1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类）第 I 卷一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合 （ 是虚数单位） ， ，则 等于 （ ）234,Aii1,BABA. B. C. D. 1【答案】C 【解析】 ， ，所以,Ai1,B1,AB2下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D. yxsinxcosyxxye【答案】D 【解析】 是非奇非偶函数， ， 是偶函数， 满足了|in|cosxxye，所以是奇函数()(fxf3若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且2:196yE
2、12,FPE，则 等于（ ）1PF2A.11 B.9 C.5 D.3【答案】B 【解析】由题， ，即 ，解得 12|6PFa2|3|6PFa2|9PF4为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 （万x元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 （万y元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区ybxa0.76,baybx一户收入为 15 万元家庭年支出为A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元【答案】B 【解析】 ， ，8.2610.31.
3、905x6.2758.09.8y，所以当 时，.7.4ayb5x1.bxa5若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 （ ）,x2,0,yx2zyA. B. C. D.2232【答案】A 【解析】可行域如图 1，当直线过 ， 有最小值 1(,)2Azxy526阅读如图 2 所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A.2 B.1 C.0 D. 1【答案】C 【解析】进入循环体，第一次， ；第二次， ，第三次，,0iS2,0cos1iS，第四次， ，第五次，33,1cos12iS4,1cos，此时，退出循环，因此 5507若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的 ,lmm
4、lm/l图 2图 1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 无法推出 ，因此 可能在平面内； 可以推出 ，这也便是lm/ll/llm法向量证明线面平行的依据，因此 是 的必要不充分条件。m/8若 是函数 的两个不同的零点，且 这三,ab20,fxpq,2ab个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）pqA.6 B.7 C.8 D.9【答案】D 【解析】由根与系数的关系可知 ，因此 同正，不妨设 ，则0abpq,abab成等差， ；又 成等比，即 ，由此解得 所以2,ab2ab,241,4所以 5,
5、4pq9pq9已知 ，若点 p 是 所在平面内一点，且1,ABCAtt ABC，则 的最大值等于（ ）PPA.13 B.15 C.19 D.21【答案】A 【解析】以 ， 的方向为 x 轴，y 轴正向建立直角坐标系，则 ， ，BAC(0,)A1(,)Bt，因为 ， 表示 同向的单位向量，则 ，(0,)Ct|B1,4,P即 ，则 ，当且仅当 ，即1,4P1(,4)(,)17(4)3tttt取等号2t10若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 Rfx01ffx1fxk，则下列结论中一定错误的是（ ）A. B. C. D. 1fk1fk1fk1fk【答案】C 【解析】由题，得 ，即函数 在定义域
6、内是增函数，因为 ，()0fxk()fxk10k，所以 ，即10k10，所以 C 选项一定是错的()1()fkk第 II 卷二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.11 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答）52x2x【答案】80 【解析】含 的项的系数是 23580C12若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .AB15,8ABCB【答案】7 【解析】由题， ， ，sin20i132SC3sin2A， ，解得2189cosABB 249C7C13如图 3，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数1,0,，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分
7、2fxABCD的概率等于 .【答案】 512【解析】矩形的面积为 4，阴影的面积为 ，因此所求概率为32 211 5(4)()|xxd51214若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 6,23logaxf01a4,a图 3的取值范围是 .【答案】 12a【解析】当 时， ，由此可见，当 时， 的值域应该是x642x3logax的子集，因此 ，即 ，解得 4,)3logaxlog1a15一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ，其中 称*2nxN 1,2kxn为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元k由 0 变为 1，或者由 1 变为 0）已知某种二元码 的
8、码元满足如下校验方程组： 127x 45672310,xx其中运算 定义为： 0,1,0,其中运算 定义为：0 0=0，0 1=1,1 0=1,1 1=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利k用上述校验方程组可判定 等于 .k【答案】5 【解析】由题，当相邻两个号码相同，得到 1，不相同，得到 0，因此，由校验方程组第一式可知， 中有一个数是错的，由校验方程组第三式可知， 中有一4567,x 1357,x个是错的，因此，只可能是 是错的由校验方程组第二式可知， 是对的因此57x和k三、解答题:大小题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明
9、，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 13 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，则 543()6PA12（2）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3.又 .151542()
10、,(2),(3)16663PXPX所以 X 的分布列为1 2 3P6162所以 .2()13EX517.（本小题满分 13 分）如图 4，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD是矩形，AB 丄平面 BEG，BE 丄 EC，AB=BE=EC=2 ，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点.(1)求证：GF/平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.解法一：（1）如图 5，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，又 G 是 BE 的中点，所以 GH/AB,且 .12AB又 F 是 CD 中点，所以 .DFC由四边形 ABCD 是矩形，得 AB/CD，AB=CD,所
11、以 GH/DF,且 GH=DF.从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF/DH，又 平面 ， 平面 ，DHAEGFADE所以 平面/F（2）如图 6，在平面 BEG 内，过点 B 作 BQ/EC,因为 BE 丄 CE,所以 BQ 丄 BE.又因为 AB 丄平面 BEC，所以 AB 丄 BE，AB 丄 BQ.以 B 为原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角,EQA坐标系，则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为 AB 丄平面 BEC，所以 为平面 BEC 的法向量 .=(0,2)设 为平面 AEF 的法向量.(,)xyzn
12、又 E2,0-F(,-1)=，图 4图 5由 得0,AEFn20,xzy取 ,得 .z=(,-1)从而 ,42cos,3|BAn所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 .3解法二：（1）如图 7，取 中点 ，连接 ，ABM,GF又 是 的中点，可知 ，GE/AE又 平面 平面 ，,D所以 平面 ./在矩形 中，由 ， 分别是 ， 的中点,得 .ABCABCD/MFAD又 平面 平面 ,D,EMFE所以 平面/又因为 平面 平面,G,GFF所以平面 GMF/平面 ADF，因为 平面 ，F所以 平面 ./ADE（）同解法一18. (本小题满分 13 分)如图 8，已知椭圆 E：
13、过点21(0)xyab，且离心率为 e= .(0,2） 2(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 （mR ）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 与以线段:1lxy 9(4-,0)AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.解法一：(1)由已知，得图 6图 7图 8解得22,.bca,abc所以椭圆 的方程为 .E214xy+=（2）设点 AB 中点为 .12(y),),AxB0(,)Hx由 得2,4m2()3,ym所以 1212+=,-y，从而 .0m所以 .22220000009552|()()(1)4416GHxymyym1212-|4AB221()-4y2211()-my2012()-
14、)y故 2012|55|-(46ABGHy223)-()m，2176()0所以 ，故 在以 AB 为直径的圆外. |ABGH94,解法二：（1）同解法一.图 9（2）设点 ，则12(),),AxyB1299(,)(,).44GAxyBxy由 得 ，2,4m2()30ym所以 1212,y，从而 129()4GABxy15()my22125()6y223，21706(m)+=所以 ，又 不共线，所以 为锐角。cos,GAB,AGBAGB故点 在以 为直径的圆外.9(40)19.（本小题满分 13 分）已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得f()x()cosgx=到：先将 图像上所有点的纵坐
15、标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图()gx像向右平移 个单位长度.(1)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程；()fx(2)已知关于 的方程 在0 ，2内有两个不同的解 ，()gfxm（）求实数 m 的取值范围；（）证明：2cos()15解法一：（1）将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）)gx=得到 的图像，再将 的图像向右平移 个单位长度后得2cosy2cosyx到 的图像，故 .2cos(-)yx()2sinfx从而函数 图像的对称轴方程为 .inf ()2kZ（2） （） ()scofxgx215(ins)5x（其中 ）.si()x2i,cos5依题意， 在区间 内有两个不同的解 当且仅当in()5m0,2,，故 的取值范围是 .|15m(,5)（）因为 是方程 在 内的两个不同的解，,5sinxm0,2所以 ，sin()i()5当 时， ，即 ；15m22()当 时， ，即3()3所以 cos)cos(2in()125m21解法二：（1）同解法一.（2） （）同解法一.（）因为 ， 是方程 在区间 内的两个不同的解，5sin()xm0,2)所以 ，sin()i5
