1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题1.设集合 ， ，则2|Mx|lg0NxMNA B C D0,1(0,1,1)(,1【答案】A【解析】因为 ，所以 .,0Nx0,N2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ）.A93 B123 C137 D167【答案】C【解析】根据扇形统计图知，该校女教师的人数为 .107%5401373.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 .据sin()6yxk此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）.A5 B6 C8 D10【答案】
2、C【解析】由图知，当 时，函数取得最小值 2，即 ，所以1)6sin(x 2)1(3k.因此，函数的最大值是 .故水深的最大值为 8m.5k 8534.二项式 的展开式中 的系数为 15，则 （ ）.(1)nxN2nA7 B6 C5 D4【答案】B【解析】二项式的展开式的通项公式为 ，依题意),0(1 NrnxCTrnr解得,152rnC.4,6rn5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）.A B C D32434【答案】D【解析】根据三视图可以确定该几何体是一个底面半径为 1，高为 2 的半圆柱，其表面积是 .432126.“ ”是“ ”的（ ）.sincocs0A.充分不
3、必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 A解析： ,而 ，Zk41tancosincos20,42kZ后者真包含于前者，所以前者是后者的充分不必要条件.7.对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ）.,bA B |a|abC D22()| 2()abA【答案】B【解析】由向量数量积的性质易知（C） （D）都正确；对于（ A） （B） ，取 ，)0,1(a，则 ， ， ，所以（A）正确，（B）不正确，故选)0,1(b1ba0A2ba（B）.8.根据右边框图，当输入 为 2006 时，输出的 （ ）. xyA.2 B.4 C.10 D.28 【答案】C【解
4、析】 从 2006 开始依次少 2，所以 时取的第一个为-2 ，此时 ，x0x 103)2(y故输出的值为 10.9.设 ，若 ， ， ，则()ln,0fab()pfab()2bqf1()(rfab下列关系式中正确的是（ ）.A B qrprC D【答案】B【解析】因为 ，所以 .又 ，所以xfln)(rbabp)ln(21ln0a.所以 .故 .ab2aq2qp10.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）.甲 乙 原料限额A
5、（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元 【答案】D 【解析】设生产甲、乙产品分别为 吨，每天获利 万yx,z元，则 ， .0,8213yxz43作出可行域，如图 1 四边形 OABC 所示.平移直线知， 在点 B（2,3）处取得最大值，43yxz即 （万元）.832maxz11.设复数 ，若 ，则 的概率为（ ）.(1)zxyi(,)R|1zyxA B C D34222142【答案】D 【解析】由 ，得 ，即点1)(2yxz 1)(2yx所在的区域是以（1,0）为圆心，1 为半径的圆盘，则满足),(yx为如图 2 阴影部分（弓形 OA）,
6、 故 的概率.2144P12.对二次函数 （ 为非零整数） ，四位同学分别给出下列结论，其中2()fxabca有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）.A-1 是 的零点 B1 是 的极值点 ()f ()fxC3 是 的极值 D.点 在曲线 上x2,8()yfx【答案】A【解析】由题意可知四个选项中，必有 3 个同时正确.假设（B）,（C）,（D）正确，由（B）,（C）正确，可设 ，将点 代入函数得 ，符合题意，21fxa(,8)5a即假设正确，所以结论（A）必错.二、填空题13.中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 .【答案】5 【解析】设该数
7、列为 ，首、末项为 ，当 n 为奇数 时，有naa,112k，得 ；当 n 为偶数 时，有112kka025 12kkaa，得 .0514.若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 .2()ypx21xyp【答案】 【解析】因为双曲线 中， ，所以 .12yx2ba2c依题意，直线 经过点 ，所以 ，得 .2px)0,(2p2p15.设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点 处的切线垂直，则 的ye1(0)yxPP坐标为 .【答案】 （1,1）【解析】 由 ，得曲线 在点（0,1）处的切线斜率等于 .又对 求xeyxey10exy导，得 ，设 ，则 ，解得 ，于是 .21)0(,mP12m
8、),(P16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .【答案】 65【解析】由高及腰与水平面夹角等于 ，知等腰梯形的下底边长为 ，所以045 6210梯形的面积 2=16.以下底边中点为原点，向右为 x 轴正方向建立直角坐标)610(2S系，则抛物线方程为 ，那么有泥沙时水流量的面积25xy)(.故原始最大流量与当前最大流量的比值为 .345022dS 5621S三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ）17.（本小题满分 12 分）的内角 所对的边分别为 ，
9、 ， 向量 与ABC, abc,3mab平行cosin（）求 ；（）若 ， ，求 的面积7a2bABC解：（）因为 ，所以 ，msin3cos0ab由正弦定理，得 ，sin又 ，从而 ，si0Bt由于 ，所以 .A3（）解法一 由余弦定理，得 ，22cosabA而 ， ， ，得 ，即 ，7a2b74230因为 ，所以 .0cc故 的面积为 .ABC13sin22bcA解法二 由正弦定理，得 ，从而 ，7sii3B21sin7又由 ，知 ，所以 .abAB2co7故 .321sini()sin()sicosin334C所以 的面积为 .122abC18.（本小题满分 12 分）如图 ，在直角梯形
10、 中， ， ， ， ，1ABD/2BAD1BC2AD是 的中点， 是 与 的交点将 沿 折起到EOEE的位置，如图 21AB（）证明： 平面 ；C1（）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的1 1C1余弦值解：（）在图 1 中，因为 ， ， 是 的中点，AB2DEA，所以 .2BADE即在图 2 中， 从而 ，1,OC1OC平 面又 ，所以 平面 ./C1（）由已知平面 平面 ，又由（）知，BD1,BEAOC所以 为二面角 的平面角，所以 .1A1E12如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，因为 ， ，AD/BE所以 1222,0,0,0,BC得 1,2,0.CACBE设平面 的法向量 ，平面
11、 的法向量 ，平面1A1nxyz1AD2nxyz与平面 夹角为 ，则 取 ；BD10,1,0xyz得 1,取 ，210,nCA2,0xyz得 2,n从而 ，126cos,3n即平面 与平面 夹角的余弦值为 .1ABCD19.（本小题满分 12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ， 只与道路畅通状况有关，对其容量为T的样本进行统计，结果如下：0（分钟）T25 30 35 40频数（次） 20 30 40 10（）求 的分布列与数学期望 ；E（）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的
12、概率解：（）由统计结果可得 的概率分布为T（分钟）T25 30 35 40频率 0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得 的分布列为25 30 35 40P0.2 0.3 0.4 0.1从而 （分钟）.250.3.50.4.132ET（）设 分别表示往、返所需时间， 的取值相互独立，且与 的分布列相同. 1, ,TT设事件 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”.解法一 121212()7)(,5)(0,4)TPP(35,4030.9.9解法二 121212)(,)(,35)PATT(4,.0.
13、0.故 .()920.（本小题满分 12 分）已知椭圆 （ ）的半焦距为 ，原点 到经过:E21xyabacO两点 ， 的直线的距离为 ,0c,2c（）求椭圆 的离心率；（）如图， 是圆 的一条直径，若椭AB:M251xy圆 经过 两点，求椭圆 的方程E,E解：（）过点 ， 的直线方程为 ，,0c,b0bxc则原点 到该直线的距离 ，O2cda由 ，得 ，解得离心率 .12dcab32（）解法一 由（）知，椭圆 的方程为 E224.xyb依题意，圆心 是线段 的中点，且(2,1)MAB10易知， 与 轴不垂直，设其方程为 ，代入得ABx()yk2 2(14)84().kkb设 ，则 .12,(
14、,)y 211284(),kbxx由 ，得 ，解得x2()4k.k从而 2128.b于是 221211540.ABxxxb由 ，得 ，解得 .003b故椭圆 的方程为E2.13y解法二 由（）知，椭圆 的方程为 E224.xy依题意，点 关于圆心 对称，且,AB(,1)M10AB设 ，则12()()xy222,xybb两式相减并结合 ， ，得141112()8()0.xy易知 与 轴不垂直，则 ，2所以 的斜率AB1.ABkx因此直线 的方程为 ，代入得()12y22480.xb所以 ，124x18.b于是 222115.ABxxx由 ，得 ，解得 .003b故椭圆 的方程为E2.13y21.
15、（本小题满分 12 分）设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， nfxx2nx0xn2（）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ） ，且nnFf1,nx；12nx（）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 和 的大小，并加以证明ngnfxng解：（） 21,nFxx则 10,nF12120,2 nnn n所以 在 内至少存在一个零点. nFx1,又 故 在 内单调递增，/ 120,nx nFx1,2所以 在 内有且仅有一个零点 .nx,因为 是 的零点，所以 ，即 ，故 .F0nx10nx12nnx（）解法一 由题设， .()2g设 .
16、(1)()1,0nnnn xhxfxx当 时， .1当 时， .1/ 1()22nn若 0,x.1 1/11 1()()()02n nnn nxxhxx 若 ./,22x所以 在 上递增，在 上递减，0,11,所以 ，即 .h()nnfxg综上所述，当 时， ；当 时， .x1x()nnfxg解法二 由题设， 2()1,nf 1),0.2x当 时， .1nfg当 时，用数学归纳法证明 .x()nnfxg 当 时， ，所以 成立.2221()0fx22()fxg 假设 时，不等式成立，即 .nk()kkf那么，当 时，1.1111 ()1() 22kkkk kkk xxxfxfxgx 又 ，1
17、112()()1() 2kkkkkxxxxg 令 ，(0)kkh则 ./ 11()()kkk 所以当 时， ， 在 上递减；0x/khxx,当 时， ， 在 上递增.1/k ,所以 ，从而 .0kh112()1()kkk xg故 ，即 时不等式也成立.11()()kfxgn由和知，对一切 的整数，都有 .2()nnfg解法三 由已知，记等差数列为 ，等比数列为ka,12,.kbn则 ，11,nnabx所以 ，1()(2),(2)kk bxnA令 ，) ,0nkkkkmx 当 时， ，所以 .1ab()nnfxg当 时， ./ 1221() ()()kknk xA而 ，所以 .2n0,若 ；若
18、，1/0,kkxmx1/,0nkkm从而 在 上递减，在 上递增，k 1,所以 ， k所以当 且 时，x(2),kabn又 11,nab故 .()fg综上所述，当 时， ；当 时， .x()nnfxg1x()nnfxg请在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 切 于点 ，直线 交 于 两点，ABOAO,DE，垂足为 CDE（）证明： ；B（）若 ， ，求 的直径32C解：（）因为 为 直径，A则 09,B又 ，所以 ，从而 .E09EDCBDE又 切 于点 ，得 ，AOB所以 .CD
