1、第 4 章 布林代數及第摩根定理,節目錄,.,4-1布林代數之特質,基本的布林代數式可簡單的表示成：Ff（A，B，C），下圖為其示意圖。F的輸出是輸入變數 A、B、C等的函數，亦即 F 的值是由輸入變數的值所決定。,.,4-2布林代數之基本運算,布林代數雖然只有 0 與 1 兩種數值，但其基本運算有三種，分別為 OR 運算，又稱邏輯的加法運算；AND 運算，又稱邏輯的乘法運算；NOT 運算，又稱邏輯的補數運算，現針對這三種基本運算之特性說明如下：,1. OR 運算(1) 若 A 和 B 為兩個輸入變數，則當 A 和 B 以 OR 加法組合時，其輸出 F表示為 FAB。,節目錄,(2) FAB
2、之運算結果為只要 A 或 B 是1， 其結果 F 就是 1。除了 AB1 情形外，OR 運算與二進制加法運算相同。2. AND 運算(1) 若 A 和 B 為兩個輸入變數，則當 A 和 B 以 AND 乘法組合時，其輸出 F表示為 FAB。(2) FAB 之運算結果為只有 A是1且B也是 1，其結果 F才是 1。AND運算與二進制乘法運算相同。,節目錄,3. NOT 運算(1) 若 A 為一個輸入變數，則當A做NOT補數運算時，其輸出 。(2) 之運算結果為將變數A反轉，即為其結果F，如A=1，則F=0，又如A=0，則F=1。(3) NOT運算與二進制取1的補數運算相同。,節目錄,節目錄,.,
3、4-3布林代數之基本定理,一、布林代數之假設1. 封閉性 (1) (2)2. 單位元素 (1) (2),3. 交換律 (1) (2)4. 分配律 (1) (2),節目錄,5. 補數元素 (1) (2)6. 結合律 (1) (2),節目錄,對偶性 任何布林代數式，必有其相對的對偶式，對偶性之互換原則為 (1)將+運算改為，運算改為 +。 (2)將常數項0改為1，1改為 0。 (3)變數符號不加以改變。,節目錄,二、布林代數之基本定理 有了布林代數的假設，我們可以以此假設為基礎，發展出下列之基本定理： 全等性 (1) X+X=X (2) XX=X 同一性 (1) X+1=1 (2) X0=0,自補
4、性 消去性 (1) X+XY=X (2) X(X+Y)=X,節目錄,節目錄,.,4-4第摩根定理,一、第摩根第一定理 各變數 OR 運算後之反相，等於各變數先反相後再做 AND 之運算，即 。接著，我們將第摩根第一定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反或閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入及閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，,如下圖所示，故第摩根第一定理可將OR運算轉換成AND運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效或閘。,節目錄,二、第摩根第二定理 第摩根第二定理也就是在表示這個功能性，定理敘述如下： 各變數 AND 運算後之反相，等於各變數先
5、反相後再做 OR 之運算，即 。,節目錄,接著，我們將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反及閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，如下圖所示，故第摩根第二定理可將AND運算轉換成OR運算。若將下圖之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如下圖之等效及閘。,節目錄,.,4-5邏輯閘之互換,在許多布林代數化簡中，第摩根定理常被應用到，而且常是第一定理與第二定理相互搭配使用，是化簡布林代數不可或缺的工具，在練習例題之前，我們再將第摩根第一定理與第二定理陳述一遍。第摩根第一定理第摩根第二定理,節目錄,應用上述之第摩根定理，很容易將布林
6、代數轉換成完全由通用閘（NAND Gate 或 NOR Gate）所組成的邏輯電路，具有容易設計、製造成本低（因使用的 IC 數較少）之優點。下列為針對全部由 NANDGate 或 NOR Gate 的邏輯電路化簡方法。,節目錄,1. 多層 NAND Gate 邏輯電路分析邏輯電路若是由多層的 NAND Gate 所組成，則將標示為奇數層的 NAND Gate，全部轉換成具反相輸入的 OR Gate；而標示為偶數層的 NAND Gate，則保持不變。2. 多層 NOR Gate 邏輯電路分析簡化的方法與多層的 NAND Gate 邏輯電路分析類似，所不同的，只是將標為奇數層的NOR Gate，全部換成具反相輸入的 AND Gate。,節目錄,節目錄,節目錄,布林代數的基本定理,節目錄,邏輯閘的互換,節目錄,邏輯閘的互換,節目錄,
