1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）第卷 （选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 ，集合 ，则 AB=（ ）|(1)20Ax|13BxA.x|-1 ,函数 单调递增，所有 , - 0, 则 = 0,所1x2x1x221 21)(xffm21x以正确；(2)设 ,则 - 0,则1212x21)(nxg，可令 =1， =2，axaxa 212121 )()( 1x2a=4，则 n=10，所以错误；(3)因为 ，由（2）得： ，分母乘到右边，右边即为nm2
2、1)(xffx21，所以原等式即为 = ，)(21xg)(ff )(21g即为 = ，令 ,f )(f21xgxh则原题意转化为对于任意的 ，函数 存在不相等的实数 ， 使得函数值a)(f 1x2相等， ，则 ，则 ，xxh2)( axnx2l)(hl2)(h）（ n令 ，且 ，可得 为极小值。若 ，则 ，即“01 100x， 单调递增，不满足题意，所以错误。x(4)由(3) 得 = ，则 ，设)(21xff)(21xg1122fgxfx，有 ， 使其函数值相等，则 不恒为单调。hxfgxh， ， 恒成立， 单调2a lnxha2 ln0xhx递增且 ， 。所以 先减后增，满足题意，所以正确。
3、00h（3）思路二：可用拉格朗日中值定理解决。若 ，则有 = ，即可得nm)(21xff)(21xg 0)()(2121 xgfgxf可构造函数 ，由拉格朗日中值定理，)(gfxh必存在 ，使得 ，又 ，则,2100)(xhaxxh2)( axnxl)(h即 对任意 a 均有解。数型结合可知，函数 与 可以无交l2xnx yly2点。所以 对任意 a 均有解不成立，所以 不成立。0lx nm三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程演算步骤。16、 （本题满分 12 分）设数列 的前 项和 满足 ，且 成等差数列(1,23.)nannS12na23,a（I）求数
4、列 的通项公式（II）记数列 的前项和 ，求使得 成立 的最小值。nanT10nn16.解：（1）当 时有， 21112()nnnSaa则 （ ） 1na()1na-=则 是以 为首项，2 为公比的等比数列。n1又由题意得 则 131124aa12na*()N（2）由题意得 由等比数列求和公式得 2na*()N()1()2nnT则 又 当 时， 21-=()nnT（ ）10109=24=5（ ） ， （ ）成立时， 的最小值的 。0nn17、 （本题满分 12 分）某市 A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生，2 名女生，A 中学xyO8推荐了 3 名男生，4 名女生
5、，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，从参加集训的女生中随机抽取 3 人组成代表队（I ）求 A 中学至少有一名学生入选代表队的概率（II）某场比赛前，从代表队的 6 名中随机抽取 4 名参赛，记 X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列于数学期望。17.【解析】 （1）正难则反。求出 A 中学中无学生入选代表队的概率，再用 1 减去即能得到题目所求。（2）由题意，知 ，分别求出相应的概率，由此能求出 的,23X分布列和期望。【答案】（1） 设事件 表示“A 中学至少有 1 名学生入选代表队 ”，A3469()10CP（2） 由题意，知 ,2
6、3X; ; 146()5PC2346()5CP1346()5CPX因此 的分布列为：期望为： 13()25EX18、 （本题满分 12 分）一个正方体的平面展开图和直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为M,GH 的中点为 N（I ）请将字母 F、G、H 标记在正方体的直观意图相应的顶点处（不要求说明理由）（II）证明：直线 MN平面 BDH（III）求二面角 A-EG-M 的余弦值18. 【答案】（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可3515MDCBAEDA BCQL K MH N GE FD CA B如图（II）连接 ，取 的中点 ，连接BDQ因为 、 为线段 、
7、 中点，所以 且MCBD/MCDGH12QCDGH又因 为 中点，所以NGH12NGH得到 且Q/所以四边形 为 Y得到 /HMN又因为 平面QBD所以 平面 （得证）/（III）连接 ， ，过点 作 ，垂足在 上，过点 作平面 垂线，交ACEGMKACKABCD于点 ，连接 ，则二面角ELEGL因为 平面 ，且 ,所以MKBBE又 ， 平面 ,所以 平面且 ，所以 ，所以三角形 为LAEGKLKLRT设正方体棱长为 ，则 ，aCa所以 ，2C因为 ，三角形 为 ，所以45MKRT2cos45aMC所以 ，所以2tan4aL2cos3LK10所以 2coscos3AEGMLK19、 （本题满分
8、 12 分）如图 A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角（I）证明： 1costan2iA（II）若 A+C= ,AB=6，BC=3，CD=4，AD=508求： 的值tattatn2ABD19.【解析】（1）证明： .2sinsi1costaincoAA（2）解：方法（一） tanttant2()(a)1coss1coss)iniini()()(1coin(1cos)in ssisicoABCDBACADBB si)icsi)nn()nin()i isCDAB 由 可知 ，所以有 ，同理 ，180oC180oDi,s()0ACsiniB，进一步上式化简可得：sin()B 22sinsinsiitatant()()()()22 nACBDA（*）(si)1iiA连接 ，设 ，在 和 中分别利用余弦定理及 可得BDxBD180oCE GCFBDAH
