
5、 1 01 0 01 0 0（2）在q *1 0处，利润最大化的二阶条件为：因而满足利润最大化的二阶条件。（3）在q *1 0处，边际收益为：边际成本为：因而有MRMC5 0，即“边际收益等于边际成本”准则满足。3设f（x，y）x y，在xy1的约束条件下分别用代入消元法和拉格朗日乘数法求最大值。解：（1）代入消元法由xy1可得：y1x，将其代入f可得：fx yxx 2，从而有：可以解得：x0 .5，y0 .5，f0 .2 5。（2）拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数：Lx y（1xy）一阶条件为：从而可以解得：xy0 .5，fx y0 .2 5。4上一题的对偶问题是给定x y0 .2 5，求xy
6、的最小值。用拉格朗日乘数法求解。比较这两题中算出的拉格朗日乘数的大小，并解释其关系。解：（1）设最小化问题的拉格朗日函数为：Lxy（0 .2 5x y）一阶条件为：由前两个方程式可得：xy，联立第三个方程式，解得：xy0 .5。（2）将本题与第3题进行比较可知，两种情况下求得的拉格朗日乘数的值分别为0 .5和2，互为倒数。这是因为第3题中受约束的最大化问题是本题中受约束的最小化问题的一个对偶问题。5垂直向上抛球，t秒后高度为f（t）0 .5 g t24 0 t（其中g是重力加速度）。（1）达到最高点时t为多少？将其写成g的函数。（2）用上一问的结果解释当g发生改变时，最高点高度如何变化。（3）
7、用包络定理求解第（2）小题。（4）在地球上g3 2，但在不同的地方略有不同。如果两地g相差0 .1，球能达到的最大高度大约差多少？解：（1）对高度函数f（t）0 .5 g t24 0 t关于时间求导数可得：从而可以解得使高度最大的时间为：t*4 0 /g，从而可知小球处于最高处的时间t与参数g成反比例关系。（2）将t*4 0 /g代入高度函数中可得：从而有：即随着g的增大，最大高度将变小。（3）由包络定理可知：取决于g，这是因为t*取决于g。因而有：（4）当g3 2时，最大高度为：f8 0 0 /3 22 5；当g3 2 .1时，最大高度为：f8 0 0 /3 2 .1 2 4 .9 2；因而
8、两地最大高度的差异为：fff2 4 .9 22 50 .0 8。6为了建造一艘油轮，我们把一块长3 x，宽x的铁皮四角各剪去一块边长为t的正方形，再折起来，就形成了无盖油箱的结构。（1）证明油箱的体积Vt（x2 t）（3 x2 t）3 tx 28 t2 x4 t3。（2）对于给定的x，为了使油箱容积最大，t应该取多少？（3）把V视为x的函数，V是否有最大值？（4）如果造船厂只有1 0 0 0 0 0 0平方英尺的铁皮，即t，x满足约束条件3 x 24 t21 0 0 0 0 0 0。现在求解V的最大值。此时的结果和（2），（3）两个问题有什么区别？更多各类考试资料 v：344647 公众号：顺
9、通考试资料 解：（1）如图2 -1所示，长方形四个角处去掉一个边长为的正方形后叠起来的油箱是一个长方体，该长方体的长为（3 x2 t），宽为（x2 t），高为t，因而其体积为：Vt（x2 t）（3 x2 t）3 tx 28 t2 x4 t3图2 -1油轮模型的制作（2）V关于t求导数可得：从而可以解得：即：t10 .2 2 5 x，t21 .1 1 x二阶条件为：因此，只有当t0 .2 2 5 x时，才有即只有当t0 .2 2 5 x才能使给定x下的V最大。（3）当t0 .2 2 5 x时，V0 .6 7 x 30 .0 4 x 30 .0 5 x 3 0 .6 8 x 3。因而当x增大时，V
10、随之增大，没有极限。因此，不存在一个x使得所装油的体积最大。（4）受约束的最优化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的t*、x *。显然，该受约束的最大化问题的解将有别于（2）和（3）中求解出来的解。7考虑条件极值问题，使y最大化，其中yx 15 ln x 2。x 1，x 2满足约束条件kx 1x 20，k为任意常数。（1）当k1 0时，求解该条件极值问题。（2）证明k4时，x 11。（3）如果要求自变量必须非负，k4时的最优解是多少？（4）当k2 0时，求解之，并与问题（1）的结果做比较，能得出什么结论？（注：这个问题涉及的函数称为“准线性函数”，在消费者
11、行为理论中还会用到。）解：（1）设拉格朗日函数为：一阶条件为：联立以上方程组可解得：当k1 0时，最优解为：x 1x 25。（2）当k4时，由（1）的解x 1k5可得：x 1451。因此，结论成立。（3）如果此问题的解非负时，最优解为：x 10，x 24，y5 ln 4。因为任何正的x 1的值都将使y变小。（4）如果k2 0，则由（1）可得最优解为：x 11 5，x 25。因为x 2给y提供了一个递减的边际增量，而x 1却没有，所以，所有的最优解要求一旦x 2增至5，额外的增量应该全部由x 1的增加来实现。8假定一个企业的边际成本函数是MC（q）q1。（1）这个企业的总成本函数是什么？解释为什
12、么总成本函数只取决于一个代表了固定成本的积分常数。（2）在之前的经济学课程中已经学习到，在企业做出定价决策（p）时，产量q和价格p要满足关系pMC（q）。如果企业依照这个利润最大化规律进行决策，那么在p1 5时，企业的产量是多少？假设企业在这个价格时不赚不赔，那么企业的固定成本是多少？（3）如果价格上涨到2 0，企业将获得多少利润？（4）请证明，如果继续假设企业依据利润最大化规律做决策，那么企业的利润能够写成价格p的一元函数。（5）求解价格从p1 5上涨到p2 0后利润的增量有两种计算方法：直接使用（4）中的函数求解；对逆边际成本函数MC（p）p1积分，积分下限为p1 5，积分上限为p2 0。
13、请分别使用这两种方法计算利润增量，并使用包络定理在直观上解释结果。解：（1）由企业的边际成本函数是MC（q）q1，设企业的固定成本为F，则企业的总成本函数为：由于企业的边际成本是指企业多生产一单位的产品所增加的企业成本。用公式描述企业总成本函数和边际成函数之间的关系就是而上述所求的总成本函数代表了在此边际成本函数下的总成本函数族。此时，要使总成本函数唯一，主要取决于固定成本F。所以说，总成本函数只取决于一个代表了固定成本的积分常数。（2）在企业做出定价决策（p）时，产量q和价格p要满足关系pMC（q）。如果企业依照这个利润最大化规律进行决策，那么在p1 5时，企业的产量满足：1 5q1，解得：
14、q1 4。企业在这个价格时不赚不赔，此时的企业利润为零，即：p qTC（q）1 5 1 4（1 4 2 /21 4F）0，解得此时企业的固定成本为：F9 8（3）如果价格上涨到2 0，则企业产量满足：2 0q1解得：q1 9此时，企业将获得利润为：p qTC（q）2 0 1 9（1 9 2 0 .51 99 8）8 2 .5（4）如果继续假设企业依据利润最大化规律做决策，由pMC（q）可将企业的产量表示为：qp1。那么企业的利润函数为：由于F为常数，所以说，如果继续假设企业依据利润最大化规律做决策，那么企业的利润函数能够写成价格p的一元函数。（5）价格从p1 5上涨到p2 0后利润的增量有两种
15、计算方法：直接使用（4）中的函数求解：（2 0）（1 5）8 2 .5通过对逆边际成本函数MC（p）p1积分进行求解，积分下限为p1 5，积分上限为p2 0。在两种方法下，求解的利润增量相等。即拉格朗日表达式在计算有约束条件下的问题和没有约束条件的问题时，包络定理起了相同的作用。9凹函数和拟凹函数通过比较两者的定义来证明凹函数必为拟凹函数（2 .1 1 4式和2 .9 8式），你能从直观上解释你的证明吗？它的逆命题是否正确，即拟凹函数是否是凹函数？如果不正确，请举出一例。29 8式为：21 1 4式为：解：（1）下面给出该命题的两种证明方法：利用凹函数和拟凹函数的定义函数f（x），对定义域S（
16、凸集）上任意两点x 1，x 2S，0，1 ，如果有fx 1（1）x 2 f（x 1）（1）f（x 2），则称函数f（x）为凹函数。函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x 1，x 2S，0，1 ，如果有fx 1（1）x 2 min f（x 1），f（x 2），则称函数f（x）为拟凹函数。显然，对于凹函数有：fx 1（1）x 2 f（x 1）（1）f（x 2）min f（x 1），f（x 2）因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。利用数学中关于拟凹函数的性质本题的证明将利用如下定理：（二阶连续可微）函数f：AR是拟凹函数，当且仅当对每一个xA，海塞矩阵D2 f（x 1，x 2）在子空
17、间中都是半负定的，也就是说，当时下面来证明：因为f（x 1，x 2）是一个凹函数，而二阶连续可微函数f（x）是凹函数，当且仅当其海塞矩阵是半负定的，所以对于海塞矩阵有：即：而海塞矩阵D2 f（x 1，x 2）是负定的，从而可知，海塞矩阵D2 f（x 1，x 2）在子空间中至少是半负定的，因而可知f（x 1，x 2）也是一个拟凹函数。对于拟凹函数，其加边矩阵是半负定的，即有：（2）直观的，从图形上看，函数f（x）为拟凹表示线段x 1、x 2之间的点的函数值要高于点A，或者说曲线ACB之间的点都高于点A。显然，当函数f（x）是凹函数，曲线呈一个倒置的锅状，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定
18、是拟凹函数。（3）逆命题不正确，即拟凹函数不一定是凹函数。如图2 -2所示，在曲线AC段，函数是凸的；而在CB段，函数是凹的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。图2 -2凹函数与拟凹函数1 0你即将碰到一个经济学中特别重要的函数：柯布道格拉斯函数：其中0，1（1）用定义的“原始”做法证明它是拟凹函数。（2）用yc的等高线围成的区域是凸集的办法证明它是拟凹函数。（3）证明当1时该函数不是凹函数。（这也说明拟凹函数不一定是凹的）。注：柯布道格拉斯函数在扩展章节中有介绍。解：（1）分别对柯布道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得：显然中的所有项都是负的，从而可得：因而可知柯布道格拉斯函数是一个拟凹函数。
19、（2）如果则因而当、0时，x 2是x 1的凸函数。关于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数f（x）是拟凹的，则当且仅当集合是凸集，其中k是任意常数。集合为函数f（x）的上等值集合。（3）根据定义，满足f1 10，f1 1 f2 2f1 2 20的函数为凹函数。当1时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。1 1幂函数另一种常见的函数是“幂函数”：yx ，其中，0 1（有时我们也会考察小于0的情形，在这类情况下一般使用yx /的形式以保证微分表达式有适当的符号）。（1）证明幂函数是凹函数（自然也是拟凹函数）。注意只有当1时函数才是严格凹的。（2）证明多元幂函数
20、也是凹的（也是拟凹的）。这里由于交叉偏导数f1 2f2 10，凹性很明显。解释为什么交叉偏导数为零？（3）用（2）中描述的单调映射可以给函数附加上“规模效应”。函数g是否具有凹性？是否具有拟凹性？解：（1）当0 1时，因为yx 1 0，y（1）x 20，所以此时函数yx 是严格凹函数。（2）对于幂函数有：因为f1 1，f2 20，且f1 2f2 10，所以f1 1 f2 2f1 2 20满足，因而该函数是凹函数。根据多元幂函数的表达式可知，对一个变量求一阶偏导得到的方程式与另一个变量无关，所以交叉偏导数为0。（3）因为y是拟凹函数，所以gy 也是拟凹函数。但是，当1时，g不是凹函数，证明如下。
21、gy ，则有：因为0 1，所以，当1时, g 1 1 g 2 2g 1 2 20，g不是凹函数；当1时，g是凹函数。1 2由于在本书中经常会在有约束的优化问题中使用包络定理，通过在下面这个简单的例子中证明该定理可能会帮助读者多一些直观上的理解。假设要最大化一个二元函数，同时这个函数还与参数a有关f（x 1，x 2，a）。这个最大化问题中的约束条件为g（x 1，x 2，a）0。（1）写出求解这个问题的拉格朗日表达式，并写出其一阶条件。（2）将包含x的两个一阶条件相加。（3）将（2）中的求和式对a求导数。这一结果将告诉我们随着a的变化，x必须要改变相对应的量，才能使一阶条件成立。（4）我们已经从本
22、章中学到，这个问题中的目标函数和约束条件可以写成a的函数：fx1（a），x 2（a），a，g x 1（a），x 2（a），a0。将第一个函数对a求导数。这一结果表明的是在x取最优值时目标函数值随a值变化的情况。求导结果中必须要有两项，一项中含有x，另一项为单独的f/a。（5）将（4）中第二个等式即约束条件对a求导。结果中有一项含有x，另一项只含有g /a。（6）把（5）中的结果乘上（拉格朗日乘数），并且运用（3）中的一阶条件，将这两个结果带入（4）的微分式中。应该可以得到：这个等式就是在x取到最优值时，拉格朗日表达式的偏微分。这也就证明了包络定理。请在直觉上解释这一证明为何能够保证x被调整到最
23、优值。（7）请解释本书例2 .8中如何在篱笆周长这个例子中运用包络定理，即篱笆周长P的变化如何影响篱笆包围的面积？并使用包络定理说明，在这个例子中拉格朗日乘数如何施加约束。解：（1）这个最大化问题为：构造拉格朗日函数：Lf（x 1，x 2，a）g（x 1，x 2，a）一阶条件为：（2）包含x的两个一阶条件相加得：f1f2（g 1g 2）0（3）将（2）中的求和式对a求导得：（4）将目标函数对a求导得：（5）将约束条件对a求导得：（6）将乘以再加入式，有：因为x 1（a），x 2（a）表示f取极值时与a对应的x，因此f1g 10，f2g 20。所以从直观上解释，这一证明是从拉格朗日表达式中推导出
24、来的，因此能够保证x取到最优值。（7）根据例2 .8有：面积Ax y，约束条件为P2 x2 y，所以Ax（0 .5 Px），从而即周长P增加一个单位时，面积增加0 .1 2 5 P个单位。拉格朗日乘数通过f1f2（g 1g 2）yx4 0施加约束，由此可求得拉格朗日乘数为0 .2 5（xy）0 .1 2 5 P。1 3泰勒逼近泰勒定理说的是任意函数在任意光滑点附近都可以用一系列原函数及微分的线性组合近似表示。下面是泰勒定理在一元函数和二元函数中的运用。（1）任意连续和可导的一元函数f（x），在a点附近可以用下列等式逼近：f（x）f（a）f（a）（xa）0 .5 f（a）（xa）2有关的f，f，
25、。仅用前三项逼近就称为二次泰勒逼近。对f（x）中的凹函数使用二次泰勒逼近可以说明，任何凹函数要么正好在a点的切线上，要么在a点的切线下方。（2）任意二元函数f（x，y）在点（a，b）处的二次泰勒逼近为：f（x，y）f（a，b）f1（a，b）（xa）f2（a，b）（yb）0 .5 f1 1（a，b）（xa）22 f1 2（a，b）（xa）（yb）f2 2（yb）2 同样的，使用上述逼近可以说明，任意的凹函数（由f1 1 f2 2f1 2 20定义）要么正好在点（a，b）的切线上，要么在点（a，b）的切线下方。证明：（1）f（x）在a点的二次泰勒逼近式为f（x）f（a）f（a）（xa）0 .5 f
26、（a）（xa）2因为f（a）0，（xa）20可得f（x）f（a）f（a）（xa）上面的方程表明的是f（x）在a点的切线方程，因此，任何凹函数要么位于a点的切线上，要么在该点切线的下方。（2）f（x，y）在（a，b）点的二次泰勒逼近式为f（x，y）f（a，b）f1（a，b）（xa）f2（a，b）（yb）0 .5 f1 1（a，b）（xa）22 f1 2（a，b）（xa）（yb）f2 2（yb）2 根据凹函数的性质，有上面的方程表明的是f（x，y）在（a，b）点的切线方程，因此，任何凹函数要么位于（a，b）点的切线上，要么在该点切线的下方。1 4由于期望这个概念在经济学理论中有很重要的作用，下面将
27、会在这里进一步总结这个统计学概念的性质。贯穿这个问题，我们都假设x是一个连续随机变量，概率密度函数为f（x）。（1）（Jen sen不等式）假设g（x）是一个凹函数。证明Eg（x）g E（x）。提示：在点E（x）处作函数g（x）的切线。这个切线的性质是，对所有的x和cd E（x）g E（x）都有cd x g（x），其中c和d是常数。（2）用（1）中的方法证明如果g（x）是凸函数，那么有Eg（x）g E（x）。（3）假设x只能取非负值，即0 x ，使用分步积分法证明：其中，F（x）是x的累积分布函数 。（4）（马尔科夫不等式）证明，如果x只能取正值，则下面的不等式成立：提示：（5）考虑概率密度函
28、数f（x）2 x3，其中x 1。证明上述函数确实是一个概率密度函数。求出其累积分布函数F（x）。使用（3）中的结果计算其期望。证明这个函数满足马尔科夫不等式。（6）在一些经济学问题中会用到条件期望这个概念。即在某些事件发生的条件下，x的期望表示为E（xA）。计算条件期望需要知道在事件A发生的条件下x的概率密度函数（用f（xA）表示）。定义了上述表达式，可以得到下面用一个例子来说明这些关系。令f（x）x 2 /3，其中1 x 2证明上述函数是一个概率密度函数。计算期望E（x）。计算1 x 0的概率。考虑事件0 x 2，并记为事件A。求解f（xA）。计算E（xA）。在直觉上解释上述结果。证明：（1
29、）在点E（x）处作函数g（x）的切线，则对所有x和cd E（x）g E（x）有cd x g（x）因此Eg（x）E（cd x）cd E（x）g E（x）。（2）在点E（x）处作函数g（x）的切线，则对所有x和cd E（x）g E（x）有cd x g（x）因此Eg（x）E（cd x）cd E（x）g E（x）。（3）所以，对于0 x ，有（4）马尔科夫不等式证明如下：（5）对任意x 1，有f（x）0，且所以，f（x）是密度函数。f（x）的累积分布函数f（x）的期望函数因为又x 1，则有，从而所以，f（x）满足马尔科夫不等式。（6）对任意1 x 2，有f（x）x 2 /3 0，且所以，f（x）是概率
30、密度函数。f（x）的期望函数由以上结果可知：要消除x的最低值，应增加剩余值的预期值。1 5从随机变量方差的定义式出发，可以推导出一些结论。（1）证明Var（x）E（x 2）E（x）2。（2）使用马尔科夫不等式（练习题1 4（4）证明下面的不等式成立，其中x为非负数。这一结果告诉我们一个随机变量偏离期望的程度是有限制的。令kh ，上述结果可以转化为：举个例子，一个随机变量偏离期望超过两个标准差的概率永远小于0 .2 5，这个结果也被称为切比雪夫不等式。（3）Var（xy）Var（x）Var（y）2 Co v（x，y）说明，如果两个（或两个以上）的随机变量是独立的，那么它们的和的方差等于方差的和。
31、把这一结果推广到n个随机变量，每个随机变量的期望和方差都是和2。这n个随机变量的和的期望为n ，方差为n 2。这n个随机变量的均值的期望为，方差为2n。这有时被称为大数定理：随着随机变量个数的增加，其均值的方差会逐渐收敛到0。（4）利用（3）的结果证明，如果x 1和x 2是两个同期望、同方差的独立随机变量。这两个随机变量的加权平均值Xk x 1（1k）x 2（0 k 1）的方差在k0 .5时取到最小值，那么合理设置k的取值能够使X的方差减少多少？（5）如果（4）中的两个随机变量方差不相等，最后的结果会发生怎样的变化？解：（1）根据方差的数学定义得：（2）根据马尔科夫不等式，有：令kh ，则有：
32、（3）如果两个（或两个以上）的随机变量是独立的，即：如果x，y相互独立，则有Var（xy）Var（x）Var（y）对于相互独立的n个随机变量，其期望和方差满足：E（x i），Var（x i）2，i1，2，n则这n个随机变量和的期望和方差分别为：E（x 1x 2x n）E（x 1）E（x 2）E（x n）n Var（x 1x 2x n）Var（x 1）Var（x 2）Var（x n）n 2这n个随机变量的均值的期望和方差分别为：随着随机变量个数n的增加，其均值方差的极限为：（4）由题意得，X的方差为：Vark x 1（1k）x 2 k 2（1k）2 2（2 k 22 k1）2一阶条件满足：（4
33、k2）20解得，k0 .5，又二阶导数为4 2 0，所以此时X的方差达到最小值，为：（5）此时，方差为一阶条件满足：解得：1 6这里介绍一些与随机变量x 1和x 2的协方差有关的关系式。（1）证明Co v（x 1，x 2）E（x 1 x 2）E（x 1）E（x 2），上述关系的一个重要应用就是，当Co v（x 1，x 2）0时，E（x 1 x 2）E（x 1）E（x 2），即随机变量乘积的期望等于这两个随机变量期望的乘积。（2）证明Var（ax 1b x 2）a2 Var（x 1）b 2 Var（x 2）2 ab Co v（x 1，x 2）。（3）在第1 5题第（4）问中，我们计算了Xk x
34、1（1k）x 2（0 k 1）的方差。如果Co v（x 1，x 2）0，上面的结论当k0 .5时，X的方差最小，是否还成立？（4）两个随机变量的相关系数定义为：分别从数学上和直观上解释为什么1 Co rr（x 1，x 2）1。（5）假设随机变量y是x的线性变换yx。证明：这里，也被称为y关于x的回归系数。如果使用真实数据，上述表达式也被称为最小二乘（OLS）回归系数。解：（1）根据协方差数学定义得：当Co v（x 1，x 2）0时，有：E（x 1 x 2）E（x 1）E（x 2）（2）由方差的定义得：（3）此时，有：一阶条件为：解得：且二阶导数为：4 Var（x 1）4 Co v（x 1，x
35、2）0，因此结论依然成立。（4）有：根据柯西施瓦茨不等式，有：因此：Co rr2（x 1，x 2）1。所以1 Co rr（x 1，x 2）1。从直观上理解，相关系数度量的是两个变量之间的相关关系，当两个变量之间正线性相关时，相关关系最强，此时相关系数为1；当两个变量之间负线性相关时，相关关系最弱，此时相关系数为1。两个变量之间的相关关系介于正线性相关和负线性相关之间，因此相关系数介于1到1之间。（5）随机变量y是x的线性变换yx时，y和x的相关系数为：由于y与x正线性相关，所以Co rr（x，y）1，从而第二篇选择与需求第3章偏好与效用1画出下列函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸的（即它们的
36、边际替代率是否随着x递增而递减）。（1）U（x，y）3 xy（2）（3）（4）（5）U（x，y）x y /（xy）解：（1）无差异曲线如图3 -7所示，为一组直线。边际替代率为：MRSMUx /MUy3 /13，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。图3 -7完全替代型的无差异曲线（2）无差异曲线如图3 -8所示，为性状良好的无差异曲线。其边际替代率为：即随着x的递增，MRSx y将递减，因而是凸状的无差异曲线。图3 -8凸状的无差异曲线（3）无差异曲线如图3 -9所示。边际替代率为：MRSMUx /MUy0 .5 x0 .5即随着x的递增，边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效
37、用函数。图3 -9拟线性型的无差异曲线（4）无差异曲线如图3 -1 0所示。边际替代率为：即随着x的递增，边际替代率递增，无差异曲线不是凸状的。图3 -1 0凹状的无差异曲线（5）无差异曲线如图3 -1 1所示。边际替代率为：即随着x的递增，边际替代率递减，无差异曲线是凸状的。图3 -1 1凸状的无差异曲线2在本章脚注7里我们曾说明，为了使两种商品的效用函数具有严格递减的边际替代率（即曲线呈严格拟凹），必须满足下列条件：利用这一条件检验第1题中的各效用函数无差异曲线的凸性。写出你在解题过程中发现的边际效用递减和拟凹性之间的关系的种种情况。说明：本书认为教材所给的曲线呈严格拟凹需满足的条件有误，
38、特别做出更正。解：（1）对于效用函数U（x，y）3 xy，有：Ux3，Uy1；Ux x0，Uy y0，Ux y0则即当两种商品的边际效用不变时，效用函数不是严格拟凹的。（2）对于效用函数有：则即当两种商品的边际效用递减时，效用函数是严格拟凹的。（3）对于效用函数有：则即当一种商品的边际效用递减，另一种商品的边际效用不变时，效用函数是严格拟凹的。（4）对于效用函数有：则有：当时，当xy时，无差异曲线为一条从原点出发斜率为1的直线，此时效用U0。因此该效用函数并不是严格拟凹的。（5）对于效用函数U（x，y）x y /（xy），有：则即当两种商品的边际效用递减时，效用函数是严格拟凹的。3对于下列效用
39、函数：（1）U（x，y）x y（2）U（x，y）x 2 y 2（3）U（x，y）ln xln y证明它们的边际替代率都是递减的，但显示的边际效用却分别是不变、递增和递减的。你能从中得出什么结论？证明：（1）Uxy，Ux x0，Uyx，Uy y0，MRSy /x；（2）Ux2 x y 2，Ux x2 y 2，Uy2 x 2 y，Uy y2 x 2，MRSy /x；（3）Ux1 /x，Ux x1 /x 2，Uy1 /y，Uy y1 /y 2，MRSy /x。从以上分析可知，单调变换会影响边际效用，但是不会影响边际替代率MRS。4如图3 -1 2所示，为证明无差异曲线的凸性，一种方法是证明在一条满足
40、Uk的无差异曲线上的任意两点（x1，y 1）和（x 2，y 2），点上的效用不小于k。试用这种方法讨论下面三个函数的无差异曲线的凸性，并将你的结果用图形表示出来。（1）U（x，y）min（x，y）（2）U（x，y）max（x，y）（3）U（x，y）xy图3 -1 2利用图形判断凸性解：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：U（x 1，y 1）x 1kU（x 2，y 2）x 2U（x 1x 2）/2，（y 1y 2）/2 （x 1x 2）/2如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：y 1x 1ky 2x 2因而有：（x 1x 2）/2k和（y 1y 2）/2k从而可知无差异曲线如图3 -
41、1 3所示，是凸状的。（2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：U（x 1，y 1）x 1kU（x 2，y 2）x 2U（x 1x 2）/2，（y 1y 2）/2 （x 1x 2）/2如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：y 1x 1ky 2x 2因而有：（x 1x 2）/2k，（y 1y 2）/2k从而可知无差异曲线如图3 -1 3所示，不是凸状的，而是凹状的。（3）在完全替代型的效用函数下，有：U（x 1，y 1）U（x 2，y 2）U（x 1x 2）/2，（y 1y 2）/2 因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。图3 -1 3利用图形来判断无差异曲线的性
42、状5Ph illie Ph an atic总是以他独特的方式来吃自己带到球场的食物 一英尺长的热狗肠配半块圆面包，1盎司芥末和2盎司酸黄瓜。他的效用是这四种物品的函数，并且其中单一元素的增加是没有价值的。（1）他的的效用函数是哪种类型？（2）如何通过将他的效用函数视为单一商品的函数来简化问题？这个商品是什么？（3）假设一英尺长的热狗肠的成本是1美元，每个圆面包的成本是0 .5 0美元，一盎司芥末的成本是0 .0 5美元，一盎司酸黄瓜的成本是0 .1 5美元，（2）中的商品的成本是多少？（4）如果热狗肠的价格上升5 0 %，（2）中的商品的价格上升的百分比为多少？（5）如果面包的价格上升5 0
43、%，这将会对商品的价格造成什么样的影响？你的答案为什么和（4）中的不同？（6）如果政府想通过征收Ph illie Ph an atic买的那四种商品的税来获得1美元税收，试问政府应该如何分配税额以使他损失的效用最小？解：（1）如果h代表热狗肠，b代表圆面包，m代表芥末，r代表酸黄瓜，则Ph illie Ph an atic的效用函数可以表示为：U（h，b，m，r）min（h，2 b，m，0 .5 r），这是完全互补函数。（2）可以将Ph illie Ph an atic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗肠。（3）该种商品的价格是：10 .5 0
44、 .50 .0 52 0 .1 51 .6（美元）。（4）如果热狗肠的价格增至1 .5美元，则该商品的价格为：1 .50 .5 0 .50 .0 52 0 .1 52 .1（美元）。因此，该种商品的价格上涨幅度为：（2 .11 .6）1 .6 3 1 %。（5）如果圆面包的价格增至0 .5 （10 .5）0 .7 5（美元），则该种商品的价格为：10 .5 0 .7 50 .0 52 0 .1 51 .7 2 5（美元）。因此，该种商品的价格上涨幅度为：（1 .7 2 51 .6）1 .6 7 .8 %。（6）提高价格以使完全调配好的热狗肠的价格增至2 .6美元，从而在征税1美元的情况下，这将
45、等价于购买力的总额减少。为使Ph illie Ph an atic的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按1：2：1：0 .5进行分担。即对每英尺热狗肠征税0 .2 2美元，每单位圆面包征收0 .4 4美元，每盎司芥末征收0 .2 2美元，每盎司酸黄瓜征收0 .1 1美元，此时Ph illie Ph an atic的效用成本最小。6很多广告词都像是在断言某种人们的偏好。请用不同的效用函数描述下列广告词。（1）人造黄油和天然的一样棒。（2）一切都因可口可乐变得更好。（3）品客薯片一口停不住。（4）脆脆皮的甜甜圈就是比唐肯的好。（5）米勒酒提醒我们“负责任”地饮酒。
46、（“不负责任地”饮酒又会是什么样子？）解：（1）如果用p代表人造黄油消费量，b代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：U（p，b）pb这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1：1。（2）如果用x代表其他商品的消费量，y代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表示为：U（x，y），且满足例如效用函数U（x，y）2 x y就可以表示这种偏好。（3）如果用p代表品客薯片的消费量，x代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：U（p，x）U（1，x），对于所有的p1以及x成立。（4）如果用k代表脆脆皮的甜甜圈的消费量，d代表唐肯甜甜圈的消费量，x代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为
47、：U（k，x）U（d，x），对于所有的kd成立（5）如果用U代表其他人的效用水平，x代表其他商品的消费量，b代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：U（x，b，U），且满足（这表示他有利他偏好，说明他喝酒是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。7（1）考虑某人消费两种商品x和y，当他拥有6单位x和5单位y时，他愿意用3单位x换取1单位y，当他拥有1 2单位x和3单位y时，他愿意用6单位x换取2单位y。并且消费束（6，5）和（1 2，3）对他而言没有差异，试问他的效用函数是怎样的？提示：考虑无差异曲线的形状。（2）考虑某人消费两种商品x和y，在消费束（8，1）处，他愿意用4单位x换取1单位
48、y，在消费束（4，4）处，他愿意用1单位x换取2单位y，并且两个消费束于他而言无差异。假设他的效用函数为柯布道格拉斯函数形式，U（x，y）x y ，和均为正，试求解和。（3）问题（2）中的信息有多余吗？若要求解出效用函数，至少需要哪些信息？解：（1）对于该消费者来说，两种商品x和y之间可以按照固定的比例替代，MRSx y1 /32 /61 /3。所以说，商品x是y的完全替代品。效用函数：U（x，y）x3 y效用函数形状为一条直线。（2）对于柯布道格拉斯函数形式U（x，y）x y ，其边际替代率MRSy /（x）。在消费束（8，1）处，他愿意用4单位x换取1单位y，则MRS/（8 ）1 /4，2
49、 。在消费束（4，4）处，他愿意用1单位x换取2单位y，则MRS4 /（4 ）2 /1，2 。因为效用函数在单调映射下是唯一的，所以一般规定1，从而可解得2 /3，1 /3。（3）有多余的信息，即我们没有使用这两点位于同一条无差异曲线上这个信息。当效用函数是柯布道格拉斯函数形式时，若要求出效用函数，只需要知道MRS以及在某一点的x和y值就可以了。8考虑下述三种无差异曲线，找出相对应的效用函数（定义）（1）（2）（3）解：（1）对于进行等式变形得：kU（x，y，z）x y z（2）对于进行变形得：kU（x，y）x 2x yy 2（3）对于进行等式变形得：kU（x，y，z）x 2 yy 2 zx
50、z29初始禀赋假设给某人提供效用的商品，其初始数量为和。（1）在此人的无差异曲线图上标出这两个初始数量。（2）如果此人可以用x和别人交换y，他将会做怎样的交易？不会做怎样的交易？这些交易和此人在点时的MRS有何关联？（3）假设此人在拥有初始数量的商品时已比较快乐，要是交易给他增加的效用小于k，他根本懒得去做，你怎样在无差异曲线图上标出这一点？解：（1）此人无差异曲线如图3 -1 4所示，它的初始商品拥有量为图中的A点。图3 -1 4无差异曲线及交换活动对效用的影响（2）任何不同于在（，）处的MRS的交易机会都有可能提高效用水平。如图3 -1 4所示，代表了提高效用的交换。（3）对初始商品组合的
