1、试卷类型：A2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考公式：样本数据 的方差 ，12,nx 22221()()()nsxxx其中 表示样本均值一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 ， ，则|410Mx|410MxMNA B C D,4,02若复数 （ 是虚数单位），则i(32)z=izA B C D32i32i3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A B C D21yx1yx1xyxye4袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球. 从袋中任取
2、2 个球，所取的2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为A B C D1502125平行于直线 且与圆 相切的直线的方程为xy5xyA 或 B 或250xy250xyC 或 D 或502026设变量 满足约束条件 ，且 的最小值为,xy45813xy zxyA4 B C6 D2353157已知双曲线 的离心率 ，且其右焦点为 ，则双曲线 的方程为:C21xyab4e2,0FCA B C D243296xy169xy2134xy8若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值n nA至多等于 3 B至多等于 4 C等于 5 D大于 5图 1PABCOED二、填空题：本大题共 7 小
3、题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（9 13 题）9在 的展开式中， 的系数为 41xx10在等差数列 中，若 ，则 na3456725aa28a11设 中的内角 的对边分别为 若 ， ， ，则 ABC, cb,31sin2B6Cb12某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言13已知随机变量 服从二项分布 若 ， ，则 X,Bnp30EX20Dp（二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）已知直线 的极坐标方程 点 的极坐标为l2sin4A，则点 到直线 的距离为 72,
4、4AAl15 （几何证明选讲选做题）如图 1，已知 是圆ABO的直径， ， 是圆 的切线，切点为 ，BECOC过圆心 作 的平行线，分别交 和1C于点 和点 ，则 ADP三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， xOy2,msin,cox0,2（1）若 ，求 的值；mnta（2）若 与 的夹角为 ，求 的值3x17 （本小题满分 12 分）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄1 40 10 36 19 27 28 342
5、44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值 和方差 ；x2s（3）36 名工人中年龄在 与 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 ）
6、？ 0.1%18 （本小题满分 14 分）如图 2，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直， ， ，PDCABCD4PDC6AB.点 是 边的中点，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ， 3BCEFG2AF2G（1）证明： ；（2）求二面角 的正切值；A（3）求直线 与直线 所成角的余弦值.P图 219 （本小题满分 14 分）设 ，函数1a21xfxea（1）求 的单调区间；（2）证明： 在 上仅有一个零点；fx,（3）若曲线 在点 处的切线与 x 轴平行，且在点 处的切线与直线 平行， （yP,MmnOP是坐标原点） ，证明： O321mae20 （本小题满分 14 分）已知过原点的动直线
7、 与圆 相交于不同的两点 l21:650Cxy,AB（1）求圆 的圆心坐标；1（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；ABM（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范k:4LykxCk围；若不存在，说明理由21.（本小题满分 14 分）数列 满足： ， na12124nna *N（1）求 的值；3（2）求数列 的前 项和 ；nnT（3）令 ， ，证明：数列 的前 项和 满足1ba1123n na 2 nbnS2lnS2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出
8、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A D B A B C B二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（9 13 题）9. 6 10. 10 11. 1 12. 1560 13. 13（二）选做题（14 15 题，考生只能从中选做一题）14. 15. 852三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分 12 分）16.解：（1）由 ，得 ，即 ， mn02sincos0xincosx因为 ，所以 ，所以 0,2xcosxta1（2）由
9、， ，得 ,in,cosxm由 与 的夹角为 ，得 mn321cs,sincos2x即 ，1si42x因为 ，所以 0,4x所以 ，即 46x51217.（本小题满分 12 分）17解：（1）依题意得抽样距为 4，在第一分段里抽到的工人编号为 02，所以抽到的样本编号为 02，06，10，14，18，22，26，30，34，所以对应样本的年龄为 44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）样本的均值 ， 103637437409x方差 2222222(4)(4)(0)()(6)()(40)s；2210(430)(74)9（3）由（2）得 ， ， ，1s3xs3xs所以 36 名工
10、人中年龄在 与 之间，即年龄在区间 内，共有 23 人，7,4所占的百分比是 230.689.%18 （本小题满分 14 分）18方法一：（1）证明：因为 ， 是 边的中点，4PDCED所以 ，PEC因为平面 平面 ，平面 平面DABABC所以 平面 ， 平面 ，FG所以 （2）以 为坐标原点， 、 、平行于 的射线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系DCEPxyz（如图所示） ，xyz则 .(0,)(3,0)(,6)(0,3)(,7)A由（1）得 是平面 的一个法向量.7EPAB设平面 的法向量为 ，D,xyzn， ，(,)()所以 .307xPyzn令 ，则 ， ，所以 是平面 的一个法向
11、量.y3(0,73)nPAD设二面角 的平面角为 ，且 ，ADC2所以 ， ， .7cos416EPn27si1cos47tan3所以二面角 的平面角的正切值为 .A73（3）依题意得 ， ， ，(3,40)(2,)FG(1,20)F(3,7)PA设直线 与直线 所成角为 ，且 ，P所以 .695cos25A所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .PFG方法二：（1）同方法一.（2）因为 ， 平面 ，根据三垂线定理，有 ，EDABCDPDA所以 为二面角 的平面角.在 中， ， ， ，所以 .Rt13E4P7E所以 ，7tan3PED所以二面角 的平面角的正切值为 .AC73（3）连接 ，因为
12、， ，2FB2G所以 ，所以 为直线 与直线 所成角.FGPAF因为 ， ， ，545所以 .2241695cos 23AC所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .PF19.（本小题满分 14 分）19解：（1） 恒成立，222110xxxfeee所以 的单调递增区间为 .fx,（2）证明：因为 ，所以 ， ，a0fa2210afea所以 ，即 在 上存在一个零点.0fx,由（1）得 在 上是增函数，x,所以 在 上仅有一个零点.f（3）设 ，所以 ， ， .0,Py0201xfxe0102yae又 ，即 .201mfema要证 ，即要证 ，即要证 ，3a 321e 321me即要证 ，即要证
13、.me m令 ，则 ，1gg令 ，得 ；令 ，则 ，00所以 在 上是减函数，在 上是增函数，,所以 ，即 恒成立， 1me所以 成立.321mae20.（本小题满分 14 分）20. 解：（1）圆 可化为 ，所以圆 的圆心坐标为 .21:650Cxy234xy1C3,0（2）方法一：（定义法）取 的中点 ，连接 ，1O,N1,MN因为 ，所以 ，1OM2C所以 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆弧（在圆 内部） ，3,0N31C即 .2394xy53x方法二：（参数法）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ， ， l lymx0,My由 得 ，260ymx21650mx，解得 ，231所以
14、，且02x053x因为 ，所以 ，整理得 .0ym201yx200394xy所以 的轨迹 的方程为 .MC239453x（3）存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点.k:LykC由（2）得 的轨迹 为一段圆弧，其两个端点为 ， ，P2,3Q52,3直线 过定点 ，:4Lykx,0E ， ，5237PE 25374QEk当 时，直线 与曲线 只有一个交点. LC当直线 与曲线 相切时， 的方程可化为 ，LC40kxy则 ，解得 .2341k34k综上所述，存在当 或 时，直线 与曲线 只有一个交点.527 34kLC21.（本小题满分 14 分）21.解：（1）令 ， ，1n0341a令 ， ，解得 ，222令 ， ，解得 .3135434a（2）因为 212nna当 时， n 1 2n所以 得 ，所以 ，12142nnnna12na当 时， 符合上式，1所以 ， 2n*N所以 1 11122nnnTa （3）令 ， .lxfx0，2211f所以 在 上是增函数，x0,所以 ，即 .fflnx令 ，则 ，1xn1ln所以当 （ ）时， ，2 *Nln所以 .2311l1ln3 因为 ， .ba22 132n n n 所以 12123 213b42314 22 1112n n nb 所以 13Sb 2 112n 1122nn 11n2ln所以 ， 2lnnS*N
