1、 1 第十章 通过带限线性滤波器信道的通信 第九章讨论的带限信道调制器和解调器的设计，是基于信道特性C(f)已知的。但实际数字通信系统中，一般不能准确地获得信道频率响应而用于发送和接收最佳滤波器的设计。本章研究在信道存在失真且先验未知及在 AWGN 条件下的接收机设计。信道失真会带来ISI，如不补偿会产生高的误码率。设计一个补偿ISI的接收机，此补偿器称为均衡器。 三种类型均衡器：1）基于ML序列检测准则，从误码率观点看，是最佳的；2）系数可调的线性滤波器；3）面向判决的判决反馈均衡。 101 有ISI和AWGN信道的最佳接收机 等效低通发送信号如式10-1-1所示 0()()nvtIgtnT
2、= (10-1-1) 等效低通接收信号可表示为 0()()()lnnrtIhtnTzt=+ (10-1-2) 式中， ()()()htgctdttt= （10-1-3） h(t)为信道对输入信号脉冲g(t)的响应，z(t)表示加性高斯白噪声。 最佳解调器可以看作一个与h(t)匹配的滤波器，其后跟随一个以符号速率1/T的采样器，及由采样值估计In的处理。 101 .1 有ISI和AWGN信道的最佳接收机 将接收信号 ()lrt展开为级数 1()lim()NlkkNkrtrft = (10-1-4) kf是完备标准正交函数集， 是()rt在f上的投影，可表示为 knknkrIhz=+ (10-1-
3、5) 其中， knhh(t-nT)在 f上的投影，zz(t)在 f投影。序列 kz是零均值、高斯的，且其方差为 2 *01()2kmkmEzzNd= (10-1-6) 12,.NNrrr=在发送序列 12,.ppIII条件下（pN）的联合概率密度函数为 210011(|)()exp()22NNNpknknknrIhNNp=rI （10-1-7） 在N趋于无穷大时，对数 (|)NprI与式10-1-8所表示的度量 ()pPM I成比例 22 *()()Re()()()()plnnlnlnnmnmPMrIhtnTdtrdtIrthtnTdtIIhtnThtmTdt= +2 I(10-1-8) 符号
4、 12,. pIII的最大似然估计值为使得该度量最大化的值。式10-1-8中第一项对所有度量是相同的，可以不考虑。 *()()()lnrthtnTdtyynT= (10-1-9) 10-1-9等效于将r(t)通过匹配滤波器，再以符号速率进行采样，利用 ny，产生等价于 ()pPM I的度量值 *()Repn nmnmnmCMIyIIx=2 (10-1-10) 其中， *()()()nxxnThthtnTdt=+ (10-1-11) 可以看出， 是具有冲击响应 h*(-t)对输入 h(t)的滤波器输出，即 x(t)是 h(t)的自相关函数。 将式10-1-2代入式10-1-9可得 0001()(
5、0,1,2.)knknknknknknnkyIxxIIxkxuu=+=+ =(10-1-12) ku是匹配滤波器输出的加性噪声序列 *()()kzthtkTdtu= (10-1-13) 由式10-1-12可以看出，匹配滤波器在采样时刻受到ISI的恶化。假定ISI影响有限数目的符号，即 nLx(n)=0。因此解调器输出端观测到的ISI可以看作有限状态3 输出，则ISI的信道输出可以用网格图表示，符号序列 12,. pIII的最大似然估计就是在给定yn情况下通过网格的最可能的路径，可以采用维特比算法进行网格搜索。 序列In 的MLSE所要计算的度量由式10-1-10确定，可以维特比算法的递推方式计
6、算。 *1101()()Re(22)LnnnnnnnmnmmCMCMIyxIxI=+II (10-1-14) 具有ISI的AWGN信道的最佳接收机的方框图如图10-1-1所示。 101 .2 具有ISI信道的离散时间模型 与公式 10-1-12 knknkyIx u=+对应的具有符号间干扰的信道的等效离散时间模型如图10-1-2所示。 图10-1-2 冲击响应为g(t)的发送机滤波器、冲击响应为c(t)的信道和冲击响应为h*(-t)的匹配滤波器的级联，用抽头为xk的等效离散横向滤波器表示，得到一个横跨2L个符号的离散横向滤波器。（注： ()()()htgctdttt=，发送滤波器和信道级联）
7、但直接采用这种模型难以对均衡或估计技术的性能进行评估，主要是由于噪声模型 ku相关性引起的，该噪声序列是相关的，而计算误码率时处理白噪声是比较方便的。4 因此对接收机匹配滤波器采样输出yk可以进行白化处理。 l 白化 任何有理功率谱密度的随机信号 x(n)都可假定由一白噪声 w(n)激励一物理网络 A（z）所形成，如图10-1-3所示。 A(Z)w(n) x(n) 图10-1-3 白噪声自相关函数和功率谱密度为 22()()()wwwwwwnnzjsds=常数 (10-1-16) 故x(n)的功率谱密度可表示为 21()()()xxwzAzAz= (10-1-17) 则 ()()()1()()
8、()XzAzWzWzXzAz=(10-1-18) 令A(z)是由圆内的零极点组成，A(z-1)是由相对应的圆外零极点组成，则A(z)是一个因果的并且是最小相位网络，因此可用式10-1-18白化x(n)。 l 采样输出yk白化处理 采样输出yk后级联一个白化滤波器，进行白化处理。 首先求离散白化滤波器。令X(z)表示抽样自相关函数xk的z变换， ()LkLXzxz= (10-1-19) 因为 *kkxx=，因此*()(1/)XzXz，且X(z)的2L个根具有对称性：如r是一个根，则1/ r也是一个根。X(z)进行因式分解 *1()()()XzFzFz= (10-1-20) 选择具有z变换为 *1
9、1/()Fz的滤波器作为白化滤波器，该白化滤波器级联的结果是得到一个Z变换为F(z)的信道响应，且是最小相位的，也叫最小延时滤波器。 因此yk通过白化滤波器后得到一个输出为 5 0LknknkvfI h=+ (10-1-21) kh是高斯白噪声，fk是信道响应F(z)的等效离散时间横向滤波器的抽头系数。匹配滤波器、抽样器和噪声白化滤波器的级联称为白化匹配滤波器，具有白噪声等效离散时间系统的模型如图10-1-4所示。 图10-1-4 为了方便处理，可以将F(z)的能量归一化为1，即 20Lnf= （10-1-22） 当信道响应随时间缓变时，接收机中匹配滤波器称为一个时变滤波器。 101 .3 离
10、散时间白噪声滤波器模型的维特比算法 由白化滤波器的输出vk采用 MLSE 可得到信息序列Ik。存在符号间干扰且覆盖L+1个符号的情况下，MLSE准则等价于离散时间有限状态机的状态估计问题。对于系数为fk的离散信道，它的状态由L个最近的输入符号确定，即 12(,.)kkkkLSIII= (10-1-23) 如果，信息符号是M元的，那么信道有ML个状态。则信道可由ML状态网格描述，采用维特比算法来计算通过该网格的最可能路径。网格搜索的度量类似于卷积码中的软判决译码所用的度量。 在网格搜索中，从采样值 kv计算L+1个度量 11ln(|,.)LkkkLpvII+= (10-1-24) IL+1,IL
11、,I1的ML+1个可能的序列划分为ML组，对应ML个状态，从ML个状态中的每一个状态中的M个序列选择具有最大概率的序列作为幸存序列，并赋予度量 6 1111211()(,.)maxln(|,.)LLLLkkkLPMIPMIIIpvII+= (10-1-25) 每组中的M-1个剩余序列被舍弃，保留ML个幸存序列及其度量。检测每一个信息符号中的延时是可变的，通过截断幸存序列为q个最近的符号，避免可变延时，当 5qL，截断带来的损失可不计。 101 .4 具有ISI信道的MLSE性能 卷积码与有限持续时间ISI信道之间的相似性，因此ISI信道的MLSE错误概率计算可以由卷积码软判决译码性能修改得到。
12、 102 线性均衡 有ISI信道的MLSE的计算复杂度随信道时间弥散的长度呈指数增长。（多径效应即接收机所接收到的信号是通过直射、反射、折射等不同的路径到达接收机的。这些幅度衰减和时延各不同的信号相互重叠，产生干扰，造成接收端判断错误，严重影响信号传输质量。这种特性称为信道的时间弥散性（Time Dispersion）。如果信号是M元的且ISI的干扰数目是L，采用维特比算法（最佳均衡）则需要计算ML+1个度量，计算复杂度难以接收。 l 次最佳信道均衡补偿ISI：线性横向滤波器 线性横向滤波器用于均衡如图10-2-1所示。 图10-2-1 线性横向滤波器 为了分析误码率方便，采用白化后的白噪声等
13、效离散时间模型，均衡输入为白化后输出 0LknknkvfI h=+ (10-2-1) 均衡输出是符号序列Ik的估计值，表示为 Kk jkjjKIcv= (10-2-2) 7 cj是横向滤波器的（2K+1）个复抽头系数。估计值 kI被均衡到最接近的信息符号，以形成判决，如果与发送信息符号不同，则发生一次判决差错。 在均衡系数cj最佳化中，最常用的两个准则：一是峰值失真准则，二是均方误差准则。 102 .1 峰值失真准则 峰值失真准则：均衡器输出端最坏情况下的符号间干扰，该性能指数的最小化。 l 假定均衡器有无限个抽头 冲激响应为fn的白噪声等效离散时间滤波器和冲激响应为cn的均衡器的级联，采用一
14、等效滤波器来表示 njnjqcf= (10-2-3) 假设均衡器有无限个抽头，在第k个抽样时刻，均衡器输出可表示为 0k knknjkjnkjIqIIqch=+ (10-2-4) 将 0q归一化为1，式中第一项为信息符号，第二项为符号间干扰，该干扰的峰值称为峰值失真，表示为 00() njnjnnjnnDcqcf= (10-2-5) 可以看出，D(c)是均衡器抽头权值的函数。 当采用无限抽头均衡器时，可以选择抽头系数使得D(c)=0，即除n0外，所有qn=0 符号间干扰被消除。按此准则的抽头系数应满足下式 1(0)0(0)njnjjnqcfn= (10-2-6) 将式10-2-6进行Z变换得到
15、 ()()()1()1/()QzCzFzCzFz= (10-2-7) 通过级联一个均衡器，补偿信道失真，使得从发送端到均衡器等效的信道响应是理想的。均衡器是 F(z)的逆滤波器，称为迫零滤波器，即迫使采样时刻（峰值）的码间干扰为零。 将传递函数为 *11/()Fz白化滤波器和传递函数为1/()Fz的均衡器级联可得一个等效的迫零均衡器，其传递函数为 *111()()()()Cz FzFzXz= (10-2-8) 8 此等效迫零均衡器的输入是接收机匹配滤波器的输出样值序列yn，该组合滤波器的输出由仅受到加性零均值高斯噪声恶化的期望信息符号组成。具有等效迫零均衡器的信道如图10-2-2所示。 图10
16、-2-2 具有等效迫零均衡器信道模型 无限抽头均衡器消除了符号间干扰，可用其输出端信噪比表示，将接收信号能量归一化为1，此时，q0 =1, 2kI的数学期望也是1，SNR就是均衡器输出端的噪声方差倒数。 该滤波器输出的噪声方差 ns通过输入迫零均衡器 C(z)的噪声 ku来求得， ku的均值为零，功率谱密度为 0()()()jTNXeTwuupww= (10-2-9) 因为 ()1/()CzXz=则均衡器输出端的噪声的功率谱密度为 0()/()()jTnn NXeww= (10-2-10) 此时，迫零均衡器SNR为 21/1/2()nT0jTTrTNdXepwpswp= (10-2-11) (
17、)jTXew 与接收机中的模拟滤波器 ()H的关系为 212()()()jTnnXeHTTTwppww=+ (10-2-12) 上式中的右边成为 2()H的折叠谱，将式10-2-12代入10-2-11得到 1/2(2/)TTndrHnTppwp wp20 = +(10-2-13) 如果折叠谱具有零点，那么被积函数变为无穷大，而 SNR变为零，均衡器性能变差，9 这是由于均衡器在消除符号间干扰的同时增强了加性噪声。 结合信号设计而不产生符号间干扰的理想信道的折叠谱满足 2(2/)()nHnTT Tpwpw=+= （10-2-14） 由于 ()()XHww，因此上式等效于 (2/)()nXnTT
18、Tpwpw=+= (10-2-15) 与第九章无符号间干扰带限信号设计（乃奎斯特准则）等效。 在这种情况下即无ISI时，输出只受加性噪声的恶化，输出信噪比最大， 01/rN （10-2-16） l 有限长度均衡器 对于具有 2K+1 个抽头的有限长度均衡器，即|j|K 时，均衡器响应 cj=0，在KnKL+范围外，等效离散时间白噪声滤波器响应fn与均衡器响应cn卷积为零，峰值失真定义为 00()KLKLnjnjnknKjnnDcqcf+= (10-2-17) 由于响应 nq有2K+L+1个非零值，因此采用有限长均衡器使得在输出端完全消除ISI一般是不可能的，均衡器系数最佳时也会存在一些残余IS
19、I。 式10-2-17定义的峰值失真是系数cn的凸函数，即它有一个全局的最小值而不存在局部的最小值，因此可以采用最陡下降法求得它的最小化，从而得到优化的均衡器系数。 当符号间干扰未严重到使眼图闭合时，即均衡之前有一个睁开的眼图，均衡器输入端的失真定义为 0101 LnDff= (10-2-18) 在此情况下，该失真小于1，通过优化均衡器系数，可以使得在1|nK范围内有迫零解答，但对于 1KnKL+范围内，qn一般非零，即存在残余ISI。 102 .2 均方误差准则(MSE) 所谓均方误差准则，是通过调整抽头系数，使得发送符号和均衡输出端符号估计的均方误差最小。 kkkIIe= (10-2-19
20、) 当符号是复值时，MSE准则的性能指标定义为 10 22kkkJEEIIe= (10-2-20) J是均衡器系数cj的二次函数。 l 无限长均衡器 当均衡器有无限个抽头时，均衡器输出端估计值为 k jkjjIcv= （10-2-21） 将式10-2-21代入式10-2-20，可以得到一个系数cj的二次函数，通过对该函数进行最小化运算，得到一组cj的线性方程。 也可利用均方误差的正交性原理也能得到这样一组方程，选择cj使得均方误差正交于 *klv ，即 *()0()kklEvle= (10-2-22) 将式10-2-19和10-2-21代入10-2-22，可得 *()0kjkjkljEIcvv
21、= (10-2-23) 等价为 *()jkjklkkljcEvvEIv= (10-2-24) 利用0LknknknvfI h=+ （离散时间白化滤波器模型），可得 *000()|)0(LkjklnnljljnljljEv ffNxNljLdd+=+ = （其他）（10-2-25） * (0)0(LkklfLlEIv = 其他）(10-2-26) 将式10-2-25和10-2-26代入10-2-24并求Z变换，可得 *1*10()()()()CzFzFzNFz+= (10-2-27) 因此，基于MSE准则的均衡器传递函数为 *1*10()()()()FzCzFzFzN= + （10-2-28） 当白化滤波器合并到C(z)中，得到的等效均衡器为
