1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文科类）第卷 （选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设集合 Ax| 1x 2，集合 Bx|1x3，则 AB( )(A)x|1x3 (B)x|1x1 (C)x|1x2 (D)x|2x3【答案】A【解析】集合 A(1，2) ， B(1，3)，故 AB( 1，3)，选 A2、设向量 a(2，4)与向量 b(x，6)共线，则实数 x( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B由向量平行的性质，有 2:4=x:6，解得 x=3，选
2、 B3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这 三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法来源:ZXXK【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选 C4、设 a，b 为正实数，则“ab1”是“log 2alog 2b 0”的( )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】ab1 时，有 log2alog 2b0 成立，反之也正确 .选 A5、下列函数中，最小正周期为 的奇函数
3、是( )(A)ysin(2x ) (B)ycos(2x 2)(C)ysin2xcos2x (D)ysinxcosx【答案】B【解析】A、B、C 的周期都是 ，D 的周期是 2但 A 中，ycos2x 是偶函数，C 中 y 2sin(2x 4)是非奇非偶函数故正确答案为 B6、执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为( )(A) 32 (B) 32(C) 1 (D) 1【答案】D【解析】第四次循环后，k5，输出 Ssin 56 12，选 D7、过双曲线213yx的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|( )(A) 4 (B)2 3 (C)6 (D)4 3【
4、答案】D8、某食品的保鲜时间 y(单位：小时) 与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 kxbye( 2.718为自然对数的底数，,kb为常数 ).若该食品在 0的保鲜时间是 192小时，在 的保鲜时间是 48小时，则该食品在 3的保鲜时间是( )(A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时【答案】C【解析】由题意， 21948bke得 19bke于是当 x33 时，y e 33kb (e 11k)3eb 3()219224(小时)9、设实数 x，y 满足21046y，则 xy 的最大值为( )(A) 52 (B) 92 (C)12 (D)14【答案】A【解析】画出可行
5、域如图，在ABC 区域中结合图像可知当动点在线段 AC 上时 xy 取得最大此时 2xy10xy 1(2xy) 25()y当且仅当 x 5，y 5 时取等号，对应点落在线段 AC 上故最大值为 2选 A10、设直线 l 与抛物线 y24x 相较于 A，B 两点，与圆 C：(x5) 2y 2r 2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【答案】D第卷 （非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11、设 i 是虚数
6、单位，则复数 1i_.【答案】2i【解析】 12ii12、lg0.01log 216_.【答案】2【解析】lg0.01log 21624213、已知 sin2cos 0，则 2sincoscos 2的值是_.【答案】1【解析】由已知可得 tan22sincoscos 2222sincostan14114、在三棱住 ABCA 1B1C1 中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是 AB，BC，B 1C1 的中点，则三棱锥 PA 1MN 的体积是_.【答案】 2415、已知函数 f(x)2 x，g(x )x 2ax
7、(其中 aR).对于不相等的实数 x1，x 2，设m 12f，n 12)，现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1，x 2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x 2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn.其中真命题有 _(写出所有真命题的序号).【答案】【解析】对于，因为 f (x)2 xln20 恒成立，故正确对于，取 a8，即 g(x)2x8，当 x1，x 24 时 n0，错误对于，令 f (x)g(x )，即 2xln22x a记 h(x)2 xln22x，则 h(x)2 x
8、(ln2)22三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程演算步骤。16(本小题满分 12 分)设数列a n(n 1，2，3)的前 n 项和 Sn满足 Sn2a na 3，且 a1，a 21，a 3 成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列 n的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识，考查运算求解能力.() 由已知 Sn2a na 1，有anS nS n1 2a n2a n1 (n 2)即 an2a n1 (n2)从而 a22a 1，a 32a 24a 1，又因为 a1，a 21，a
9、 3 成等差数列即 a1a 32(a 21)所以 a14a 12(2a 11)，解得 a12所以，数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 an2 n.()由( )得 n所以 Tn 21()112. 2nnn17、(本小题满分 12 分)一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 1，2，3，4，5，乘客 P1,P2,P3,P4,P5 的座位号分别为 1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客 P1 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位.(I)若
10、乘客 P1 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)。乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号(II)若乘客 P1 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 P1 坐到 5 号座位的概率.【解析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.(I)余下两种坐法如下表所示乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1(II)若乘客 P1 做到了 2
11、 号座位，其他乘客按规则就坐则所有可能坐法可用下表表示为乘客 P1 P2 P3 P4 P52 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 1座位号2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4所以 P(A) 412答：乘客 P5 坐到 5 号座位的概率为 12.18、(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(I)请按字母 F，G，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)(II)判断平面 B
12、EG 与平面 ACH 的位置关系.并说明你的结论.()证明：直线 DF平面 BEG【解析】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.(I)点 F，G，H 的位置如图所示(II)平面 BEG平面 ACH.证明如下因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG又 FGEH ，FGEH，所以 BCEH，BCEH于是 BCEH 为平行四边形所以 BECH又 CH平面 ACH，BE 平面 ACH，所以 BE平面 ACH同理 BG平面 ACH又 BEBG B所以平面 BEG平面 ACH()连接 FH因为 ABCDEFGH 为正方
13、体，所以 DH平面 EFGH因为 EG平面 EFGH，所以 DHEG又 EGFH ，EGFHO，所以 EG平面 BFHD又 DF 平面 BFDH，所以 DFEG同理 DFBG又 EGBG G所以 DF平面 BEG.19、(本小题满分 12 分)已知 A、B 、C 为ABC 的内角，tanA、tanB 是关于方程 x2 3pxp10( pR)两个实根.(I)求 C 的大小(II)若 AB1，AC 6，求 p 的值【解析】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、 化归与转化等数学思想.(I)由已知，方程 x2 3pxp10 的判别式( 3p)24(p1
14、) 3p 24p40所以 p2 或 p由韦达定理，有 tanAtanB p，tanAtanB1p于是 1tanAtanB1(1 p) p0从而 tan(AB) tant3B所以 tanC tan(AB)所以 C60(II)由正弦定理，得sinB0sin6si23AB解得 B45 或 B135(舍去 )于是 A180BC75则 tanAtan75tan(4530)0031tan45t21所以 p 13(t anAtanB) 3(2 1)1 320、(本小题满分 13 分)如图，椭圆 E：21xyab(ab0)的离心率是 2，点(0，1)在短轴 CD 上，且 PCD1(I)求椭圆 E 的方程；(I
15、I)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点.是否存在常数 ，使得 OABP为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(I)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0 ，b)，(0，b)又点 P 的坐标为(0，1) ，且 P1于是2221bca，解得 a2，b所以椭圆 E 方程为214xy.(II)当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1A，B 的坐标分别为( x1，y 1)，( x2，y 2)联立24xyk，得(2k 21) x24kx20其判别式(4k) 28(2k 21)0所以 112,xxk从而 OABPx 1x2y 1y 2 x1x2( y11)(y 21)(1)(1k 2)x1x2k( x1x 2)1 (4 21k所以，当 1 时， 21k3此时， OABP3 为定值当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD此时 CODP213故存在常数 1，使得 为定值3.
