1、1第四届文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛承 诺 书我们仔细阅读了第四届文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛的选手须知 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的竞赛编号为：10497158 我们的选择题号为： A 参赛
2、队员（打印并签名）：队员 1： 鲁 娜 队员 2： 李显俊 队员 3： 肖云杰 （以下内容参赛队伍不需要填写）评阅编号： 武汉工业与应用数学学会第四届文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛竞赛组委会2城市居民食品零售价格走势模型摘要消费价格指数 CPI，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标对食品零售价格进行预测有着积极意义。针对问题一，根据附件所给的相关数据建立零售价格标准差模型，利用excel 对数据进行出来，分析，作图，根据标准差公式计算出每种食品的价格波动情况，从而将食品分为五类。第一类鲜猪肉（精瘦肉
3、） ，鲜牛肉，鲜羊肉（新鲜去骨） ，鲜羊肉（新鲜带骨） ；第二类花生油，鲜猪肉（肋条肉） ，活鸡，带鱼，；第三类鸡肉，豆角，蒜苔，绵白糖，红糖；第四类菜籽油，大豆油，大豆调和油，鸡蛋，草鱼，鲤鱼，芹菜，油菜，黄瓜，茄子，西红柿，青椒，尖椒，韭菜，芦柑，苹果，西瓜，白砂糖，酱油，醋，鲜牛奶；第五类大白菜，萝卜，土豆，胡萝卜，圆白菜，香蕉，豆腐，食用盐。针对问题二，建立是以 GM(1,1)（即 GM(1,N)当 N=1 时的特例）模型为基础的灰色预测模型。利用 MATLAB 编程求解各种食品零售价格的预测模型，模型建立后利用 MATLAB 进行模型的关联度检验，后验差检验，残差检验。带入 k 值求
4、出 4，5 月份各种食品的零售价格，将 4 月份的预测值与实际值比较，分析各种食品预测值与实际值的误差。针对问题三，在问题一，问题二的基础上进行总结，分析，结合实际情况给出相关意见。3关键词：CPI 标准差 GM(1,1) 灰色预测1.问题重述消费者物价指数（Consumer Price Index） ，英文缩写为 CPI，也也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标。城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分，权威机构研究认为粮食生产、流通成本上涨一定会带动农产品价格总体上涨，特别是
5、 2011 年异常的气候情况，导致生产成本大量增加，国际粮价对国内供需的影响，食品价格未来可能发生上涨。刚公布 3 月份的 CPI 增幅达 5.4%，创 32 个月来的新高，这使得年内的通货膨胀压力正在增强。根据以上信息完成以下三个问题问题一：根据附录建立数学模型，将所涉及食品适当分类，并分析每类食品的特点；问题二：根据附录建立数学模型，预测 2011 年 4、5 月的城市居民食品零售价格走势；问题三：写一篇城市居民食品零售价格情况分析和对有关部门建议的文章。2.模型假设与符号说明响2.1 模型假设通过历史数据计算每个月的食品零售价格与全年食品价格的关系，从而可以预测出正常情况下 2011 年
6、 4，5 月食品零售价格走势，再与实际值比较可以估算出国际粮价对国内供需的影响。给出如下假设（1） 假设给出的统计数据都是可靠准确的（2） 假设给出数据不受特殊因素影2.2 符号说明 ix第 种食品零售价格的平均值iija第 种食品的 次统计时的价格jA每种食品价格统计的总次数iy第 种食品的标准差i3.问题分析问题一的分析：问题一要求建立数学模型，将食品适当分类，并且分析食品的特点。附件给出了每种食品在 2010 年 3 月到 2011 年 3 月每月上，中，下旬的价格，根据所给的数据可以很方便求出每种食品零售价格的平均值， ，再根据零售价格的平均值可以求出每种食品在统计期间的标准差。根据所
7、有食品标4准差可以将标准差划分为 6 个区域，将标准差在同一个区域的食品划分为一个类别，然后再根据不同区域对食品的特点进行分析，比较。问题二的分析：城市居民食品零售价格是影响人民生活水平重要因素之一，对食品零售价格进行预测有着积极意义。时间序列分析方法是通过历史数据揭示时间数据随时间变化的规律，将这种规律延伸到未来，从而做出预测的方法。根据题意，采用求和自回归移动平均模型，即 ARIMA（p,d,q）模型，该模型是一种预测精度相当高的动态数据建模方法。4.模型的建立与求解分析4.1 问题一的求解4.1.1 模型的建立问题一要求建立模型，将食品进行分类，根据附件所给的相关数据，先对一种类型的所有
8、数据求平均值，再求标准差，将所有物品的标准差按其所在的区间进行划分。建立如下标准差模型：（ 1，2， ，42 ； 1，2，39）ijiaxAj(1)（ 1，2， ，42 ； 1，2，39）ijiiyj (2)式中： 表示第 种食品零售价格的平均值；ixi表示第 种食品的 次统计时的价格；ijaj表示每种食品价格统计的总次数；A表示第 种食品的标准差。iyi4.1.2 求解与分析采用 excel 对数据进行出来和求解平均值，方差，标准差得到如下结果：表 1 各种食品的标准差商品名称 规格等级 计量单位 平均值 方差 标准差菜籽油 散装 元/500 克 5.103611 0.232806 0.92
9、2415大豆油 散装 元/500 克 4.688333 0.245853 0.870957花生油 一级桶装 元/5 升 10.375 0.591549 1.759091大豆调和油 一级桶装 元 /5 升 5.279083 0.310724 0.975664鲜猪肉 精瘦肉 元/500 克 12.09222 1.423962 2.09297鲜猪肉 肋条肉 元/500 克 8.218611 1.441323 1.615888鲜牛肉 新鲜去骨 元/500 克 16.78167 0.354331 2.728784鲜羊肉 新鲜去骨 元/500 克 17.8475 3.585474 2.97344鲜羊肉 新
10、鲜带骨 元/500 克 15.92389 2.458479 2.676479活鸡 活肉鸡 1-1.5 公斤 元/500 克 11.05278 0.824659 1.885572鸡肉 白条鸡、开 膛 上等 元/500 克 8.389444 0.508766 1.4592335鸡蛋 新鲜完整 鸡场蛋 元/500 克 3.972222 0.356328 0.831125带鱼 冻 250 克左右 元/500 克 9.377222 1.832698 1.811369草鱼 活 1000 克左右一条 元/500 克 5.4375 0.192563 0.954615鲤鱼 活 500 克以上一条 元/500 克
11、 5.595833 0.048263 0.925657芹菜 新鲜一级 元/500 克 2.709167 0.320147 0.679477大白菜 新鲜一级 元/500 克 1.270278 0.141042 0.413264油菜 新鲜一级 元/500 克 1.991667 0.618364 0.80702黄瓜 新鲜一级 元/500 克 2.208056 0.34461 0.653204萝卜 新鲜一级 元/500 克 0.971667 0.039219 0.247063茄子 新鲜一级 元/500 克 3.15 0.627078 0.881835西红柿 新鲜一级 元/500 克 2.681667
12、0.258169 0.636988土豆 新鲜一级 元/500 克 2.003889 0.122863 0.461144胡萝卜 新鲜一级 元/500 克 1.902778 0.036226 0.356274青椒 新鲜一级 元/500 克 2.67 0.302233 0.66453尖椒 新鲜一级 元/500 克 4.359167 0.470063 0.924872圆白菜 新鲜一级 元/500 克 1.345 0.111375 0.385244豆角 新鲜一级 元/500 克 4.095278 1.105786 1.145027蒜苔 新鲜一级 元/500 克 5.838333 0.892353 1.2
13、2963韭菜 新鲜一级 元/500 克 2.683333 0.208678 0.603485芦柑 一级 元/500 克 2.5575 0.26043 0.626296苹果 红富士 一级 元/500 克 4.405278 0.250703 0.835554香蕉 国产 一级 元/500 克 2.783611 0.02579 0.474594西瓜 当地主销 一级 元/500 克 2.002778 0.238853 0.560605豆腐 无包装 元/500 克 2.19 0.0036 0.359585食用盐 精致含碘盐 元/500 克 1.3 0.00 0.210888绵白糖 当地主销 (袋装) 元/
14、500 克 8.108889 0.451671 1.40799白砂糖 当地主销 (袋装) 元/500 克 4.729167 0.477969 0.96987红糖 当地主销 (袋装) 元/500 克 5.969722 0.350619 1.082611酱油当地主销 瓶装 500ml元/瓶 5.214444 0.003225 0.847225醋当地主销 瓶装 500ml元/瓶 3.608333 0.045375 0.6149956鲜牛奶 当地主销 (袋装) 元/500 克 3.365278 0.004414 0.549128根据所求的标准差，在 excel 里面制图，得到如下标准差的图形，如图 1
15、 所示：根据所得到的图形，可以将食品的零售价格根据其标准差所在的范围分为5 大类。第一类为食品零售价标准差在 23 之间，该类食品包括鲜猪肉（精瘦肉） ，鲜牛肉，鲜羊肉（新鲜去骨） ，鲜羊肉（新鲜带骨） ；第二类食品零售价标准差在 1.52 之间，该类食品包括花生油，鲜猪肉（肋条肉） ，活鸡，带鱼；第三类食品的零售价标准差在 11.5 之间，该类食品包括鸡肉，豆角，蒜苔，绵白糖，红糖；第四类食品的零售价标准差在 0.51 之间，该类食品包括菜籽油，大豆油，大豆调和油，鸡蛋，草鱼，鲤鱼，芹菜，油菜，黄瓜，茄子，西红柿，青椒，尖椒，韭菜，芦柑，苹果，西瓜，白砂糖，酱油，醋，鲜牛奶；第四类食品的零售
16、价标准差在 00.5 之间，该类食品包括大白菜，萝卜，土豆，胡萝卜，圆白菜，香蕉，豆腐，食用盐第一类食品主要是鲜肉类，此类提供此类食品的动物需要较长的生长周期并且生产成本比较大，受多重因素的影响，因此价格涨幅最大。第二类食品的主要提供者为植物或小型动物，其生长周期较短并且生产成本相对于第一类食品而言较小影响因素较也比第一类小，对于鲜猪肉（肋猪条）来说受大众欢迎称成度较小，因此第二类食品价格涨幅比第一类小。第三类食品相比较而言较易储存，对于其中的青菜而言由于受季节或是供应地的影响是价格较其他蔬菜波动比较大，因此总体来说价格涨幅较小。第四类食品中的蛋类鱼类及蔬菜生产周期较小且受外界因素影响较少，而
17、对于油类是人们日常生活的必备并且较易储存，因此总体价格涨幅并不明显。第五类食品多为较易储存，因此价格涨幅最小。4.2 问题二的求解4.2.1 模型的建立7我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体如果系统内部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统对于这类系统，内部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大判别灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多
18、的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作这就产生了灰色预测灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以 GM(1,1)（即 GM(1,N)当 N=1 时的特例）模型为基础的采用灰度预测建立如下模型：设 X(0)=(X(0)(1),X(0)(2),X(0)(n)，做 1AGO，得(1)()(1)(),2,()()(0)(1)(0),nX则 GM(1,1
19、)模型相应的微分方程为：（3）(1)()daut式中： a 称为发展灰数； 称为内生控制灰数设 =(a,)T，按最小二乘法得到（4）1()TBY其中 (1)(1)()()(1)(1)2232XBXn(0)1(0)3YXn易求得，方程（1）的解为8（5）(1)(0)1akuXke4.2.2 模型的检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验（1）残差检验按预测模型计算 ，并将 累减生成 ，然后计算原始序列(1)Xi(1)i(0)XiX(0)(i)与 的绝对误差序列及相对误差序列0(0)(0)(0)| |1,2iiin()01%,iiXi（2）关联度检验选取参考数列 0 00()|1,2
20、(1),(2,()XknXn 其中 k 表示时刻假设有 m 个比较数列()|,(),(,()1,2ii iiiim 则称（6）0 0in|()|ax|() ()i ik iki i iiXkXk为比较数列 Xi对参考数列 X0在 k 时刻的关联系数，其中 0,1为分辨系数，一般取 =0.5称式（6）中 | X0(k)-Xi(k)|、 | X0(k)-Xi(k)minmaxik|分别为两级最小差和两级最大差由（6）式易看出， 越大，分辨率越大； 越小，分辨率越小（7）1()niikr为数列 Xi对参考数列 X0的关联度（3）后验差检验1.计算原始序列标准差： (0)(0)211XiSn92.计算
21、绝对误差序列的标准差： (0)(0)221iSn3.计算方差比： 21SC4.计算小误差概率：(0)(0)1|.6745PpiS令 则 (0)(0)1|,.,ieiS0iPpe表 7 检验标准PC0.950.35好8合格.7.6勉强合格005不合格若残差检验、关联度检验和后验差检验都能通过，则可以用所建模型进行预测；若用原始时间序列 X(0)建立的 GM(1,1)模型检验不合格或精度不理想时，这时要对建立的 GM(1,1)模型进行修正或提高模型的预测精度其修正方法如下：设原始时间序列 X(0)建立的 GM(1,1)模型为(1)(0)1aiuie可获得生成序列 X(1)的预测值 ，即对于 ，(1
22、)(1)()(1)(1),2,XXn有预测序列 ，定义残差为(1)()()(),2,n10(0)(1)(1)ejXjj若取 j=i,i+1,n,则与 X(1)及 对应的残差序列为(1)(0)()(0)(0),eieen为便于计算上式改写为(0)()(0)(0)1,2,eene(0)的累加生成序列为(1)()(1)(1),2,eenie(1)可建立相应的 GM(1,1)模型：(1)(0)1eakueke的导数 加上 修正 ，(1)ek(1)(0)(1)eakeeka(1)k(1)Xk得修正模型： (1)(1)(0) (0)1(1)eakakeuuXkea其中 为修正系数,2()0kk最后给出经过残差修正的原始序列预测模型： (0)(1)(1),2)XkkXk4.2.3 求解与分析 对菜籽油进行灰度预测构造数据矩阵 B 和数据向量 并计算出 1YTB1TBY(372963.80975 -3147.09000;-3147.09000 3500000)T
