1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1、已知集合 ， ，则 （ ）23Px24QxPQA B C D3,4, 1,2【解析】集合 ， ，所以31|xP或 42|xQ，故选 A。43|xQ【答案】A2、某几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积cm是（ ）A B83cm123C D240c【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为 2 的正方体与一个底面边长为 2，高为 2 的正四棱锥的组合体，故其体积为。故选 C。3231=+cmV正 方 体
2、 正 四 棱 锥 （ ）【答案】C3、设 ， 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）ab0ab0abA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】本题采用特殊值法：取 ，则 ，所以2,1,20ab不是 的充分条件；0aba取 ，则 ，所以 不是 的必要条件。2,10,30ba故选 D。【答案】D4、设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， .（ ）lmlmA若 ，则 B若 ，则lC若 ，则 D若 ，则/ /l【解析】根据线面、面面垂直或平行的相关定理，知 A 正确。【答案】A5、函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）1cosfxx0x【解析】由 为奇函数
3、，选项 A、B 立即排除；取 ，有)(xf x，则选项 C 可排除，故选 D。1()=0f（ ） cos【答案】D6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ， ，且 ，三种颜色2mxyzxyz涂料的粉刷费用（单位：元/ ）分别为 ， ， ，且 在不同的方案中，最2abcabc低的总费用（单位：元）是（ ）A B C Daxbyczzyxyzx【解析】本题采用特殊值法：令 ，则1,2,3xaybzc，故应选 B。14,01axbyczabycxayxz【答案】B7、如图，斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足，
4、AB6B平面 上的动点 满足 ，则点 的轨迹是（ P30P）A直线 B抛物线C椭圆 D双曲线的一支【解析】易知由 绕 旋转一周形成一个斜放的圆锥，此圆锥被水平平面 所截，所PA 得截面为椭圆，故选 C。【答案】C8、设实数 ， ， 满足 .（ ）abt1sinabtA若 确定，则 唯一确定 B若 确定，则 唯一确定t2 t2aC若 确定，则 唯一确定 D若 确定，则 唯一确定sin【解析】若 确定，则 ，唯一确定，故选 B。t 1|1)(222taa【答案】B二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 ）9、计算： ， 2log24log3l【解析】
5、；1lll 222 。2422log3llog3llog3【答案】 1;10、已知 是等差数列，公差 不为零若 ， ， 成等比数列，且 ，nad2a3712a则 ， 1【解析】由题意得 得 因为 ，解得,12173a211()()6,3.da0d。1,3da【答案】 2;11、函数 的最小正周期是 ，最小值是 2sinicos1fxx【解析】 ，所以最小正周期 ；1cos223()in1sin()42xfx xT当 时， 取到最小值 。()8kZ)(f3【答案】 32;12、已知函数 则 ， 的最小值是 2,16,xf(2)ffx【解析】 ；214)(2(ff当 时， ；1x)0x当 时， ，
6、当 时等号成立。6(6fx因为 ，所以函数 的最小值为 。26()fx26【答案】 1;13、已知 ， 是平面单位向量，且 若平面向量 满足 ，则1e212eb12eb【解析】由 ，得 。不妨设 , ，由12e12e,3132e21,0(,)mneb，得 。所以 。12b,mn3|=b【答案】 314、已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是 xy212463xyxy【解析】因为 + ，则 ，2 0,0所以 。yxyxyyxyx 414|36|4| 令 ，得 ，由圆心 到直线z3101z(,)的距离 ，得 ，解得 或 （舍去） 。0143zyx1d15|0|z5z【答案】1515、椭圆 （ ）的右
7、焦点 关于直线 的对称点 在椭圆2aba,0FcbyxcQ上，则椭圆的离心率是 【解析】设椭圆的左焦点为 ，线段 的中点为 ，坐标原点为 ，在 中，FQMOF分别为 的中点，所以 为 的中位线，所以 。所以直,MO,QOF /线 的斜率为 ，从而易知 点即为椭圆的上顶点。由 ，易知Fbc ,QM为等腰直角三角形，且 ，即 。所以 。所以 。 Qbc2ac2cea【答案】 2三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16.（本题满分 14 分）在 中，内角 所对的边分别为 .已知ABC , ,abc.tan()24A（1）求 的值；sico+（2）若
8、，求 的面积.,3BaABC16.解：（1）由 ，得 ，tn()241tan3所以 。2sitco5A（2）由 ， ，得 .1tan3(0,)1010sin,cosA由 及正弦定理 ，得 。,4BiiabB35由 ，得 。sini()sn()4CA2snC设 的面积为 ，则 。 S1i92ab17.（本题满分 15 分）已知数列 和 满足nab*112,2(),nabaN1231nbb.*()nN（1）求 与 ；an（2）记数列 的前 项和为 ，求 .bnT17.解：（1）由 ，得 .112,na*2()naN由题意知：当 时， ，故 .n12b2b当 时， ，整理得 ，1nn1nb所以 。*
9、()nN（2）由（1）知 ，2nnab因此 ， ，23nnT 23412nT所以 。1故 。1*()2()nnN18.（本题满分 15 分）如图，在三棱柱 中，1ABC-= ， ， =4， 在底面BAC902A1的射影为 的中点， 是 的中点.D(1)证明: 平面 ； 11BC(2)求直线 和平面 所成的角的正弦值.A18.解：（1）设 为 的中点，由题意得 平面 ，所以 .E1AEBC1AE因为 ，所以 .ABCAEB故 平面 .E1由 分别为 的中点，得 且,D, 1/D，从而 且 ，所以四边1B1/AE形 为平行四边形.AE于是 .1/D又因为 平面 ，所以 平面 .1BC1AD1BC（
10、2）作 ，垂足为 ，连结 .1AFEF因为 平面 ，所以 .1E因为 ，所以 平面 .BCBAD所以 平面 .1,AF1C所以 为直线 和平面 所成的角.1由 ，得 .2,90BCB2EAB由 平面 ，得 .1AE114,由 ，得 .1114,2,90DD172F所以 .17sin8ABF19.（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 ，圆 ，过点21C4yx： 22(1)xy：作不过原点 的直线(,0)PtO分别与抛物线 和圆 相切，AB1C2为切点.,(1)求点 的坐标； ,(2)求 的面积.PAB注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共
11、点为切点.19.解：（1）由题意知直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 。PAPA()ykxt由 消去 ，整理得 。2(),4ykxty240xkt由于直线 与抛物线相切，得 .PAt因此，点 的坐标为 。2(,)t设圆 的圆心为 01D，点 B的坐标为 0(,)xy，由题意知：点 关于直线 对称，2C ,BOPD故 解得0,yxt02,1txyt因此，点 的坐标为 .B2(,)t（2）由（1）知 ，直线 的方程为 .2|1APtPA20txyt点 到直线 的距离是 ，2td设 的面积为 ，则 。PAB ()St 31()|2ttAPd20.（本题满分 15 分）设函数 .2()(,)fxa
12、bR(1)当 时，求函数 在 上的最小值 的表达式；214ab=+f1,-ga(2)已知函数 在 上存在零点， ，求 的取值范围.()fx,-021bb20.解：（1）当 时， ，故对称轴为直线 .214ab()afx2ax当 时， .2a2()14agf当 时， .()f当 时， .2a2()14agf综上，22,()1,.4gaa（2）设 为方程 的解，且 ，则,st()0fx1t,stab由于 ，因此 .01ba2()tstt当 时， 。t2tt由于 和 ，所以 。203t219453t29453b当 时， ，1t22tts由于 和 ，所以 。20t230t30b故 的取值范围是 .b,945
