1、2012 年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等) 与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写)： 我们的参赛报
2、名号为(如果设置报名号的话)： 所属学校(请填写完整的全名)： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 年 月 日评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：2012 年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表评阅人评分备注0小额民间借贷风险评估摘 要本文首先根据问题要求，以贷款公司为主体的民间短期小额贷款建立风险最小，收益最高的风险评估模型。其次，分析了月利息与折价率是通过何种途径来影响总收益的，在分析中发现，月利息和折价率通过客户数、贷款额形成了一个反馈调节系统（见图 1） ，公司可以利用这个调节系统来改变及掌控借贷风险与利
3、益的关系。在解决借贷还款时，引入 0-1 规划方案，很好的解决了区分在借款人中有能力还款与不能够按时还款的决策问题。在预测二手汽车未来价格和房产市场走势时运用 GM(1.1)灰色预测模型，得到了很好的预测结果。在确定四种抵押物的权重（0.2583：0.0750:0.4650:0.2017）时，骗积分的，使用到了层次分析法，大大降低了客观因素的影响，比较真实的反应了民间借贷情况。最后，问题求解用到了 MATLAB 软件，借用其强大的数据可视化和数据模拟功能得到了与现实很相符的随机收益值，并且最终得出了该民间小额贷款公司的年总收益值为 822.3893 万元。并能够直观的看出由 P（P ：为借款人
4、能够还款的概率，与借款人借款目的和还款能力直接相关.）引起的借贷风险。关键词：GM(1.1)模型预测；层次分析法；风险-利益模型；MATLAB 软件1一、问题的提出现某民间小额借贷公司，拥有流动资金 2000 万元，为了规避风险，主要进行有抵押的短期小额贷款，抵押实物主要有汽车（分全额付款与按揭汽车）和房产（分全额付款与按揭房产） ，它们的贷款利息如表 1：表 1：实物抵押贷款利息表抵押物 产权形式 贷款费用 折价率 月利息 付息方式汽车 全额付款资产评估与抵押公证等费用1200 元，每天停车费 20 元。市场价 70% 3-5% 月初付汽车 按揭资产评估与抵押公证等费用1500 元，每天停车
5、费 20 元。市场价的60%*首付比率6-8% 月初付房产 全额付款资产评估与抵押公证等费用2400 元，市场价 80% 4-6% 月初付房产 按揭资产评估与抵押公证等费用2800 元，市场价的60%*首付比率7-9% 月初付请查找资料，分析民间贷款的现状，结合房产市场和二手汽车（抵押的汽车均为二手车）的价格走势，在贷款合同里已规避了国家规定的利息不高于银行利率 4 倍的问题，建立该公司风险评估模型，确定折价率和月利息，使得风险最小，收益最高。二、基本假设（1）假设为了降低风险，公司主要进行短期有抵押的小额贷款，而且抵押实物仅为汽车和房产；（2）假设在贷款合同里已规避了国家规定的利息不高于银行
6、利率 4 倍的问题；（3）假设各贷款人与公司借贷的概率是均等的，同时还款的概率也是均等的；（4）假设将故意不还款的贷款人，归类到不能还款者的行列；（5）假设借贷一成功，房产和汽车都归贷款公司所有。（6）假设当抵押物为汽车时，贷款公司便已经将停车费纳入贷款费用范围内。三、建立模型23.1 问题的分析根据题目要求，分析民间贷款的现状，需要结合房产市场和二手汽车（抵押的汽车均为二手车）的价格走势。从而建立公司的风险评估模型，以使得该公司在风险最小的情况下，收益最大化。为了规避风险，主要进行有抵押的短期小额贷款，抵押实物主要有汽车（分全额付款与按揭汽车）和房产（分全额付款与按揭房产）因而，必须先建立一
7、个对房产市场和二手汽车（抵押的汽车均为二手车）的价格走势的预测模型。影响预测模型精确度的因素，一是历史数据是否可靠，二是预测方法是否科学、合理。本文依据我国权威机构定期发布的中房价格指数和全国二手车信息监测报告及价格指数进行整理和分析，为建立预测模型提供了可靠的数据来源。预测方法多种多样，而灰色预测法是其中较科学、准确的一种方法。由于 GM(1.1)模型是目前使用最为广泛的关于数据预测一个变量、一阶微分的灰色预测模型。所以，本文选用了 GM(1.1)模型对房产市场和二手车市场的价格走势进行预测。然后，借鉴国际同行业借贷方法和经验的基础上，结合我国当前借贷风险管理的实际情况，用层次分析法确定评定
8、指标权重；采用模糊综合评判从而建立一套比较可行的民间借贷管理体系 4。首先，进行 GM(1.1)模型 3的建立：设时间序列 有几个观察值： ，通过累加生成得到新)0(X ,21)(0)0( ntX序列 ，生成序列 相应的微分方程为：,21)1( nt1（1）uadt)()1(式 a 称为发展灰数， u 称内生控制灰数，设 为待估参数向量， ，利用最ua小二乘法求解得(2)nTYB1其中)2()1(2)3()(221)1)()(nXXB )(3)2(00nXYn将（2）求得的 代入（1） ，解微分方程，有（3）auetXt)0()(上式即为预测方程。3.1 模型的建立为了使公司受益最高，同时风险
9、尽量小，也就是谋求公司受益的最大化。所以必须理清楚模型中几个重要因素的关系，即（图 1）：3折价率客户数收益月利息 贷款额风险反馈调节图 1 模型中几个重要因素的关系图：3.1.1 折价率和月利息对客户数的影响本文认为折价率（ ）是公司发放借款的重要参数，月利息（ ）是公司收益的 重要因素。假如说借款人提供了全额付款的汽车作为抵押，汽车当时的市场价为 ，市M则公司将会借 的资金给借款人，每个月收取 的利息。市M市M根据客户选择公司的心理情况，可以知道折价率越高、月利息越低对客户越有利，客户选择该公司的几率 越大，建立线性函数 ：kPkP（4）32*1)()(kk其中：表示客户选择该公司的概率；
10、kP分别表示市场上的月利息和该公司的月利息；、分别表示市场上的折价率和该公司的折价率；、为常系数。321、假如在该公司范围内的市场额为 ，则该公司的客户数为：NPk3.1.2 客户数与贷款额的关系因为，公司为了能达到更大的收益，将会使自己的流动资金在风险变化不大时尽可能多的贷出去，以谋求利益的最大化。假设在客户数为 、流动资金为 的情况下，公司准备把更多的资金贷出去，NiM则每个借款人平均的借款额为： Ni贷3.1.3 贷款额与折价率和月利息的相互调节反馈调节因为借款人借款的金额不全是由公司决定，所以实际借款的多少是不确定的，而： NMi贷计算得出，如在借款人很少的情况下，借款额也不会是很多的
11、（超过 150 万） 。在理论贷款额 与公司规定的单次借出额出现较大偏差。贷M4当， 时，公司是不能更多的贷出自己的流动资金的。所以，公司M 规贷将用理论贷款额去反馈调节折价率和月利息，使 尽可能的得到满足。M 规贷贷款额月利息客户数折价率图 2 折价率和月利息与贷款额的反馈调节图如果，受到市场方面的影响，通过反馈调节实在是不能满足上面的条件，就只能减少贷出总资金。3.1.4 贷款额多少的正态分布从公司定的角度看，每一个借款人借款的原因受到许多相互独立随机因素的影响，而且借款的每个因素所产生的影响都很微小时，那么总的来说这个影响的因素可以看作是服从正态分布的。所以借款人与借款额存在如下的正态分
12、布关系：（5）2M-e1贷贷贷 f其中：表示在借款额为 时，借款人的密度；贷Mf 贷M表示借款人实际借款额；贷表示正态分布函数的标准差，由公司自主决定。所以，公司总共贷出的资金 ：总 贷贷总 dMf3.1.5 借贷中产生的风险本文认为借款方在借款后只有两种行为：还款和不还款。假设有一个人要借款，本文采用 01 规划对他的还款行为进行如下描述，即：能 完 全 还 款 还 款卖 掉 抵 押 物 也 不 能 完 全0AA 的分布规律如下表：A 0 1概率 1-P PP：为借款人能够还款的概率，与借款人借款目的和还款能力直接相关。5风险的产生主要来源于还款人能不能完全还款，而且公司无法控制还款人能不能
13、完全还款，于是减少风险成了借贷公司规避风险的主要任务。而减少风险的方法主要分为两种： 减少风险发生的几率； 减少风险带来的损失。于是，建立下面这个风险函数：（6） kpMkp11,R市市其中：表示借款到期后实际的折价率；表示风险常数。k3.2 在不同抵押物时风险和贷款额对利益的影响3.2.1 抵押物为全额汽车的风险利益模型如果，有一个借款人提供了一个市价为 的汽车作为抵押物，并借款成功。则市M会出现如下两种情况： 他完全还款（A=1） ，公司的盈利为： 市ttf daidai1062,21 不能完全还款(A=0), 公司的盈利为： 市市f poi0,所以，公司的利益为：（7）其中：表示合同上的
14、借款时间；dait表示借款人在不能完全还款的情况下提前停止还息的时。po如果，在贷款过程中，有 人选择全额支付汽车抵押借款，则公司总的收益为：1n（8）)()1(,05.3. ),(*11 kpRMfdfnshou市贷 贷其中：表示折价率的波动范围，由公司决定。在实际中，以上公式并不是连续的，积分改为离散点的求和。3.2.2 抵押物为按揭汽车的风险利益模型如果，有一个借款人提供了一个市价为 的汽车作为抵押物，并借款成功。也市M会出现如下两种情况： 01062 1),(1 AMttf podai dai 市市 市6 他完全还款（A=1） ，则公司的盈利为：cMttf daidai 市1062,1
15、 不能完全还款(A=0), 则公司的盈利为： tf poi 市市0,12所以，公司的利益为：（9）其中：表示合同上的借款时间；dait表示借款人在不能完全还款的情况下提前停止还息的时间；po表示按揭汽车的首付比率。c在有 人选择按揭汽车抵押借款中公司总的收益为：2n（10）)()1(,08.6. ),(*22 kpRcMfdfnshou市贷 贷其中：表示折价率的波动范围，由公司决定。在实际中，以上公式并不是连续的，积分改为离散点的求和。3.2.3 抵押物为全额付款房产的风险利益模型当，有一个借款人提供了一个市价为 的房产作为抵押物，并借款成功。也会市M出现如下两种情况： 他完全还款（A=1）
16、，公司的盈利为： 市tfdai,31 不能完全还款(A=0), 公司的盈利为： 市市po,2所以，公司的利益为：（11）其中：表示合同上的借款时间；dait表示借款人在不能完全还款的情况下提前停止还息的时间；po在有 人选择全额付款汽车抵押借款中公司总的收益为：3n)()1(,06.4. ),(*33 kpRMfdfnshou市贷 贷 （12） 01062 1),(2 Acttf podai dai 市市 市01),(3 AMtfpodai市市 市7其中：表示折价率的波动范围，由公司决定。在实际中，以上公式并不是连续的，积分改为离散点的求和。3.2.4 抵押物为全额付款汽车的风险利益模型当，有
17、一个借款人提供了一个市价为 的房产作为抵押物，并借款成功。也会市M出现如下两种情况：他完全还款（A=1） ，公司的盈利为： ctfdai市,41不能完全还款(A=0), 公司的盈利为： po市市,2所以公司的利益为：（13）其中：表示合同上的借款时间；dait表示借款人在不能完全还款的情况下提前停止还息的时间；po表示按揭房产的首付比率。c在有 人选择按揭房产抵押借款中公司总的收益为：4n（14）)()1(,09.7. ),(*44 kpRMcfdfnshou市贷 贷其中：表示折价率的波动范围，由公司决定。在实际中，以上公式并不是连续的，积分改为离散点的求和。3.3 GM(1.1) 模型的检验3.3.1 求残差 及相对误差 q)0(etXtte00)0(%1t计算小误差概率 16745.0SepP式中： nte1ntXtS1200 (15)01),(4 AcMtfpodai市市 市
